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Bolzano-Cauchy第一定理
设实数 ，设
是在闭区间
上的连续函数，并且满足条件
.
则存在点 ，使得
该定理又被称作零点定理、零值定理、零点存在定理、根的存在定理，等等
Bolzano-Cauchy第二定理
设 是定义在某区间
上的连续函数，设实数
是区间
内的两点，并且满足
，令
.
设 为介于
与
之间的任意实数（要么
，要么
）
则存在点 ，使得
该定理又被称作介值定理、中间值定理等
它还经常被等价描述为：区间上连续函数的值域必为区间
从内容上，介值定理包含零值定理，但实际上二者是等价的，证明其中一个，就极其容易推出另一个. 一般先证明零值定理，再推出介值定理居多.