问题描述
设随机事件 A，B，C 满足 \(P(A) = P(B) = P(C) = \frac{1}{4}, \ P(AB) = 0, \ P(AC) = P(BC) = \frac{1}{12}\)，求 A，B，C 恰有一个发生的概率.
分析：
A，B，C 三个事件恰好有一个发生 \(\Leftrightarrow\) 至少一个发生 - 至少两个发生
可以借助韦恩图来理解：
恰好有一个发生就是各个圆中没有和其他圆重合的部分之和.
解：
\(P(A \bigcup B \bigcup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) = \frac{3}{4} - \frac{2}{12} = \frac{7}{12}\)
\(P(AB \bigcup BC \bigcup AC) = P(AB) + P(BC) + P(AC) - P(ABC) - P(ABC) - P(ABC) = \frac{2}{12}\)
\(\Rightarrow\)
A，B，C 恰有一个发生的概率为：
\(P(A \bigcup B \bigcup C) - P(AB \bigcup BC \bigcup C) = \frac{7}{12} - \frac{2}{12} = \frac{5}{12}\)