Description
给定长度为 \(n\) 的数列，将其分成若干份，每份的权值为 $ax^2 + bx + c $，其中 \(x\) 为该份的和。最大化权值总和。
Solution
设 \(f[i]\) 表示前 \(i\) 个数经过若干次划分能得到的最大权值，则有
\[f[i] = \max_j f[j] + a(s[i]-s[j])^2 + b(s[i]-s[j]) + c
\]
\(b\) 项的总和是一个定值，先将它分出去，剩余部分经过变形得到
\[f[j]+a\cdot s^2[j] = 2a \cdot s[i]s[j] + f[i]-a\cdot s^2 [i] -c
\]
以 \(s[j]\) 为 \(x\)，以 \(f[j]+a\cdot s^2[j]\) 为 \(y\)，每次询问的斜率为 \(2a\cdot s[i]\)，维护单调递增的下凸包
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int N = 1000005;
int n,s[N],f[N],a,b,c;
int q[N],head=0,tail=0;
int getx(int j)
{
return s[j];
}
int gety(int j)
{
return f[j]+a*s[j]*s[j];
}
int getk(int i)
{
return 2*a*s[i];
}
int getfi(int i,int val)
{
return val+a*s[i]*s[i]+c;
}
double slope(int i,int j)
{
return 1.0*(gety(i)-gety(j))/(getx(i)-getx(j));
}
signed main()
{
ios::sync_with_stdio(false);
cin>>n;
cin>>a>>b>>c;
int ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>s[i];
for(int i=1;i<=n;i++) s[i]+=s[i-1];
for(int i=1;i<=n;i++)
{
while(head<tail && slope(q[head],q[head+1])>getk(i)) ++head;
int j=q[head];
f[i]=getfi(i, gety(j)-getk(i)*getx(j));
while(head<tail && slope(i,q[tail])>slope(q[tail-1],q[tail])) --tail;
q[++tail]=i;
}
cout<<f[n]+b*s[n]<<endl;
}