\[\begin{aligned}
\max(S)&=\sum_{T|S}(-1)^{|T|+1}\min(T)
\end{aligned}
\]
证明：
设当前集合 \(T\) 中最小元素是 \(x\)，在 \(s\) 中的排名是 \(i\)。
1.i=1
显然此时只有一种情况， \(x\) 的贡献是1。
2.i>1
毛估估一下，可以发现有 \(2^{i-1}\) 的情况 \(x\) 的贡献是1，剩下的一半是-1，因此当这种情况下 \(x\) 的贡献为0。
这个式子在期望的情况下也适用。
证明：空白太小，写不下
例题：
拓展
根据二项式反演的套路可以得到：
\[\begin{aligned}
\max_{k}(S)&=\sum_{T|S}(-1)^{|T|-k}\pmatrix{|T|-1\\k-1}\min(T)
\end{aligned}
\]