[CF1353F] Decreasing Heights - dp

Description

给定一个 \(n \times m\) 的矩阵，从 \((1,1)\) 走到 \((n,m)\)，每次只能从权值为 \(x\) 的位置走到权值为 \(x+1\) 的位置，初态下可以对若干个格子进行一些操作，每次使得一个格子的权值减小 \(1\)。求最少要操作多少次使得存在合法的路径。

Solution

如果路径上第一个点的权值确定，那么整条路径的权值也随之确定。

因此我们暴力枚举第一个点的权值 \(h\) 然后 dp 即可。

令 \(f[i][j]\) 表示到达 \((i,j)\) 为止花费的最小代价。

如果 \(a[i][j]<h+i+j-2\)，则非法，直接令 \(f[i][j] \to \infty\)。

否则，需要花费 \(a[i][j]-h-i-j+2\)，从 \((i-1,j)\) 或 \((i,j-1)\) 转移过来。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long 
const int N = 105;

int f[N][N],n,m,a[N][N];

int calc(int h)
{
    memset(f,0x3f,sizeof f);
    f[1][1]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            if(i==1 && j==1) continue;
            f[i][j]=min(f[i-1][j],f[i][j-1]);
            if(a[i][j]>=h+i+j-2)
            {
                f[i][j]+=a[i][j]-h-i-j+2;
            }
            else 
            {
                f[i][j]=1e18;
            }
        }
    }
    return f[n][m];
}

void solve()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            cin>>a[i][j];
        }
    }
    int ans=1e18;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            if(a[1][1]>=a[i][j]-i-j+2) ans=min(ans,calc(a[i][j]-i-j+2)+a[1][1]-a[i][j]+i+j-2);
        }
    }
    cout<<ans<<endl;
}

signed main()
{
    int t;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        solve();
    }
}