2020牛客暑期多校训练营（第六场）A - African Sort - 组合数学

Description

给定一个长度为 \(n\) 的排列，每次可以选择一个子集将它 random_shuffle，并花费子集大小的代价。求将整个排列升序排序的代价期望。

Solution

对于排列 \(P\)，可以描述为一张图，其中 \(i \to P_i\)，则这张图一定由若干个不交的环构成。我们的任务就是要使得每个环的大小都为 \(1\)。

结论：每次操作都取一个完整的环不会使答案更劣。

显然环的内容和解决这个环的代价期望没有任何关系，不妨设 \(f(n)\) 表示解决一个大小为 \(n\) 的环的期望代价，那么

\[f(n)=\frac {\sum_{i=2}^n C_n^i (i-1)! (n-i)! f(i)} {n!} + n \]

展开化简一下，得到

\[f(n)=\sum_{i=2}^n \frac {f(i)} {i} + n \]

将 \(f(n)\) 与 \(f(n-1)\) 的式子做差，变形得到

\[f(n) = \frac n {n-1} (f(n-1)+1) \]

初态 \(f(1)=0, f(2)=4\)，暴力递推即可。

在预处理好所有 \(f(i)\) 后，我们只需要暴力找出每一个环，统计答案即可。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long 
const int N = 1000005;
const int mod = 998244353;

int n,m,p[N],vis[N],f[N];

int qpow(int p,int q)
{
    return (q&1?p:1)*(q?qpow(p*p%mod,q/2):1)%mod;
}

int inv(int p)
{
    return qpow(p,mod-2);
}

void solve()
{
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>p[i];
    for(int i=1;i<=n;i++) vis[i]=0;
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(vis[i]) continue;
        int x=i,cnt=0;
        do
        {
            ++cnt;
            vis[x]=1;
            x=p[x];
        }
        while(vis[x]==0);
        ans+=f[cnt];
    }
    cout<<ans%mod<<endl;
}

signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);

    cin>>n>>m;

    f[1]=0;
    f[2]=4;
    for(int i=3;i<=n;i++)
    {
        f[i]=i*inv(i-1)%mod*(f[i-1]+1)%mod;
    }

    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        solve();
    }

    return 0;
}