CF 题解汇总 - 爱码网

Description

给定一个 $n$ 个点 $m$ 条边的无向图，找到两个点 $s,t$，使得 $s$ 到 $t$ 必须经过的边最多。

Solution

边双内的边显然都不是关键边，否则必是，于是缩点后求直径即可

[CF1006F] Xor-Paths

Description

给出一个 n × m 的网格，每个格子上有权值 $a[i][j]$，要从 (1,1) 走到 (n,m)，每次只能向右或向下走，沿路计算异或和，求异或和等于 k 的路径数。

Solution

双向 BFS，由于要走的总步数为 $steps=n+m-2$，正着走 $steps/2$，反着走 $(steps+1)/2$，然后合起来用 map 算答案即可

Description

我们将一个无向图称作互质图，当且仅当对于其中每一条边 $(v, u)$ 有 $v$ 和 $u$ 互质（也即 $GCD(v,u)=1$）。当两个顶点之间没有边时不需要考虑。顶点从 $1$ 开始标号。
现在给你 $n$ 个顶点和 $m$ 条边，要求你建立一个无重边和自环并且连通的互质图，或者判定无法构造。

Solution

设将每条边描述为 $(u,v)$，满足 $u<v$，那么我们从小到大枚举 $u$，再从小到大枚举 $v$，能连就连
复杂度与 $\varphi$ 函数的前缀和有关，不妨将其视作 $O(n \log n)$

给你一个 $n \times m$ 的矩形，一开始有 $q$ 个格子上被标记。对于任意两行两列，如果交汇的四个格子中有三个被标记，那么第 $4$ 个会被自动标记。问你至少需要手动标记几个格子，使得整个矩形内的格子都被标记。

Solution

行和列分别对应二分图的左部右部，格子对应边，那么我们只需要手动使得二分图连通，通过自动标记的操作就可以得到完全二分图
于是答案为连通块数量 $-1$

Description

已知一个 $n×m$ 的矩阵，每行每列元素的异或和，请构造一个满足要求的矩阵。若不存在，输出"NO"，否则输出"YES"和矩阵。

$ n,m \leq 100 $

Solution

将前 $(n-1)(m-1)$ 设为 $0$，只通过最后一个 $L$ 型来构造

Description

给你一个长度为 $n$ 的数列，初始全部为 $0$ ，你可以任意（任选区间）进行 $q$ 次操作，第 $i$ 次操作使 $[l_i,r_i]$ 内的数全部变为 $i$ ，你必须进行全部 $q$ 次操作，且每个操作区间都不能为空，所有操作区间的并必须为 $[1,n]$。现在给你一个数列，其中 $0$ 代表这个位置可以是任何数，问你能否通过上述的 $q$ 次操作得到这个数列。输出方案。

Solution

以下 $m$ 即为题面中的 $q$

无解的判定

如果两个数之间存在比它们小的数，则无解
如果序列中不存在值为 $m$ 的数，则无解

解的构造

考虑为 $0$ 的位置需要怎样处理

如果数列中没有 $m$，则优先填 $m$

如果某个位置的左侧右侧同时存在 $x$，则该位置 $\ge x$，换言之我们在这个位置需要取它左边右边都有的数中的最大值

否则填 $1$

如何维护

考虑维护一个 std::set，在某个数第一次出现时 insert(x)，最后一次出现时 erase(x)
那么我们每次取 *s.rbegin() 即可

[CF1025D] Recovering BST - 区间dp

Description

给定一棵二叉搜索树 $n \le 700$ 的所有点权，构造二叉树满足任意两个直接相邻的点的权值的 GCD 不是 1

Solution

如果负数的个数是偶数
如果没有 $0$，取绝对值处理即可
如果有 $0$，将所有 $0$ 乘在一起，消去，剩下的取绝对值处理即可
如果负数的个数是奇数
如果没有 $0$，消去一个绝对值最小的负数，剩下的取绝对值处理即可
如果有 $0$，先将所有 $0$ 乘在一起，再将绝对值最小的负数乘到 $0$ 上，消去这个 $0$，剩下的取绝对值处理即可

Description

有 $N$ 个点，求与 $y=0$ 相切的，包含这 $N$ 个点的最小圆的半径。

相当于按奇偶性做匹配，不难想到用栈维护，碰到奇偶性相同的就消去，如果最后栈内剩余元素数量不超过 1 则 YES

Description

有 $n$ 个节点的树，每个节点有一点权 $a_i$。定义 $\textrm{dist}(x,y)$ 为 $x$ 到 $y$ 的边数。选取一点 $v$，使 $ \sum_{i=1}^{n}a_i \cdot \textrm{dist}(i ,v)$ 最大

Solution

典型换根 dp，设 $1$ 号点为根，设 $s[i]$ 表示点 $i$ 子树中的权值和，$f[i]$ 表示 $v=i$ 时的答案，首先我们可以通过一次 DFS 算出 $f[1]$，同时有转移方程

Description

你手上有 $n$ 个麻将，每个麻将上有一个在 $1$ 到 $m$ 范围内的整数 $a_i$。为了赢得游戏，你需要将这些麻将排列成一些三元组，每个三元组中的元素是相同的或者连续的。请求出你最多可以形成多少个三元组。

Solution

连续三元组的数目在少于三个时才是必要的，大于等于三个时可以直接用相同三元组代替
因此设 $f[i][j][k]$ 表示考虑完了 $[1,i]$ 的牌并且也可能使用过 $i+1,i+2$ 的牌，$(i-1,i,i+1)$ 的组合有 $j$ 个，$(i,i+1,i+2)$ 的组合有 $k$ 个，此时的最大三元组数是多少
这一次做完以后，i 就彻底不能用了，因此我们要在这里判断 i 是否够用，如果不够用则这种状态直接非法，如果够用就转移
$f[i-1][j][k] + \frac {a[i]-j-k-l} 3 + l -> f[i][k][l], \text{if}\ j+k+l \le a[i]$

Description

给定两个数列 $c,t$，每次操作可以选择一个 $i$，令 $c_i \leftarrow c_{i+1}+c_{i-1}-c_i$，问进行若干次操作后，是否能使得数列 $c$ 和 $t$ 相等。

Solution

Description

$ n $ 个方块排成一排，第 $ i $ 个颜色为 $ c_i $。定义一个颜色联通块 $ [l,r] $ 当且仅当 $ l $ 和 $ r $ 之间所有方块的颜色相同。现在你可以选定一个起始位置 $ p $，每次将 $ p $ 所在颜色联通块的所有方块颜色改成另一种。这个操作可能将多个颜色联通块合并成一个。问最少要多少步，能让 $ [1,n] $ 变成一个颜色联通块。

$ 1\le n,c_i\le 5000 $

Solution

先把序列 unique 一下，使得相邻两个位置颜色总不同，然后区间 DP
考察 $c[i]$ 与 $c[j]$ 是否相等，如果相等则 $f[i][j]$ 的转移来源为 $f[i+1][j-1]$，否则转移来源在 $f[i+1][j],f[i][j-1]$ 中选取

Description

坐标系上有一只小船，现在想从 $ (x_1,y_1) $ 去 $ (x_2,y_2) $。每时刻都有风，会把船往对应的风向吹一个单位（比如北风会把船往南吹），风是循环的，吹完 $ s_1 \sim s_n $ 就又会从 $ s_1 $ 开始。船在每一时刻都可以向指定方向移动一个单位。求船到目的地的最少时间，如果不能到达输出 -1。

Solution

容易证明关于总时间满足可二分性
判断时，加上 $[mid/n]$ 个周期偏移，加上 $mid \bmod n$ 的单偏移后，检查曼哈顿距离是否不大于 $mid$ 即可

[CF1117D] Magic Gems - 矩阵乘法优化dp

\[f[i]=\min(f[i-1]+a, \ \ \min_{j<i, s[j+1..i] \subseteq s[1..j]} f[j]+b) \]

考虑到 $f[]$ 具有单调性，因此在第二种转移中，$j$ 一定要尽可能大，设 $LCS(i,j)$ 表示 $s[1..i]$ 与 $s[1..j]$ 的最长公共后缀，则有

\[f[i]=\min(f[i-1]+a, \min_{j<i} (f_{\max (j, i-LCS(i,j))})) \]

而 $LCS(i,j)$ 可以很轻易地用 SA 求出，事实上，由于

\[\begin {aligned} & LCS(i,j) = 0, & s[i]\neq s[j] \\ & LCS(i,j)=LCS(i-1,j-1)+1, & s[i]=s[j] \end {aligned} \]

可以在 $O(n^2)$ 时间内预处理出 $LCS(i,j)$，故总时间复杂度为 $O(n^2)$

有两个正整数序列 $a,b$，长度分别为 $n,m$。给出所有 $a_i$ 和 $b_j$ $(1\le i\le n,1\le j\le m)$ 的大小关系（大于，小于或者等于），请构造出符合条件的 $a$ 和 $b$。如果无解，输出 NO。如果有多个解，输出 $a,b$ 中最大元素最小的方案。

给定一个长度为 $ n $ 的 $ 1-n $ 的全排列，第 $ i $ 个数表示站在第 $ i $ 位的学生的编号

给定 $ m $ 对 $ (u,v) $，如果编号 $ u $ 的学生在编号 $ v $ 的学生前面一位，则可以将他们的位置互换，问最后一个学生能向前移动多少位

Solution

从右往左扫描所有位置，将每个位置上的人尽可能地向右换即可

Description

给定一个长度为 $n$ 的数组，其中有些位置未定（可在 $[1,k]$ 中任意取值），问有多少种填数的方案可以使得数组中不存在长度为奇数的回文子串。

Solution

即不存在长度为 $3$ 的回文串
即对任意 $i$ 有 $a_i \neq a_{i+2}$
考虑分奇偶位处理，方案数相乘
于是转化为相邻两位不相同的方案数
考虑对于每一段连续的 $-1$ 分别处理
设 $f[i][0]$ 表示长度为 $i$ 的 $-1$ 段的左边和右边的元素相同的方案数，$f[i][1]$ 为不同，则有

两数的差始终为 $b-a$，而两数的 $gcd$ 必然是 $b-a$ 的因数
因此枚举 $b-a$ 的因数作为 $g$，然后求出能使得 $g|(b+k)$ 的最小的 $k$，很显然此时一定满足 $g|(a+k)$

有一个由所有长为 $2n$ 的合法括号序列组成的 trie，现在要求这棵树上最多的边数，符合边两两之间均没有共同节点。

Solution

首先设根的深度为 $0$，我们可以只选 trie 上所有深度为偶数的点和父亲的连边，于是答案就是 trie 上深度为奇数的点的个数
然后就是一个很套路的 dp，设 $f[i][j]$ 表示有了 $i$ 个左括号，$j$ 个右括号的方案数，则

\[f[i][j]=f[i-1][j]+f[i][j-1] \]

于是答案为

\[\sum_{(i+j) \bmod 2=1} f[i][j] \]

为了方便起见可以把坐标整体 $+1$

Description

$n$ 个节点以 $1$ 为根的一棵树，每个非叶子节点都有一个操作 $\max$ 或 $\min$，表示这个节点中的值应该分别等于其子节点中所有值的最大值或最小值。假设树上有 $k$ 个叶节点，你可以将每个叶节点填上 $[1,k]$ 的数字，且每个数字只使用一次，求根节点的最大值。

Solution

设 $f[p]$ 表示 $p$ 在其子树叶子结点中的权值排名的最大值
对于叶子结点，$f=1$
对于 $\min$ 结点，$f[p]=\sum_{p\to q} f[q]$
对于 $\max$ 结点，$f[p]=\min_{p \to q} f[q]$

给你一个在数轴上的点集 $x_1, x_2, \dots, x_n$。每两个点 $i$，$j$ 可以在满足以下情况的时候相连: 点 $i$ 和点 $j$ 均未与其他点相连；$\left| x_i - x_j \right| \geq z$。那么请你求出最多可以连接多少点对？

Solution

双指针一遍即可
不知道这个题怎么评的分

Description

给定一个长度为 $n$ 的排列 $p$，求有多少区间 $[l,r]$ 满足 $p[l]+p[r]=max\{p[i]\}$，其中 $l \le i \le r$

Solution

单调栈预处理出每个元素的控制区间（以它为最大值的区间）
枚举最大值位置 $i$，于是 $l \in [l[i],i], r \in [i,r[i]]$
考察两个区间的长度，在小的那个中枚举，则只需要检查差是否在大区间中出现
用排列的逆来检查，值 $x$ 在 $p_l,...,p_r$ 中出现，即 $l \le I_x \le r$，其中 $I$ 是 $p$ 的逆
显然每个元素被枚举次数的上界为 $O(\log n)$，于是时间复杂度为 $O(n \log n)$

Description

给出两个整数 $ n $,$ k $ 你需要构造出一个有 $k$ 项的数列 $ A $ 满足以下条件：

对于任意的 $ i\in [1,k] $ 有 $ A_i>0 $
对于任意的 $ i\in (1,k] $ 应当有 $ A_{i-1}<A_i\le2A_{i-1} $
$ \sum\limits_{i=1}^kA_i=n $

Solution

首先我们可以构造一个等差数列 $a_i=i$，如果此时 $s>n$ 则必然无解
考虑先对每个位置加上 $[\frac {n-s} k]$，剩下 $(n-s) \bmod k$ 要加
考虑到 $k$ 很小，我们从右往左依次枚举位置，每次暴力加一个后缀，倒序循环 $+1$ 即可

Description

输入 $n$ 个数,构造一个最大的环，环上任意 $\textrm{abs}(a[(i+1)\%n]-a[i]) \le 1$。$a_i \le 2 \times 10^5$

Solution

一定要找一段 $l,l+1,l+2,...,r$，其中除了 $l,r$ 可以只出现一次以外，其它的都至少要出现两次
考虑到 $a_i \le 2\times 10^5$，用桶处理一下即可

Description

在一个平面直角坐标系中，给你 $ n(2≤n≤50) $ 个点的坐标。这 $ n $ 个点中，每两个点之间都有一条直线（注意不是线段） 相连。求：这些直线中，有多少对直线相交。
1.当多点共线时，不认为由这几个点产生的直线有交点；

2.多条直线交于一点时，并不代表这几条直线在这个点相交时只产生一个交点，而是每两条直线都要统计一次。

Solution

熟悉一下板子（这题为什么有1900？）

给定由 $n$ 个整数组成的集合 $A$。现给定 $m$ 组集合，每个集合 $S_i$ 都是 $A$ 的一个真子集（这里的集合描述为 $A$ 中元素下标集合），求是否存在集合 $A$ 使得对 $\forall_{1 \leq i \leq m}$ 不等式 $LCM(S_i) > LCM(A - S_i)$ 恒成立。

Solution

如果存在两个集合没有交集，设为 $S,T$，则 $LCM(S)> LCM(A-S) \ge LCM(T)$，破坏了对称性，则一定无解
否则我们给每个集合安排一个质数 $p_i$，设用过的所有质数集合为 $P$，设 $\prod S$ 是整数集合 $S$ 的广义积，那么对于集合 $i$，其 $LCM$ 为 $\prod P$，而其补集一定不大于 $\prod P-\{ p_i \}$，于是一定存在解

给出 $01$ 串 $s$，求数对 $[l,r]$ 个数，使得能找到至少一对 $x,k$，使 $1\le x,k \le |s|$ 且 $l\le x<x+2k \le r$ 且$s[x]=s[x+k]=s[x+2k]$

Solution

考虑一个暴力，对于所有的 $l$，暴力找到最小的能满足条件的 $r$
容易证明 $r$ 是关于 $l$ 单调的，于是倒序扫描 $l$ 即可

给定一圆，上均匀分布有 $n$ 个节点（不重合，从 $1$ 到 $n$ 编号）。它们按照输入连成一棵树。求合法树的方案总数，对 $998244353$ 取模。一棵树是合法的，当且仅当这棵树中无交叉的边（两边共用一端点除外）。

Solution

思路上类似树形 dp 吧
对于点 $p$ 的子树，它在排列中必定是一段连续的区间，否则就会和其它的子树相交
不妨设 $p_1=1$，设点 $i$ 的度数为 $d_i$，从根 $1$ 开始，我们可以任意决定各个子树之间的顺序，然后递归下去
于是答案为 $n \prod_{i=1}^n d_i!$

Description

给两个数 $ n $ 和 $ x $，构造一个满足以下条件的序列：

对任何序列中的元素 $ a_i $，$ 1\le a_i<2^n $
序列中没有非空连续子序列异或和为 $ 0 $ 或 $ x $
序列长度 $ l $ 应该最大

Solution

构造前缀和序列 $s_i = \oplus_{j=1}^i a_i$，每次暴力找一个 $[1,2^n)$ 的数，使得 $s_i$ 没有出现过即可

两数列 $a , b$，如果 $a_i$ 是素数，那么 $b$ 数列里添加上第 $a_i$ 个素数（$2$ 为第一个），如果不是素数，那么 $b$ 数列里添加上 $a_i$ 的最大因子。现在给出添加完之后的 $b$ 数列，求出 $a$ 数列。

Solution

从大到小枚举合数，删去它的最大因子
从小到大枚举质数 $p$，删去第 $p$ 个质数

Description

序列 $123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536...$ 是无穷无尽的,现在你要输出它的第 $k$ 项。$k \le 10^{12}$

Solution

分步处理

找到答案所在数的位数
找到答案所在数在当前位数中排第几
找到答案在答案所在数是第几位

前缀配后缀，想到 KMP
每次构造一个待匹配串在前，已匹配串在后的串，计算这个串最后一位的 $next$ 值就是本次匹配的宽度
注意已匹配串的长度最多只需要截取到待匹配串的长度即可

有一个 $n\times m$ 的网格，方格上有 $k$ 个宝藏，一个人从 $(1,1)$ 出发，可以向左或者向右走，但不能向下走。给出 $q$ 个列，在这些列上可以向上走，其他列不能向上走。可以重复经过同一个点。求从 $(1,1)$ 出发，经过所有宝藏的最短路径长度。$n,m,k,q\leq 2\times 10^5$

Solution

设 $f[i][0/1]$ 表示从 $(0,0)$ 走到 $i$ 行的左侧/右侧，并遍历了 $1 \to i-1$ 行的所有宝物的最短路径长度
（挺怕这种题的）

Description

给你一个数 $ n $，求出一个有 $ n $ 个子序列为 $ 1337 $ 的序列，序列长度不能大于 $ 10^5 $。

Solution

考虑 1 + n个3 + m个7
则方案数为 $\frac {mn(n-1)} 2$ 种，不一定能用
于是考虑 133 + k7 + (n-2)3 + m7
则方案数为 $\frac {mn(n-1)} 2 +k$ 种
不妨取 $n=300$，然后暴力尝试 $m$ 并计算 $k$，最后选择一个可行的即可

[CF1203F1] Complete the Projects - 临项交换排序

Description

打第 i 场比赛需要 ai 的 rating，打完第 i 场比赛后 rating change 是 bi，rating 必须非负。求是否存在顺序能完成所有项目。$n \le 100, r \le 30000, |b_i| \le 300$

Solution

临项交换排序
对于 bi > 0 的部分，显然按 ai 排序
否则，按 ai+bi 排序即可

假如 1,2，初态为 r，此时要求 r>=a1, r>=a2-b1，若交换，则 r>=a2, r>=a1-b2，于是我们希望 max(a1,a2-b1)<=max(a2,a1-b2)
于是 a2+b2>=a1+b1

[CF1204D2] Kirk and a Binary String - 思维

Description

给定一个 01 串，要你求出另一个长度相等串使得任意区间内最长不降子序列的长度与原串相等且 0 的总数尽量多。

Solution

我们要将一些 1 改成 0，将某一个 1 改成 0 的条件是它后面的 0 的个数不少于 1 的个数，这个条件保证了这次修改不会影响正确性
在这个条件下，我们贪心地修改，倒序扫描整个序列，能修改就修改

括号序列视角：0 看成左括号，1 看成右括号，那么最长不降子序列就是最长的可以匹配的子括号序列长度，这样理解起来会很清楚

有 $n(n\leq 10^5)$ 个数 $a_1,...,a_n\ (a\leq 10^{18})$ 。有一个图用这个方法生成，若 $a_i$ 按位与 $a_j$ 不为 $0$，则在 $a_i,a_j$ 间连一条无向边。求这个图的最小环，若无环输出 $-1$。

Solution

把 $a_i=0$ 的数字删掉
当 $n \ge 128$ 时，至少有一个二进制位满足该位为 $1$ 的数个数 $\ge 3$，即形成三元环
当 $n<128$ 时，暴力建图后用 Floyd 跑最小环即可

[CF1207F] Remainder Problem - 根号分治

Description

给你一个长度为 $500000$ 的序列，初值为 $0$ ，你要完成 $q$ 次操作，操作有如下两种：

1 x y : 将下标为 $x$ 的位置的值加上 $y$
2 x y : 询问所有下标模 $x$ 的结果为 $y$ 的位置的值之和

Solution

根号分治，设 $b=\sqrt{500000}$，那么我们对所有 $r \le b$ 维护 $sum[r][i]$ 表示下标模 $r$ 等于 $i$ 的所有位置的答案和
每次修改时，假设这个位置的新值是 x，那么我们需要对所有 $r \le b$，在 $sum[r][x\%r]$ 的位置修改，同时修改旧位置
询问时，如果 $x \le b$ 那么直接调出结果，否则暴力查询原始序列

Description

现在有一个从 $ 1 $ 到 $ n $ 的一个全排列,但是你不知道这个排列到底是什么,但是你有一个 $ sum[i] $,其中 $ sum[i] $ 表示 $ \sum_{j=1}^{i-1}(a_j<a_i)?a_j:0 $,现在给你 $ sum $ 数组,让你求出这个排列 $ a $

Solution

首先找到最靠后的 $0$，将这个位置 $s$ 赋值为 $\infty$，$a$ 赋值为 $1$，同时将它后面所有的 $s-1$，重复下去即可
用线段树维护

有 $n$ 天时间来买一种物品，一共要买 $k$ 件，第 $i$ 天可以购买的范围是 $[a_i,b_i]$，单价 $c_i$，求最小总花费

Solution

暴力贪心，从最便宜的开始买即可
写完才发现原题要求用 Kotlin，我当做没看见了
主要是借着这题试用了一下 lambda 表达式

给定两个长度为 $2$ 的串，你需要构造一个长度为 $3n$ 的串，使得 a,b,c 三种字母各出现 $n$ 次，且它不包含这两个串，字符集中仅有 a,b,c

Solution

画出转移图，$3$ 个点，$7$ 条边，可能不连通
但是很容易证明以下构造模式集可以对所有有解的情况给出合法的构造
（以 $n=2$ 为例）

aabbcc
aaccbb
bbaacc
bbccaa
ccaabb
ccbbaa
abcabc
acbacb
bcabca
bacbac
cabcab
cbacba

于是我们用每种模式构造一个串，检验是否合法即可

给你一个有 $n$ 个点的带权树，有 $m$ 个查询，每次查询最大权值不大于 $x$ 的点对的数目

Solution

模拟 Kruskal 的过程，并将整个过程的答案记录下来
询问 $x$ 的时候，二分找到最后一个 $\le x$ 的位置，输出这个时刻的答案即可

给你 $d_i (\le n)$，要求你构造一棵树满足点 $2i$ 与 $2i-1$ 距离为 $d_i$。

Solution

关键在于这个神奇的 $d \leq n$
按照 $d_i$ 从大到小排序，并且将所有奇数点串成一条链
依次考虑每个偶数点挂在哪里
对于链上第 $k$ 个点，它的偶数点应该被挂在 $k+d_i-1$ 个点的下面
如果第 $k+d_i-1$ 是链上最后一个点，就需要再挂一个点来进行扩充
可以证明被挂的点一定存在

Description

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Solution

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[CF1025D] Recovering BST - 鍖洪棿dp

Solution

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Description

缁欏畾涓€涓簭鍒� $a=\{a_1,a_2,\dots,a_n\}$锛屾湁浠ヤ笅涓ょ鎿嶄綔锛氳嫢 $a_i=a_{i+1}$锛屽垯鍙皢 $a_i$ 涓� $a_{i+1}$ 鍚屾椂鍔� $1$锛涘皢 $a_i$ 鍔� $2$銆傛眰闂槸鍚﹀彲缁忚繃澶氭鎿嶄綔鍚庝娇寰楁墍鏈� $a_i$ 鐩哥瓑銆�

Solution

鐩稿綋浜庢寜濂囧伓鎬у仛鍖归厤锛屼笉闅炬兂鍒扮敤鏍堢淮鎶わ紝纰板埌濂囧伓鎬х浉鍚岀殑灏辨秷鍘伙紝濡傛灉鏈€鍚庢爤鍐呭墿浣欏厓绱犳暟閲忎笉瓒呰繃 1 鍒� YES

Description

鏈� $n$ 涓妭鐐圭殑鏍戯紝姣忎釜鑺傜偣鏈変竴鐐规潈 $a_i$銆傚畾涔� $\textrm{dist}(x,y)$ 涓� $x$ 鍒� $y$ 鐨勮竟鏁般€傞€夊彇涓€鐐� $v$锛屼娇 $ \sum_{i=1}^{n}a_i \cdot \textrm{dist}(i ,v)$ 鏈€澶�

Solution

鍏稿瀷鎹㈡牴 dp锛岃 $1$ 鍙风偣涓烘牴锛岃 $s[i]$ 琛ㄧず鐐� $i$ 瀛愭爲涓殑鏉冨€煎拰锛�$f[i]$ 琛ㄧず $v=i$ 鏃剁殑绛旀锛岄鍏堟垜浠彲浠ラ€氳繃涓€娆� DFS 绠楀嚭 $f[1]$锛屽悓鏃舵湁杞Щ鏂圭▼

[CF1117D] Magic Gems - 鐭╅樀涔樻硶浼樺寲dp

\[f[i]=\min(f[i-1]+a, \ \ \min_{j<i, s[j+1..i] \subseteq s[1..j]} f[j]+b) \]

鑰冭檻鍒� $f[]$ 鍏锋湁鍗曡皟鎬э紝鍥犳鍦ㄧ浜岀杞Щ涓紝$j$ 涓€瀹氳灏藉彲鑳藉ぇ锛岃 $LCS(i,j)$ 琛ㄧず $s[1..i]$ 涓� $s[1..j]$ 鐨勬渶闀垮叕鍏卞悗缂€锛屽垯鏈�

\[f[i]=\min(f[i-1]+a, \min_{j<i} (f_{\max (j, i-LCS(i,j))})) \]

鑰� $LCS(i,j)$ 鍙互寰堣交鏄撳湴鐢� SA 姹傚嚭锛屼簨瀹炰笂锛岀敱浜�

\[\begin {aligned} & LCS(i,j) = 0, & s[i]\neq s[j] \\ & LCS(i,j)=LCS(i-1,j-1)+1, & s[i]=s[j] \end {aligned} \]

Description

鏈変竴涓簭鍒� $a_1,a_2,a_3...a_n (n\le 1500)$锛屽畾涔� $(l_i,r_i)=a[l_i] + a[l_i +1] +...+a[r_i]$锛屾壘鍒版渶澶х殑 $k$ 浣垮緱 $(l_1,r_1)=...=(l_k,r_k)$ 涓斿尯闂� $[l_1,r_1]...[l_k,r_k]$ 浜掍笉鐩镐氦

Solution

鍗曡皟鏍堥澶勭悊鍑烘瘡涓厓绱犵殑鎺у埗鍖洪棿锛堜互瀹冧负鏈€澶у€肩殑鍖洪棿锛�
鏋氫妇鏈€澶у€间綅缃� $i$锛屼簬鏄� $l \in [l[i],i], r \in [i,r[i]]$
鑰冨療涓や釜鍖洪棿鐨勯暱搴︼紝鍦ㄥ皬鐨勯偅涓腑鏋氫妇锛屽垯鍙渶瑕佹鏌ュ樊鏄惁鍦ㄥぇ鍖洪棿涓嚭鐜�
鐢ㄦ帓鍒楃殑閫嗘潵妫€鏌ワ紝鍊� $x$ 鍦� $p_l,...,p_r$ 涓嚭鐜帮紝鍗� $l \le I_x \le r$锛屽叾涓� $I$ 鏄� $p$ 鐨勯€�
鏄剧劧姣忎釜鍏冪礌琚灇涓炬鏁扮殑涓婄晫涓� $O(\log n)$锛屼簬鏄椂闂村鏉傚害涓� $O(n \log n)$

Description

缁欏嚭涓や釜鏁存暟 $ n $,$ k $ 浣犻渶瑕佹瀯閫犲嚭涓€涓湁 $k$ 椤圭殑鏁板垪 $ A $ 婊¤冻浠ヤ笅鏉′欢锛�

瀵逛簬浠绘剰鐨� $ i\in [1,k] $ 鏈� $ A_i>0 $
瀵逛簬浠绘剰鐨� $ i\in (1,k] $ 搴斿綋鏈� $ A_{i-1}<A_i\le2A_{i-1} $
$ \sum\limits_{i=1}^kA_i=n $

Description

缁欎袱涓暟 $ n $ 鍜� $ x $锛屾瀯閫犱竴涓弧瓒充互涓嬫潯浠剁殑搴忓垪锛�

瀵逛换浣曞簭鍒椾腑鐨勫厓绱� $ a_i $锛�$ 1\le a_i<2^n $
搴忓垪涓病鏈夐潪绌鸿繛缁瓙搴忓垪寮傛垨鍜�涓� $ 0 $ 鎴� $ x $
搴忓垪闀垮害 $ l $ 搴旇鏈€澶�

Solution

鏋勯€犲墠缂€鍜屽簭鍒� $s_i = \oplus_{j=1}^i a_i$锛屾瘡娆℃毚鍔涙壘涓€涓� $[1,2^n)$ 鐨勬暟锛屼娇寰� $s_i$ 娌℃湁鍑虹幇杩囧嵆鍙�
涓ゆ暟鍒� $a , b$锛屽鏋� $a_i$ 鏄礌鏁帮紝閭ｄ箞 $b$ 鏁板垪閲屾坊鍔犱笂绗� $a_i$ 涓礌鏁帮紙$2$ 涓虹涓€涓級锛屽鏋滀笉鏄礌鏁帮紝閭ｄ箞 $b$ 鏁板垪閲屾坊鍔犱笂 $a_i$ 鐨勬渶澶у洜瀛愩€傜幇鍦ㄧ粰鍑烘坊鍔犲畬涔嬪悗鐨� $b$ 鏁板垪锛屾眰鍑� $a$ 鏁板垪銆�

Solution

浠庡ぇ鍒板皬鏋氫妇鍚堟暟锛屽垹鍘诲畠鐨勬渶澶у洜瀛�
浠庡皬鍒板ぇ鏋氫妇璐ㄦ暟 $p$锛屽垹鍘荤 $p$ 涓川鏁�

Description

搴忓垪 $123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536...$ 鏄棤绌锋棤灏界殑,鐜板湪浣犺杈撳嚭瀹冪殑绗� $k$ 椤广€�$k \le 10^{12}$

Solution

鍒嗘澶勭悊

鎵惧埌绛旀鎵€鍦ㄦ暟鐨勪綅鏁�
鎵惧埌绛旀鎵€鍦ㄦ暟鍦ㄥ綋鍓嶄綅鏁颁腑鎺掔鍑�
鎵惧埌绛旀鍦ㄧ瓟妗堟墍鍦ㄦ暟鏄鍑犱綅

缁欏畾涓€涓川鏁� $p$ , 涓€涓暱搴︿负 $n$ 鐨勫簭鍒� $a_1,a_2,...,a_n$鍜屼竴涓暣鏁� $k$锛屾眰鎵€鏈夋暟瀵� $(i, j) (1 \le i,j \le n)$ 涓弧瓒� $(a_i + a_j) * (a_i^2 + a_j^2 ) \equiv k \bmod p$ 鐨勪釜鏁般€�

Solution

鍥犱负 $p$ 鏄川鏁帮紝鎵€浠ヤ换鎰忛潪闆跺厓绱犳湁閫嗗厓锛屽洜姝や箻娉曡繍绠楁弧瓒虫秷鍘诲緥
杩欐牱鎴戜滑灏卞彲浠ュ湪鍘熷紡鐨勪袱渚у悓鏃朵箻涓婁竴涓� $a_i-a_j$锛屽寲绠€寰楀埌 $a_i^4 - ka_i = a_j^4 - ka_j \bmod p$

[CF11D] A Simple Task - 鐘舵€佸帇缂ヾp

[CF1203F1] Complete the Projects - 涓撮」浜ゆ崲鎺掑簭

Description

鎵撶 i 鍦烘瘮璧涢渶瑕� ai 鐨� rating锛屾墦瀹岀 i 鍦烘瘮璧涘悗 rating change 鏄� bi锛宺ating 蹇呴』闈炶礋銆傛眰鏄惁瀛樺湪椤哄簭鑳藉畬鎴愭墍鏈夐」鐩€�$n \le 100, r \le 30000, |b_i| \le 300$

Solution

涓撮」浜ゆ崲鎺掑簭
瀵逛簬 bi > 0 鐨勯儴鍒嗭紝鏄剧劧鎸� ai 鎺掑簭
鍚﹀垯锛屾寜 ai+bi 鎺掑簭鍗冲彲

鍋囧 1,2锛屽垵鎬佷负 r锛屾鏃惰姹� r>=a1, r>=a2-b1锛岃嫢浜ゆ崲锛屽垯 r>=a2, r>=a1-b2锛屼簬鏄垜浠笇鏈� max(a1,a2-b1)<=max(a2,a1-b2)
浜庢槸 a2+b2>=a1+b1

## [CF1204D2] Kirk and a Binary String - 鎬濈淮 ### Description 缁欏畾涓€涓� 01 涓诧紝瑕佷綘姹傚嚭鍙︿竴涓暱搴︾浉绛変覆浣垮緱浠绘剰鍖洪棿鍐呮渶闀夸笉闄嶅瓙搴忓垪鐨勯暱搴︿笌鍘熶覆鐩哥瓑涓� 0 鐨勬€绘暟灏介噺澶氥€� ### Solution 鎴戜滑瑕佸皢涓€浜� 1 鏀规垚 0锛屽皢鏌愪竴涓� 1 鏀规垚 0 鐨勬潯浠舵槸瀹冨悗闈㈢殑 0 鐨勪釜鏁颁笉灏戜簬 1 鐨勪釜鏁帮紝杩欎釜鏉′欢淇濊瘉浜嗚繖娆′慨鏀逛笉浼氬奖鍝嶆纭€� 鍦ㄨ繖涓潯浠朵笅锛屾垜浠椽蹇冨湴淇敼锛屽€掑簭鎵弿鏁翠釜搴忓垪锛岃兘淇敼灏变慨鏀�

鎷彿搴忓垪瑙嗚锛�0 鐪嬫垚宸︽嫭鍙凤紝1 鐪嬫垚鍙虫嫭鍙凤紝閭ｄ箞鏈€闀夸笉闄嶅瓙搴忓垪灏辨槸鏈€闀跨殑鍙互鍖归厤鐨勫瓙鎷彿搴忓垪闀垮害锛岃繖鏍风悊瑙ｈ捣鏉ヤ細寰堟竻妤�

鏈� $n(n\leq 10^5)$ 涓暟 $a_1,...,a_n\ (a\leq 10^{18})$ 銆傛湁涓€涓浘鐢ㄨ繖涓柟娉曠敓鎴愶紝鑻� $a_i$ 鎸変綅涓� $a_j$ 涓嶄负 $0$锛屽垯鍦� $a_i,a_j$ 闂磋繛涓€鏉℃棤鍚戣竟銆傛眰杩欎釜鍥剧殑鏈€灏忕幆锛岃嫢鏃犵幆杈撳嚭 $-1$銆� ### Solution 鎶� $a_i=0$ 鐨勬暟瀛楀垹鎺� 褰� $n \ge 128$ 鏃讹紝鑷冲皯鏈変竴涓簩杩涘埗浣嶆弧瓒宠浣嶄负 $1$ 鐨勬暟涓暟 $\ge 3$锛屽嵆褰㈡垚涓夊厓鐜� 褰� $n<128$ 鏃讹紝鏆村姏寤哄浘鍚庣敤 Floyd 璺戞渶灏忕幆鍗冲彲 ## [CF1207F] Remainder Problem - 鏍瑰彿鍒嗘不 ### Description 缁欎綘涓€涓暱搴︿负 $500000$ 鐨勫簭鍒楋紝鍒濆€间负 $0$ 锛屼綘瑕佸畬鎴� $q$ 娆℃搷浣滐紝鎿嶄綔鏈夊涓嬩袱绉嶏細

1 x y : 灏嗕笅鏍囦负 $x$ 鐨勪綅缃殑鍊煎姞涓� $y$
2 x y : 璇㈤棶鎵€鏈変笅鏍囨ā $x$ 鐨勭粨鏋滀负 $y$ 鐨勪綅缃殑鍊间箣鍜�

鍥涜锛岃繖绉嶆儏鍐典笅鐩存帴姹傚拰鍙栧墠 $4$ 涓渶澶у€煎嵆鍙�
涓夎涓€鍒楋紝鏋氫妇鍙栧摢涓€鍒楋紝鐒跺悗姣忔鏆村姏鎻愬彇鍓� $3$ 涓鏈€澶у€�
涓よ涓ゅ垪锛屾樉鐒� $n,m$ 涓繀鏈変竴涓� $\leq \sqrt{10^5}$锛岃瀹冩槸琛岋紝鍒欐毚鍔涙灇涓鹃€夊摢涓よ锛岀劧鍚庝粛鐒舵寜鐓у墠杩版柟娉曡绠楃瓟妗堝嵆鍙�

鍏朵綑鎯呭喌鍙互鐢变笂闈笁绉嶅熀鏈儏鍐垫棆杞緱鍒�
澶嶆潅搴� $\mathcal{O} (nm \min(n,m))$

[CF1220C]

缁欏畾涓€涓瓧绗︿覆锛屽彲浠ヤ换鎰忕炕杞竴涓瓙涓诧紝姹傛渶缁堟弧瓒虫墍鏈夊瓧绗︿簰涓嶇浉鍚岀殑瀛愪覆鐨勬渶澶ч暱搴︺€�
鏁版嵁鑼冨洿锛� $n \le 10^6, \Sigma \le 20$

Solution

鐢变簬琚炕杞瓙涓茬殑閫夋嫨鏄换鎰忕殑锛屾垜浠彲浠ュ皢鏈€缁堢殑瀛愪覆鐪嬩綔涓や釜鍘熶覆鐨勫墠缂€鐨勫悗缂€鐨勬嫾鍚堛€傜敱浜庨鐩殑鍚勭鎬ц川锛屾垜浠彧闇€瑕佽€冭檻鎵€鏈夊瓙涓叉瀯鎴愮殑瀛楃闆嗙殑鎵€鏈夊彲鑳界姸鎬侊紝鑰屼笌浣嶇疆鏃犲叧銆�
鑰屽瓧绗﹂泦鐨勭姸鎬佷緷鐒惰姹備笉鑳芥湁閲嶅瀛楃锛屽洜姝ゅ浜庢瘡涓€涓綅缃殑瀛楃锛屼互瀹冪粨灏剧殑瀛愪覆鏈€澶氬彧鏈� $\Sigma$ 涓槸鍚堟硶鐨勶紝鍥犳鎴戜滑鐘跺帇骞� $O(n\Sigma)$ 鎵竴閬嶅嵆鍙鐞嗗嚭瀛楃闆嗙殑鎵€鏈夌姸鎬併€�
鍘熼棶棰樿姹傜殑鏄袱涓簰鏂ョ殑瀛楃闆� $P,Q$ 锛岀浉褰撲簬鎶婂瓧绗﹂泦鍒掑垎涓哄绔嬬殑涓ら儴鍒� $A,B$锛� 骞跺彇浠绘剰 $P \subset A, Q \subset B$ 銆傛垜浠� $O(\Sigma 2^\Sigma)$ 棰勫鐞嗗嚭瀛愰泦鍓嶇紑鍜岋紝鏆村姏鏋氫妇杩欑瀵圭珛鐨勫垝鍒嗭紝鍗虫灇涓惧瓙闆嗭紝鍗冲彲鍦� $O(2^\Sigma)$ 鏃堕棿璁＄畻鍑虹瓟妗堛€�

Code

[CF1236D] Alice and the Doll

\[x(s-1) \le c \le xs \]

鍙樺舰涓�

\[l=\frac c s \le x \le \frac c {s-1}=r \]

濡傛灉鍏朵腑鐨勭‘鍖呭惈涓€涓暣鏁帮紝鍗� $x'=\lceil l \rceil \le r$锛屽彇 $x=x'$ 鍗冲彲
浜庢槸鍙互绠€鍖栦负 $x=[\frac {c-1} s]+1$锛屽啀鍒╃敤涓婃柟鏉′欢杩涜鍚堟硶鎬ф鏌�
浜庢槸鎴戜滑鑰冭檻鏆村姏鏋氫妇姣忛〉澶у皬锛屼絾鏄瘡椤靛ぇ灏忔槸涓嶈兘瓒呰繃绉嶇被鏁版渶灏忓€� $+1$ 鐨�
璁剧绫绘暟涓� $p$锛屽垯澶嶆潅搴︿负 $O(p \min(c))=O(p \frac n p)=O(n)$
缁欏嚭涓€涓笉瑙勫垯鐨勭綉鏍笺€傚叡 $n \leq 300000$ 鍒楋紝姣忓垪鏈� $a_i$ 涓牸瀛愩€傜幇鍦ㄨ灏� $1 \times 2$ 鐨勯鐗屼笉閲嶅彔鐨勮鐩栧湪缃戞牸涓婏紝姹傛渶澶氳兘鏀剧殑楠ㄧ墝鏁伴噺銆�
CF 题解汇总

[CF1278D] Segment Tree - 鎵弿绾�,骞舵煡闆�,set

鏁扮粍涓墍鏈夊厓绱犵殑鍙栧€煎湪 $[1, n]$ 涔嬮棿
$a$ 鍜� $b$ 鏁扮粍闀垮害鏄� $m$
$a$ 鏁扮粍鏄崟璋冧笉闄嶇殑锛�$b$ 鏁扮粍鏄崟璋冧笉澧�
浠绘剰鐨勪綅缃� $i$锛屾湁 $a_i \leq b_i$

Solution

棣栧厛寰堝鏄撴兂鍒板皢 $b$ 缈昏浆鍚庢帴鍦� $a$ 鐨勫悗闈紝閭ｄ箞闂灏辫浆鍖栦负鐢� $[1,n]$ 濉竴涓暱搴︿负 $2m$ 鐨勫簭鍒楋紝浣垮叾鍗曡皟涓嶉檷鐨勬柟妗堟暟

DP 瑙ｆ硶

璁� $f[i][j]$ 琛ㄧず濉竴涓� $i$ 闀垮害鐨勫簭鍒楋紝鏈€鍚庝竴浣嶄负 $j$ 鐨勬柟妗堟暟锛屼簬鏄�

\[f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][j-1] \]

瑕佹渶澶у寲 $f$锛屽浜庣粰瀹氱殑 $n,m$ 灏辨槸瑕佹渶灏忓寲 $\sum x_i$锛屽叾涓� $x_i$ 浠ｈ〃绗� $i$ 娈佃繛缁� $0$ 鐨勯暱搴︺€�
鍗冲皢 $n-m$ 涓� $0$ 鍒嗘垚 $m+1$ 浠斤紝姣忎唤鐨勬暟閲忓彲浠ユ槸浠绘剰闈炶礋鏁存暟锛屾渶灏忓寲 $\sum x_i$锛屾樉鐒跺敖鍙兘鍧囧寑鍒嗛厤鏄渶浼樼殑锛屽嵆淇濊瘉 $\max - \min \le 1$銆�
CF 题解汇总

Solution

鎵惧埌杈圭晫鐒跺悗寰幆鎵竴閬嶆暟涓暟鍗冲彲
CF 题解汇总

Solution

$2a>n$锛屼竴娆℃€х粨鏉燂紝鐩存帴杈撳嚭 $n$
$a \geq b$锛岄偅涔堜竴鐩翠慨鍗冲彲锛岀洿鎺ヨ緭鍑� $n$
鍚﹀垯锛�$a$ 鍗犲急鍔匡紝鎴戜滑鑰冭檻鐢� $a$ 淇竴鍗婇渶瑕佺殑瀹屾暣杞鏁颁负 $[(n-1)/2a]$ 锛岄偅涔堣繖浜涜疆涓紝 $a$ 淇帀鐨勪釜鏁颁负 $[n/2a]a$锛岃€� $b$ 淇帀鐨勪釜鏁板垯鏄� $[n/2], [n/2a]b$ 涓殑杈冨皬鍊笺€傝绠楀墿浣欓噺鐒跺悗鏆村姏淇嵆鍙€�

### Solution 鏍规嵁鍘熷瓧绗︿覆寤哄浘锛屾瘡涓瓧绗︽槸涓€涓偣锛岀浉閭诲垯杩炶竟鐒跺悗浠庢瘡涓€涓害鏁颁负 $1$ 鐨勭偣寮€濮嬬垎鎼滆繛閫氬潡锛屽悎娉曟儏鍐典笅搴旇鏄竴鏉￠摼 CF 题解汇总

### Solution 鑰冭檻浠庝綆浣嶅線楂樹綅璐績锛岃褰撳墠鍦ㄥ鐞嗙 $i$ 浣嶏紝鏇翠綆浣嶅墿浣欑殑閮ㄥ垎涓€鍏卞彲浠ユ嫾鍑� $cnt$ 涓� $2^i$ 濡傛灉 $n$ 鐨勮繖涓€浣嶆槸 $1$ 锛岄偅涔堣繖涓€浣嶅氨闇€瑕佸鐞�

濡傛灉 $cnt>0$锛岄偅涔堢洿鎺ヤ粠 $cnt$ 閲屾嬁涓€涓紝绛旀涓嶅彉
鍚﹀垯锛屾毚鍔涘悜鏇撮珮浣嶆壘鍒版渶灏忕殑閭ｄ竴涓紝姣斿瀹冨湪 $j$ 浣嶏紝閭ｄ箞灏� $a_j$ 鍑� $1$锛屽悓鏃跺皢 $a_{j-1},...,a_{i}$ 閮藉姞涓� $1$锛屽苟涓旂瓟妗堝鍔� $j-i$

鍋氬畬姣忎竴浣嶅悗锛岀淮鎶や竴涓� $cnt$ 鍗冲彲
锛堣繃鏅氫簡涓€鍒嗛挓锛�
CF 题解汇总

Solution

涓嶇敱鍒嗚鍦版灇涓惧垎鍓茬偣
浠� $f[i][j]$ 琛ㄧず鍘熶覆澶勭悊鍒� $i$ 锛�$s_1$ 澶勭悊鍒� $j$锛�$s_2$ 鏈€澶氳兘澶勭悊鍒板摢閲�

閲囩敤涓诲姩杞Щ

浠绘剰鎯呭喌锛� $f[i][j] \to f[i+1][j]$

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濡傛灉 $s[i+1]=s_2[f[i][j]+1]$ 锛岄偅涔� $f[i][j]+1 \to f[i+1][j]$

鏃堕棿澶嶆潅搴� $O(n^3)$
鏈変竴涓� $n \times m$ 鐭╅樀锛屽垵鎬佷笅鍏ㄦ槸 $0$銆�
濡傛灉涓や釜鐩搁偦鍏冪礌锛堝洓杩為€氾級鐩哥瓑锛屾垜浠氨璇村畠浠槸杩為€氱殑锛屼笖杩欑鍏崇郴鍙互浼犻€掋€�
鏈� $q$ 娆℃搷浣滐紝姣忔鎸囧畾涓€涓綅缃� $(x_i,y_i)$ 鎶婂畠鏇挎崲涓� $c_i$銆�
姣忔鎿嶄綔鍚庢眰杩欎釜鐭╅樀鏈夊灏戜釜杩為€氬潡銆�
$q \leq 2\times 10^6$, $n,m \leq 300$

Solution

甯﹀垹闄ょ殑骞舵煡闆嗛棶棰樺彲浠ョ绾匡紝鎵€浠ユ鐫€鍊掔潃鍚勫仛涓€娆★紝鐒跺悗灏嗙瓟妗堝仛宸氨鍙互浜�
鑰冭檻姝ｇ潃鍋氱殑杩囩▼锛屽垰寮€濮嬪氨鏄竴鍧� $0$ 鐨勬澘鏉�
姣忔鎴戜滑鍒涘缓涓€涓柊鑺傜偣锛岀劧鍚庤瘯鍥惧皢瀹冧笌鍛ㄥ洿鐨勮妭鐐瑰悎骞讹紝璁惧悎骞剁殑娆℃暟涓� $t$锛岄偅涔堣繖涓€娆″绛旀鐨勮础鐚紙鍗宠繖娆℃搷浣滄柊澧炰簡澶氬皯涓繛閫氬潡锛夊氨鏄� $1-t$
鍙嶅悜鎿嶄綔鏃跺悓鐞嗭紝璐＄尞甯︿釜璐熷彿灏卞彲浠ヤ簡
鏈€鍚庤緭鍑虹瓟妗堢殑鏃跺€欙紝鎶婅础鐚暟缁勬眰涓墠缂€鍜屽嵆鍙�
缁欏畾涓€妫� $n$ 涓偣鐨勫甫鐐规潈鐨勬爲锛屾眰鏍戜笂鐨勮矾寰� $x_1,...,x_k$ 锛屾渶澶у寲 $\sum_{i=1}^k ia_{x_i}$

Solution

鏍戜笂璺緞闂鍙敤鐐瑰垎娌汇€�
鑰冭檻濡備綍鍚堝苟涓ゆ潯璺緞瀵规瘡鏉¤矾寰勶紝璁� $l$ 涓洪暱搴︼紙鐐规暟锛夛紝$v$ 涓� $\sum_{i=1}^l ia_{x_i}$ 锛�$s$ 涓� $\sum a_i$ 锛岄偅涔堝浜庝袱鏉¤矾寰� $(l_1,v_1,s_1),(l_2,v_2,s_2)$锛屽畠浠殑骞朵负 $(l_1+l_2-1,v_1+s_1l_2+v_2,s_1+s_2)$
浜庢槸绛旀涓� $v_1 + v_2 + s_1l_2$锛屽叾涓� $_1$ 鏄拰涔嬪墠鎵弿杩囩殑鏈夊叧鐨勪俊鎭紝$_2$ 鏄拰褰撳墠姝ｅ湪鎵弿鐨勪綅缃湁鍏崇殑淇℃伅
锛堜箣鎵€浠ヨ繖鏍峰彇鐨勫師鍥犳槸锛屼箣鍚庢潕瓒呯嚎娈垫爲涓垜浠渶瑕佹帶鍒朵笅鏍囩殑鍖洪棿锛岃€� $l$ 鐨勮寖鍥存槸杈冨皬鐨勶級
瀵逛簬鏌愪竴娆℃煡璇㈡潵璇达紝$v_2$ 鏄畾鍊硷紝浜庢槸鏌ヨ鍙湁涓€涓弬鏁� $l_2$ 锛屾墍浠ョ幇鍦ㄦ垜浠鏈€澶у寲 $l_2s_1 + v_1$锛屼笉濡ㄨ浆鍖栦负

鎻掑叆涓€鏉＄洿绾� $y=ax+b$锛屽叾涓� $a=s_1,b=v_1$
璇㈤棶 $x=l_2$ 涓庢墍鏈夌洿绾夸氦鐐逛腑鏈€涓婇潰鐨勯偅涓€涓�

鏍囧噯鐨勬潕瓒呯嚎娈垫爲妯℃澘
鎴戝張鎶婄偣鍒嗘暡閿欙紝鏁扮粍寮€灏�

涓€鏉尪涓€鍖呯儫锛屼竴涓牬棰樿皟涓€澶� CF 题解汇总
缁存姢涓€鍖洪棿 $[l,r]$
浜烘寜鐓ф椂闂村崌搴�
鑰冭檻 $(l_i, h_i, t_i)$锛屽綋鍓嶇殑鎵€鏈夊尯闂翠笌杩欎釜鍖洪棿鍙栦氦
鎺ㄥ埌 $t_{i+1}$ 鏃讹紝鎵€鏈夊尯闂寸殑绔偣鍚戜袱杈规墿寮犲嵆鍙�
娉ㄦ剰鎶婄┖鎺夌殑鍖洪棿鍒犳帀
CF 题解汇总
鐪嬫牱渚嬶紝>><>><锛岃鏋勯€� LIS 鏈€鐭殑锛屾垜浠渶瑕佹壘鏈€灏忛摼鍒掑垎鐨勬柟妗堬紝鍗冲寘鍚渶灏戠殑涓嬮檷鍒�
寰堝鏄撴兂鍒版妸杩炵画 < 鐨勭湅鎴愪竴娈碉紝姣斿鏍蜂緥灏辨槸

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瑕佹瀯閫� LIS 鏈€闀跨殑锛屽悓鐞嗭紝鎴戜滑鎶婅繛缁� > 鐨勫牚绉颁竴娈碉紝姣斿鏍蜂緥灏辨槸

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姣忔鍐呭繀椤讳笅闄嶏紝鑰冭檻璁╁畠杩炵画锛岀劧鍚庤娈佃啘鍙栧綋鍓嶆病鍘昏繃鐨勬渶灏忓€煎嵆鍙�
CF 题解汇总
鐢变簬鍙互璧伴噸杈癸紝鎵€浠ヤ换鎰忎竴鏉¤矾寰勯暱 + 2 浠嶇劧瀵瑰簲鑷冲皯涓€鏉″悎娉曡矾寰�
寰堟樉鐒舵垜浠湁 $3$ 绉嶅熀鏈矾寰�

涓嶇粡杩� $(x,y)$

缁忚繃 $x \to y$

缁忚繃 $y \to x$

鍋囪鏌愪釜鍩烘湰璺緞鐨勭瓟妗堟槸 $d$锛岃闂槸 $k$锛屽鏋滃悓鏃舵弧瓒充互涓嬫潯浠讹紝鍒欒鍩烘湰璺緞鍙互浣滀负绛旀

$d \leq k$

$d = k \ (mod \ 2)$

浜庢槸鏆村姏鍋氬嵆鍙�
CF 题解汇总
璁� $f[i][j]$ 涓虹 $i$ 澶╁湪绗� $j$ 涓綅缃斁缃殑鏈€澶у€硷紝璁� $s[i][j]$ 鏄 $i$ 琛岀殑鍓嶇紑鍜岋紝鍒�

\[\begin{align} f[i][j] & =s[i+1][j+k-1]-s[i+1][j-1]+ \\ \max_l & \begin{cases} f[i-1][l]+s[i][j+k-1]-s[i][j-1] & (1 \leq l \leq j-k) \\ f[i-1][l]+s[i][j+k-1]-s[i][l+k-1] & (j-k+1 \leq l \leq j) \\ f[i-1][l]+s[i][l-1]-s[i][j-1] & (j+1 \leq l \leq j+k-1) \\ f[i-1][l]+s[i][j+k-1]-s[i][j-1] & (j+k \leq l \leq m-k+1) \end{cases} \end{align} \]

濡傛灉鏆村姏杞Щ锛屽垯澶嶆潅搴� $O(nm^2 )$
濡傛灉 $k$ 寰堝皬锛岄偅涔堝涓棿涓ょ鎯呭喌鏆村姏杞Щ锛屾梺杈逛袱绉嶇敱浜庡彧鏈� $f[i-1][l]$ 涓� $l$ 鏈夊叧锛屽彲浠ラ澶勭悊鍓嶅悗缂€ $\max$ 鏉ヨВ鍐筹紝澶嶆潅搴� $O(nmk)$
褰� $k$ 鍙樺ぇ鏃讹紝涓や晶鐨勬儏鍐典粛鐒舵毚鍔涜浆绉伙紝涓棿鐨勬儏鍐靛彲浠ユ毚鍔涚敤浠� $l$ 涓轰笅鏍囩殑鍗曡皟闃熷垪缁存姢 $f[i-1][l]-s[i][l+k-1]$ 鍜� $f[i-1][l]+s[i][l-1]$
锛堝鏋滄兂鍋锋噿涔熷彲浠ユ暡涓嚎娈垫爲缁存姢涓€涓嬶級
锛堝彂鐜板崟璋冮槦鍒椾紭鍖朌P涓嶅お鐔熺粌锛屽噯澶囪澶嶄範涓嬶級

[CF1305E] Kuroni and the Score Distribution - 鏋勯€�

Description

鏋勯€犱竴涓暱搴︿负 n 鐨勶紝鏁板瓧涓嶈秴杩� 1e9 鐨勶紝鍗曡皟閫掑鐨勶紝鎭板ソ鏈� m 涓弧瓒� $i<j<k$ 涓� $a_i +a_j=a_k$ 鐨勪笁鍏冪粍 $(i,j,k)$ 鐨勫簭鍒椼€�

Solution

Solution

鎸� $x$ 鍏抽敭瀛楀崌搴忔帓搴忥紝渚濇鏋氫妇姣忎釜鐐�
鑰冭檻瀵逛换鎰� $x_j < x_i$锛岄偅涔堝綋 $v_j \leq v_i$ 鏃讹紝瀹冧滑涓嶄細鐩镐氦锛屼笖 $dis$ 灏辨槸瀹冧滑鍒濇€佺殑璺濈 $x_i-x_j$
寮€涓や釜鏍戠姸鏁扮粍锛屼互绂绘暎鍖栧悗鐨� $v$ 涓轰笅鏍囷紝涓€涓淮鎶や釜鏁板拰锛屼竴涓淮鎶ゅ潗鏍囧拰
閭ｄ箞姣忔璇㈤棶鐨勭瓟妗堝氨鏄� 涓暟鍜� $\cdot x_i - $ 鍧愭爣鍜�
鐒跺悗鎶婅繖涓偣鎻掕繘鍘诲嵆鍙�
鏈変竴涓泦鍚堬紝涓夌鍏冪礌锛屾瘡绉嶅垎鍒湁 $a_i$ 涓紝姹傛渶澶氳兘鍒嗗嚭鐨勪笉鍚岀殑涓嶅彲閲嶉潪绌哄瓙闆嗙殑涓暟

Solution

璐績锛屽厛鍙� $1$ 涓殑锛屽啀鍙� $2$ 涓殑锛屾渶鍚庡彇 $3$ 涓殑
缁欏畾涓€涓汉涓ゅ満姣旇禌鐨勬帓鍚嶅拰姣旇禌浜烘暟锛屾€绘帓鍚嶆寜鐓т袱鍦烘瘮璧涚殑鎺掑悕鍜岃繘琛岋紝闂繖涓汉鐨勬帓鍚嶏紙鍗冲皬浜庣瓑浜庡畠鐨勫寘鎷粬鑷繁鐨勪汉鏁帮級

Solution

澶у姏鐚滅粨璁猴紙瑙佷唬鐮侊級
鏈� $n$ 涓綅缃紝鍒嗗埆鍦ㄤ笂闈㈢洊妤硷紝绗� $i$ 涓笉鑳借秴杩� $m_i$ 灞傦紝瀵逛换鎰忎竴鏍嬫ゼ锛屽畠鐨勫乏杈规墍鏈夋ゼ涓拰鍙宠竟鎵€鏈夋ゼ涓紝涓嶈兘閮芥湁姣斿畠楂樼殑妤硷紝姹傛渶澶у寲妤煎眰鎬绘暟鍜岀殑鏂规

Solution

Easy锛氭毚鍔涙灇涓惧嘲鍦ㄥ摢锛岀劧鍚庡悜涓や晶閫掓帹杩囧幓鍗冲彲
Hard锛氭棦鐒堕兘鍗曡皟浜嗭紝鐢ㄥ崟璋冩爤缁存姢涓€涓嬪崟鍚戠殑鍓嶇紑/鍚庣紑绛旀锛岀劧鍚庢灇涓惧嘲浣嶇疆鎷艰捣鏉ュ嵆鍙�
搴忓垪闀垮害涓� $m$锛屽垵鎬佷负 $0$锛屼綘鍙互浠� $n$ 涓搷浣滀腑閫夋嫨鑻ュ共涓墽琛岋紝绗� $i$ 涓搷浣滃鍖洪棿 $[l_i,r_i]$ 涓瘡涓綅缃姞涓� $1$锛屾渶澶у寲鏈€鍚庢槸濂囨暟鐨勫厓绱犱釜鏁般€備繚璇佸鏋滄柦鍔犱簡鎵€鏈夋搷浣滐紝涓€涓厓绱犵殑鏈€澶у€间笉浼氳秴杩� $k \leq 8$

Solution

棣栧厛灏嗘墍鏈夊尯闂寸鏁ｅ寲鎴愬乏闂彸寮€鍖洪棿锛岃€冭檻鐘跺帇 dp锛屼负姣忎釜鍖洪棿鍒嗛厤缂栧彿锛岀紪鍙风殑鍒嗛厤鑼冨洿鏄� $0\to k-1$锛屼繚璇佹病鏈夐噸鍙犲嵆鍙紝杩欐牱鍗冲彲璁剧姸鎬佷负 $f[i][j]$ 琛ㄧず鑰冭檻鍒颁簡绗� $i$ 涓綅缃紝鍦� $[pos_{i-1},pos_i)$ 杩欐鍖洪棿鍐呯殑鏈夋晥鐘舵€佹槸 $j$锛屽湪 $[1,pos_i)$ 杩欐鍖洪棿鍐呮敹鑾风殑鏈€澶у€�
杞Щ鏃讹紝濡傛灉杩欎釜浣嶇疆鏄粨鏉熶篃鏄紑濮嬶紝閭ｄ箞灏卞彲浠ラ€夋嫨淇濇寔鎴栬€呮敼鍙橈紱濡傛灉杩欎釜浣嶇疆鏄粨鏉燂紝閭ｄ箞杩欎釜浣嶅氨褰掗浂锛涘鏋滆繖涓綅缃槸寮€濮嬶紝閭ｄ箞鍐崇瓥鏄惁鎵撳紑銆備负浜嗘柟渚匡紝鎴戜滑鍦ㄧ $i$ 涓綅缃笂鍋氬尯闂� $[pos_{i-1},pos_i)$ 鐨勫喅绛栵紝杩欐牱濡傛灉 $popcount(j)$ 鏄鏁帮紝灏辩畻涓婅繖涓€娈电殑璐＄尞锛屽惁鍒欎笉绠�
娌℃兂鍒颁竴涓姸鍘� DP 鎶婃垜鍗℃浜�
姣忎釜瀛︾敓鐨勫垎鏁版渶灏戜负 $0$锛屾墍浠ユ垜浠彧瑕佹妸闄や簡绗� $1$ 鍚嶅鐢熶箣澶栫殑鎵€鏈夊鐢熺殑鍒嗘暟鍏ㄩ儴缁欑 $1$ 涓鐢熷氨鑳戒娇浠栫殑鍒嗘暟鏈€澶с€�
CF 题解汇总

int n,k,a[N],pre[N],suf[N],ans=1e18;
map<int,int> mp;

signed main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin>>n>>k;
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
sort(a+1,a+n+1);
for(int i=1;i<=n;i++) {
pre[i]=pre[i-1]+a[i];
}
for(int i=n;i>=1;--i) {
suf[i]=suf[i+1]+a[i];
}
for(int i=1;i<=n;i++) mp[a[i]]++;
for(auto i:mp) if(i.second>=k) {
cout<<0<<endl;
return 0;
}
for(int i=1;i<=n;i++) {
int x=a[i];
int e=upper_bound(a+1,a+n+1,x)-lower_bound(a+1,a+n+1,x);
int g=n-(upper_bound(a+1,a+n+1,x)-a)+1;
int l=lower_bound(a+1,a+n+1,x)-a-1;
int sg=suf[n-g+1];
int sl=pre[l];
int tmp=sg-gx+lx-sl-(n-k);
ans=min(ans,tmp);
if(n-l>=k) {
int tx=sg-gx-(n-l-k);
ans=min(ans,tx);
}
if(n-g>=k) {
int tx=lx-sl-(n-g-k);
ans=min(ans,tx);
}
//cout<<l<<" "<<e<<" "<<g<<endl;
}
cout<<max(0ll,ans);
}

瀵逛竴涓� $n\times m$ 鐨勭煩闃碉紝姣忎釜浣嶇疆鏈夋潈鍊� $a_{ij}$锛屾瘡娆℃搷浣滀綘鍙互灏嗕竴涓綅缃� $+2$锛屾垨灏嗗洓鐩搁偦鐨勪袱涓綅缃悇 $+1$銆傚鏋滀竴涓煩闃电粡杩囪嫢骞叉鎿嶄綔锛屽彲浠ヤ娇寰楁墍鏈変綅缃潈鍊肩浉鍚岋紝鎴戜滑绉板畠涓哄ソ鐭╅樀銆傞棶鏈夊灏戜釜濂界煩闃垫弧瓒冲ぇ灏忎负 $n\times m$锛屼笖姣忎釜浣嶇疆鐨勬潈鍊奸兘鍦� $[L,R]$ 鍐呫€�

Solution

棣栧厛瑙傚療鍒帮紝濡傛灉 $nm$ 鏄鏁帮紝涓€瀹氬悎娉曪紱濡傛灉 $nm$ 鏄伓鏁帮紝鍒欏綋涓斾粎褰� $\sum_{(i,j)} a_{i,j}$ 鏄伓鏁版椂鍚堟硶
$nm$ 鏄鏁扮殑鏂规鏁颁綅 $(r-l+1)^{nm}$
$nm$ 鏄伓鏁版椂锛岃嫢 $r-l+1$ 鏄伓鏁帮紝鍒欐墍鏈夋柟妗堜腑鎬诲拰濂囧伓鍚勫崰鎹竴鍗婏紝鏁� $(r-l+1)^{nm}/2$锛涜嫢 $r-l+1$ 鏄鏁帮紝鍒欐樉鐒舵€诲拰涓哄伓鏁扮殑姣旀€诲拰涓哄鏁扮殑鏂规鏁板 $1$锛屼簬鏄瓟妗堜负 $((r-l+1)^{nm}+1)/2$

[CF1358D] The Best Vacation - 鍙屾寚閽�

[CF1363D] Guess The Maximums

Description

缁欏畾搴忓垪 $a$ 鐨勯暱搴� $n$ 鍜� $k$ 涓簰涓嶇浉浜ょ殑瀛愰泦 $S_i$锛屾瘡娆℃煡璇㈠彲浠ヨ緭鍑轰竴浜涗笅鏍� $q_1,q_2,...,q_c$ 骞跺緱鍒板簭鍒椾腑杩欎簺浣嶇疆鐨勬暟鐨勬渶澶у€笺€傚姣忎釜瀛愰泦 $S_i$锛屾眰鍑哄簭鍒� a 涓笉鍦ㄨ瀛愰泦涓嬫爣鑼冨洿鍐呯殑鏈€澶у€笺€�

Solution

閫氳繃涓嶈秴杩� 11 娆¤闂壘鍑哄簭鍒椾腑鏈€澶у€肩殑涓嬫爣 m锛屽惈鏈� m 鐨勫瓙闆嗘樉鐒跺彧鏈変竴涓� $S_x$锛屽垯瀵逛换鎰� $S_i, i \neq x$ 鍏剁瓟妗堟樉鐒朵负 m锛屽浜� $S_x$锛屾垜浠墜鍔ㄦ眰涓€娆′笉鍦ㄨ瀛愰泦鍐呯殑鏈€澶у€煎嵆鍙€�

Description

缁欏畾涓€妫垫爲锛屾瘡涓偣鏈変竴涓唬浠� $a_i$锛屼竴涓垵濮嬪€� $b_i$ 鍜屼竴涓洰鏍囧€� $c_i$锛屾瘡娆″彲浠ラ€夋嫨浠� $u$ 涓烘牴鐨勫瓙鏍戯紝閫夋嫨涓€涓� $k$ 骞堕€夋嫨瀛愭爲涓� $k$ 涓粨鐐逛氦鎹㈠叾鍊硷紝浠ｄ环 $k \cdot a_u$銆傛眰鏈€灏忎唬浠枫€�

Solution

鏍戜笂鍓嶇紑 $\min$ 鍚庯紝鏄剧劧瀵逛簬浠绘剰涓や釜闇€瑕佷氦鎹㈢殑鐐规垜浠敤涓斿彧浼氱敤瀹冪殑 LCA 澶勬潵浣滀负浜ゆ崲鎿嶄綔鐨勬牴銆�
鍥犳鎴戜滑鍙渶瑕佹妸鏁存５鏍� DFS 涓€閬嶏紝鍦ㄦ瘡涓偣澶勮椽蹇冧氦鎹㈡墍鏈夎兘浜ゆ崲鐨勶紝鍓╀綑鐨勪笂浼犲嵆鍙€�

Description

濡傛灉 $x$ 娌℃湁瀛╁瓙锛岄偅涔堢粰浠栧姞涓婁竴涓瀛愩€�
濡傛灉 $x$ 鍙湁涓€涓瀛愶紝閭ｄ箞缁欎粬鍔犱笂涓や釜瀛╁瓙銆�
濡傛灉 $x$ 宸茬粡鏈変簡瓒呰繃涓€涓瀛愶紝閭ｄ箞鎴戜滑璺宠繃鑺傜偣 $x$銆�

姣忓鍔犱竴浣嶆暟锛屾暟瀛楀ぇ灏忕殑澧為暱鏄寚鏁扮殑锛岃€� $f$ 鍊肩殑澧為暱鏄嚎鎬х殑銆�

姣斿 $k=1$ 鏃讹紝$f(8)+f(9)=17$锛岃€� $f(80)+f(81)=17$锛�$f(98)+f(99)=35$锛岃€� $f(980+981)=35$

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[CF13E] Holes - 鍒嗗潡

Description

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Solution

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[CF1400D] Zigzags - 浜屽垎

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[CF1450C1] Errich-Tac-Toe (Easy Version) - 鏋勯€�

Description

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Solution

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[CF1450C2] Errich-Tac-Toe - 鏋勯€�

[CF1454F] Array Partition - ST琛�,浜屽垎

Description

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Solution

Description

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Solution

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[CF208E] Blood Cousins - dsu on tree, LCA

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Solution

dsu on tree
棣栧厛锛屾眰鍑轰竴涓偣鐨� k 绾х鍏堬紝骞朵笖鎶婅闂寕鍦ㄤ粬韬笂锛岄棶鐨勫氨鏄繖涓偣 p 瀛愭爲鍐呮湁澶氬皯涓繁搴︿负 d 鐨勭偣
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鎬荤粨涓€涓嬫垜浠渶瑕佹敮鎸佸摢浜涗簨鎯咃細姹� k 绾х鍏堬紙鍊嶅澶勭悊锛夛紝灏嗚闂寕鍦ㄧ鍏堜笂锛屾爲涓婂惎鍙戝紡鍚堝苟澶勭悊鎵€鏈夎闂�
鎵惧埌3涓笉瓒呰繃n鐨勬鏁存暟锛堝彲浠ョ浉鍚岋級锛屼娇寰楀畠浠殑lcm锛堟渶灏忓叕鍊嶆暟锛夋渶澶с€�

Solution

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鏍规嵁璐ㄦ暟瀵嗗害鍒嗗竷鎬ц川锛屾渶鍚庢墍鍙栫殑杩欎笁涓暟涓€瀹氫笉浼氭瘮 $n$ 灏忓お澶氾紙瀹炲湪涓嶈灏卞彇涓変釜璐ㄦ暟鍛€锛夛紝鎵€浠ユ垜浠挦瀹氫竴涓晫锛岀劧鍚庢毚鍔涙灇涓惧彇鏈€浼樺嵆鍙�
缁欏嚭 N 涓鐗╋紝姣忎釜妞嶇墿閮藉睘浜庝竴涓搧绉嶏紝鍏辫 m 涓搧绉嶏紝鍒嗚惤鍦ㄤ笉鍚岀殑浣嶇疆涓婏紙鍦ㄤ竴涓暟杞翠笂锛岃€屼笖鏁拌酱鏄棤闄愰暱搴︾殑锛夛紝淇濊瘉璇诲叆鐨勪綅缃槸鎸夌収鍗囧簭璇诲叆鐨勩€�
鐜板湪鎴戜滑鍙互杩涜涓€涓搷浣滐細鍙栦换鎰忎竴涓綅缃笂鐨勬鐗╋紝绉诲姩鍒颁换鎰忎竴涓病鏈夋鐗╃殑浣嶅瓙涓婂幓銆�
闂垜浠渶灏戣繘琛屽灏戞鎿嶄綔锛岃兘澶熶娇寰椾粠宸﹀埌鍙筹紝鏄寜鐓у搧绉嶅崌搴忔帓鍒楃殑锛�1 ~ m锛夛紙鍗曡皟涓嶉檷锛夛紝鑰屼笖姣忕妞嶇墿閮界浉閭汇€�

Solution

姹備竴涓嬫渶闀块潪涓ユ牸涓婂崌瀛愬簭鍒楀嵆鍙�

[CF276B]

Solution

瀵规暣涓搷浣滃簭鍒楀垎鍧楋紝鍒欐墍鏈夌殑褰卞搷鍒嗕负鍧楅棿鐨勫拰鍧楀唴鐨勩€傚潡鍐呯殑鐢� ST 琛� LCA 鏉ュ鐞嗭紝鍧楅棿鐨勯澶勭悊濂斤紝鍗虫瘡澶勭悊瀹屼竴涓潡锛屾垜浠氨鐢� BFS 璁＄畻濂借繖涓潡鐨勫悗缁奖鍝嶃€傚鏉傚害 $O(n \sqrt n)$

Description

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Solution

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鎴戜滑鎸夌収杩欐牱鐨勬柟寮忓幓澶勭悊涓€涓闂細濡傛灉 top[p] 鍜� top[q] 涓嶇浉绛夛紝閭ｄ箞鎴戜滑灏变粠 top 娣卞害杈冨ぇ鐨勯偅涓紙璁句负 $p$锛夊悜涓婃煋涓€娈� $[top[p],p]$锛岀劧鍚庡皢 $p$ 淇敼涓� $fa[top[p]]$銆傛渶鍚庡浜庡墿涓嬬殑锛屾繁搴﹁緝澶х殑 $x$ 鍜屾繁搴﹁緝灏忕殑 $y$锛屾垜浠繕闇€瑕佹煋涓€娈� $[y,x]$銆傛墍鏈夋搷浣滀緷鎹� DFS 搴忚繘琛屻€�
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[CF354C] Vasya and Beautiful Arrays

Description

瀹氫箟涓€涓暟缁勭殑缇庝附搴︿负杩欎釜鏁扮粍鎵€鏈夊厓绱犵殑鏈€澶у叕绾︽暟锛屽浜庢瘡涓厓绱犲彲浠ュ噺涓€涓� $0 \sim k$ 鐨勬暟锛屽噺瀹屼互鍚庤鍏冪礌蹇呴』闈炶礋锛屾眰鍑鸿繖涓暟缁勭殑鏈€澶х編涓藉害銆�

Solution

鏄剧劧 ans 涓嶄細澶т簬鏈€灏忔暟锛岃 ans 绛変簬鏈€灏忔暟锛屽惊鐜亶鍘嗘瘡涓暟锛屽鏋滀笉绗﹀悎鏉′欢灏卞皢 ans 鍑忎竴缁х画寰幆閬嶅巻

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缁欏畾 $n$ 鏉＄嚎娈� $[l_i,r_i]$锛屾湁 $m$ 涓闂紝姣忔缁欏畾鑻ュ共涓偣锛岄棶澶氬皯绾挎鑳借嚦灏戣鐩栬繖浜涚偣涓殑涓€涓€�

Solution

琛ラ泦杞寲锛屾眰澶氬皯绾挎涓€涓偣涔熶笉鑳借鐩栥€�
鐐瑰皢鏁拌酱鍒嗗壊鎴愪簡涓€涓嚎娈甸泦锛屽嵆姹傛湁澶氬皯鍘熷绾挎鏄寘鍚湪璇㈤棶绾挎闆嗕腑鐨勪竴涓嚎娈典腑鐨勩€�
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鍏蜂綋鍦帮紝鎸夊彸绔偣鎺掑簭鍚庢壂鎻忥紝鎵埌涓€涓師濮嬬嚎娈靛氨鍦ㄦ爲鐘舵暟缁勭殑宸︾鐐逛綅缃姞涓€锛屾壂鍒颁竴涓闂嚎娈靛氨鐩存帴鎵弿閮ㄥ垎鐨勫悗缂€鍜屾潵缁熻绛旀锛堟壂鎻忛『搴忎繚璇佷簡鍙崇鐐归『搴忥紝鍚庣紑鍜屼繚璇佷簡宸︾鐐瑰叧绯伙紝鏁呰闂嚎娈靛寘鍚簡鍘熷绾挎锛�

[CF375D] Tree and Queries - dsu on tree

\[f[i][j][0]=f[i-1][j][0] + f[i-1][j-1][0] \\ f[i][j][1]=f[i-1][j][1] \]

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缁欎綘涓€涓暱搴︿负 $n$ 鐨勯暱瀛楃涓诧紝瀹岀編瀛愪覆鏃㈡槸瀹冪殑鍓嶇紑涔熸槸瀹冪殑鍚庣紑锛屾眰瀹岀編瀛愪覆鐨勪釜鏁颁笖缁熻杩欎簺瀛愪覆鐨勫湪闀垮瓧绗︿覆涓嚭鐜扮殑娆℃暟銆�

Solution

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瀵逛簬鍑虹幇娆℃暟锛岃涓� f[]锛屽垯 f[next[i]]+=f[i] 杞Щ鍗冲彲锛屽垵濮嬪€� f[i]=1

[CF438D] The Child and Sequence - 绾挎鏍�

Description

缁欏畾鏁板垪锛屾煡璇㈠尯闂村拰锛屽尯闂村彇妯★紝鍗曠偣淇敼銆�

Solution

绾挎鏍戯紝璁板綍鍖洪棿鏈€澶у€硷紝濡傛灉澶т簬瑕佸彇妯＄殑鏁板氨鎶婁慨鏀规毚鍔涢€掑綊涓嬪幓銆�

Description

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Solution

鍏堣€冭檻鏅€氱殑璁℃暟缁勫悎鍋氭硶銆傝 $f(i)$ 琛ㄧず鐐规潈鍜� $i$ 鐨勪簩鍙夋爲涓暟锛堟敞鎰� $f(0)=1$锛夛紝$c(i)$ 鏄泦鍚堜腑鏁扮殑鐢熸垚鍑芥暟锛岄偅涔堝 $f(n)$ 鑰冭檻灏� $n$ 浣滄墍鍒掑垎锛屾牴缁撶偣鐢ㄥ幓 $i$锛屽乏瀛愭爲鐢ㄥ幓 $j$锛屽垯

\[f(n)=\sum_{i=1}^{n}c(i)\sum_{j=0}^{n-i}f(j)f(n-i-j) \]

寰�$$F(x)=F(x) F(x) C(x)+1$$锛屼簬鏄湁

\[F(x)=\frac{2}{1+\sqrt{1-4C(x)}} \]

Description

$n$ 涓偣 $m$ 鏉¤竟鐨勬棤鍚戝浘锛屽彟鏈� $k$ 鏉＄壒娈婅竟杩炴帴 $1-i$锛岄棶鏈€澶氬垹闄ゅ灏戞潯鐗规畩杈癸紝浣垮緱姣忎釜鐐瑰埌 $1$ 鐨勬渶鐭窛绂讳笉鍙樸€�

Solution

鑰冭檻鍏堣绠楀埌姣忎釜鐐圭殑鏈€鐭矾鏉℃暟锛岀劧鍚庡垽鏂€�
濡傛灉 $1 \to i$ 鏈夌壒娈婅竟锛岃嫢鐗规畩杈归暱搴� $>$ 璺濈锛岄偅涔堟樉鐒惰繖鏉＄壒娈婅竟娌℃湁璐＄尞锛岀洿鎺ュ垹闄ゃ€傝嫢绛変簬璺濈锛屽苟涓旀渶鐭矾鏉℃暟 $>1$锛屽垯鍒犻櫎杩欐潯鐗规畩杈癸紝骞跺皢鏈€鐭矾鏉℃暟 $-1$銆�
娉ㄦ剰杩欓噷 $-1$ 浠ュ悗鎴戜滑骞朵笉闇€瑕佸幓鑰冭檻瀹冨鍏跺畠鐨勭偣鐨勫奖鍝嶃€�

Description

缁欏畾 $n$ 涓偣锛�$m$ 鏉¤竟缁勬垚鐨勬．鏋楋紝鏈� $q$ 娆℃搷浣滐紝姣忔鎿嶄綔瑕佷箞璇㈤棶鏌愮偣鎵€鍦ㄨ繛閫氬潡鐨勭洿寰勶紝瑕佷箞灏嗕袱涓笉鍚岀殑杩為€氬潡杩炴帴锛岃繛鎺ユ柟寮忚浣垮緱杩炴帴鍚庣殑鐩村緞鏈€鐭€�

Solution

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骞舵煡闆嗙淮鎶ゅ嵆鍙�
鐗瑰埆娉ㄦ剰鍒濇€佺殑鐩村緞鏄渶瑕佸缓鍥炬眰瑙ｇ殑
锛堟嵁璇翠竴鏉￠摼鐨� Test 121 鍙互鍗″父锛燂級

[CF463C] Gargari and Bishops - 缁撹

$y$ 鎴愪簡 $x$ 鐨勪笂鍙�
$x$ 寰楀埌浜嗕竴浠芥枃浠讹紝$x$ 鎶婃枃浠朵紶缁欎簡浠栫殑涓婂徃锛屼粬鐨勪笂鍙稿張浼氫紶缁欎笂鍙哥殑涓婂徃锛岀洿鍒版煇浜烘病鏈変笂鍙革紝姝ゆ椂鏂囦欢琚攢姣�
璇㈤棶 $x$ 鏄惁鐪嬭繃绗� $i$ 浠芥枃浠�

Solution

瀵逛簬鎵€鏈変箰鏇插拰婕斿瀹讹紝鎸夌収宸︾鐐规帓搴忥紝浠庡皬鍒板ぇ渚濇鎵弿
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鎵弿涓紝姣忛亣鍒版柊鐨勬紨濂忓锛屽氨灏嗗叾鍔犲叆骞宠　鏍�
姣忛亣鍒版柊鐨勪箰鏇诧紝鏄剧劧瀵瑰钩琛℃爲涓墍鏈夌殑婕斿瀹讹紝涓€瀹氭弧瓒� $c \le a$锛屽彧闇€瑕佺害鏉� $b \le d$
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[CF498C] Array and Operations - 鏁拌,鏈€澶ф祦

[CF519E] A and B and Lecture Rooms - LCA

Description

缁欏畾涓€妫垫爲锛屾湁 $m$ 缁勮闂紝姣忔缁欏畾涓や釜鐐� $u,v$锛岄棶鍒� $u,v$ 璺濈鐩哥瓑鐨勭偣鏈夊灏戜釜銆�

Solution

涓€瀹氭槸杩炴帴 $u,v$ 鐨勮矾寰勭殑涓偣浠ュ強瀹冩墍鍙戝嚭鐨勫叾瀹冨瓙鏍戙€�
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濡傛灉 $l \neq c$锛屽亣璁� $DEP(u)>DEP(v)$锛屽垯涓偣鐨勫瓙鏍戠爫鎺変笌 $u$ 鏈夊叧鍙殑涓€妫靛瓙鏍戝嵆鍙€�
闂 1锛氬埌搴曟€庝箞姹備腑鐐癸紵

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### Description 缁欏畾涓€涓暱搴︿负 $n$ 鐨勫瓧绗︿覆 $S$锛屾眰瀹冪殑鎵€鏈夊墠缂€涓紝鍝簺鍙互琚垝鍒嗕负 $ABAB...ABA$ 鐨勫舰寮忥紝鍏朵腑 $A,B$ 鏄彲浠ヤ负绌虹殑涓诧紝涓斾竴鍏卞寘鍚簡 $k$ 缁� $AB$銆� ### Solution 鑰冭檻浠� $S=AB$锛屾灇涓� $S$ 鐨勯暱搴� $i$锛屾垜浠彧闇€瑕佹鏌� $LCP(ji+1,1) \ge i, j=1..k-1$锛屽鏋滈兘婊¤冻锛屽垯鍙互灏嗙瓟妗堝簭鍒椾腑寰€鍚庣殑涓€娈佃鐩栦负 $1$ 鐢ㄦ墿灞� KMP 鍙互鍦� $O(n)$ 鏃堕棿鍐呭畬鎴愬 $LCP(i,1), i=1..n$ 鐨勮绠� 鎵€鏈夎鏋氫妇鐨勯暱搴﹀叡鏈� $O(n/k)$ 涓紝姣忔闇€瑕佹鏌� $O(k)$ 涓綅缃紝鏁呮€诲鏉傚害 $O(n)$ 鏁拌酱涓婃湁n 涓偣锛岀i 涓偣鐨勫潗鏍囦负xi锛屾潈鍊间负wi銆備袱涓偣i,j涔嬮棿瀛樺湪涓€鏉¤竟褰撲笖浠呭綋 abs(xi-xj)>=wi+wj銆� 浣犻渶瑕佹眰鍑鸿繖寮犲浘鐨勬渶澶у洟鐨勭偣鏁般€� ### Solution 鎶婃瘡涓偣鐪嬩綔浠� $(x_i,0)$ 涓哄渾蹇冿紝鍗婂緞涓� $r_i$ 鐨勫渾閭ｄ箞濡傛灉涓嶇浉浜ゅ氨鏈夎竟鐩歌繛骞茶剢鐪嬩綔绾挎鍚э紝鎵€浠ュ氨鏄眰鏈€澶т笉鐩镐氦绾挎鏁� 杩欏氨鏄竴涓緢鍩虹鐨勮椽蹇冿紝浠ュ彸绔偣涓虹涓€鍏抽敭瀛楋紝宸︾鐐逛负绗簩鍏抽敭瀛� `sort` 鐒跺悗鈥滆兘鍙栧氨鍙栤€濆嵆鍙� ### Description 缁欏畾涓€涓幆鐘跺簭鍒楋紝姣忔鎿嶄綔閫夋嫨涓€涓尯闂达紝鏁翠綋鍔犱笂涓€涓暟锛屾垨鑰呰闂渶灏忓€笺€� ### Solution 瀵逛簬涓€涓尯闂达紝濡傛灉 $l \le r$ 鍒欐槧灏勫埌 $[l+1,r+1]$锛涘惁鍒欙紝鏄犲皠鍒颁袱涓尯闂� $[l+1,n],[1,r+1]$. 绾挎鏍戠淮鎶ゅ嵆鍙€� ### Description 缁欏畾涓€妫垫湁鏍规爲锛岀敳涔欒疆娴佹搷浣滐紝姣忔姣忎汉閫夋嫨涓€鏉¤竟璧帮紝浠庢牴璧板埌涓€涓彾瀛愶紝鐢插笇鏈涙渶鍚庡緱鍒扮殑鍙跺瓙缁撶偣鐨勬潈鍊煎敖鍙兘澶э紝涔欏笇鏈涙渶鍚庡緱鍒扮殑鍙跺瓙缁撶偣鐨勬潈鍊煎敖鍙兘灏忥紝涓や汉閮介噰鍙栨渶浼樼瓥鐣ャ€傜幇鍦ㄩ渶瑕佺粰姣忎釜鍙跺瓙鑺傜偣鍒嗛厤鏉冨€硷紝鏉冨€兼槸 $1 \sim m$ 鐨勫叏鎺掑垪銆傞棶璁╃敳鍒嗛厤鏉冨€煎垯鏈€鍚庡彇寰楃殑鏈€澶ф潈鍊兼槸澶氬皯锛岃涔欏垎閰嶆潈鍊煎垯鏈€鍚庡彇寰楃殑鏈€灏忔潈鍊兼槸澶氬皯銆� ### Solution 鏍戝舰 dp锛岃 $f[i]$ 琛ㄧず $i$ 鐐瑰瓙鏍戝唴鑳借揪鍒扮殑鏈€灏忔帓鍚嶏紝$h[i]$ 琛ㄧず鏈€澶ф帓鍚嶏紝鍒欐湁

浜屽垎绛旀鍔犻獙璇侊紝鍋囪鏈� mid 绉掞紝涓€涓汉涓€涓汉鐨勫鐞嗭紝姣忎釜浜哄敖鍙兘鎷挎渶杩滅殑閭ｄ釜绠卞瓙锛堝弽姝ｄ竴瀹氫細鏈変汉鎷块偅涓紝鍏堟嬁涓嶄細鏇村姡锛�
姣斿鐜板湪鎴戜滑瀹夋帓涓€涓汉锛屾垜浠壘浜嗘渶杩滅殑绠卞瓙缁欎粬锛堝亣璁捐窛绂讳负 dist锛夛紝閭ｄ箞浠栧凡缁忚姳璐逛簡 dist 鏃堕棿璧拌矾骞惰姳璐� 1 鏃堕棿鎼瀛愶紝鍓╀笅鐨勬椂闂村彲浠ョ敱杩滃埌杩戝鐞嗘帀鑻ュ共涓瀛�

Description

缁欏畾涓€涓彧鏈� +锛宍* 鍜屼竴浣嶆暣鏁版瀯鎴愮殑琛ㄨ揪寮忥紝浣犲彲浠ユ坊鍔犱竴瀵规嫭鍙凤紝浣垮緱杩欎釜琛ㄨ揪寮忕殑鍊兼渶澶с€俙* 鐨勪釜鏁颁笉瓒呰繃 $15$銆�

Solution

鏄剧劧 ( 涓€瀹氬嚭鐜板湪寮忓瓙鏈€宸﹁竟鎴栬€呮煇涓� * 鐨勫彸杈�
鏄剧劧 ) 涓€瀹氬嚭鐜板湪寮忓瓙鏈€鍙宠竟鎴栬€呮煇涓� * 鐨勫乏杈�
浜庢槸鎴戜滑鍙互鏆村姏鏋氫妇瑕佸皢鍝竴娈靛鎷彿锛岀劧鍚庣敓鎴愪竴涓柊鐨勮〃杈惧紡锛屾毚鍔涜绠楀嵆鍙�
鎵嬪啓琛ㄨ揪寮忚绠楀櫒澶儲浜嗭紝浜庢槸鐩存帴 Python

[CF558E] A Simple Task - 绾挎鏍�

Description

缁欏畾涓€涓暱搴︿笉瓒呰繃 $10^5$ 鐨勫瓧绗︿覆锛堝皬鍐欒嫳鏂囧瓧姣嶏級锛屽拰涓嶈秴杩� 50000 涓搷浣溿€傛瘡涓搷浣� L R K 琛ㄧず缁欏尯闂� [L,R] 鐨勫瓧绗︿覆鎺掑簭锛孠=1 涓哄崌搴忥紝K=0 涓洪檷搴忋€�

Solution

绾挎鏍戯紝姣忎釜缁撶偣缁存姢鍖洪棿鍐� 26 涓瓧姣嶇殑鍑虹幇娆℃暟锛屽姣忔鎺掑簭鎿嶄綔鏆村姏閲嶆柊瑕嗙洊銆�

Description

缁欏畾涓€涓� $H \times W$ 鐨勬鐩橈紝鏈� $N$ 涓殰纰嶆牸瀛愶紝妫嬪瓙姣忔鍙互鍚戝彸鎴栬€呭悜涓嬬Щ鍔ㄤ竴姝ワ紝姹備粠宸︿笂瑙掑埌鍙充笅瑙掓湁澶氬皯绉嶄笉鍚岀殑璺嚎銆�$N \le 2000$

Solution

鐢变簬 $N$ 杈冨皬锛岃€冭檻 dp锛岃 $f[i]$ 琛ㄧず璧板埌绗� $i$ 涓殰纰嶇偣锛堜笖涔嬪墠涓嶇粡杩囧叾瀹冧换浣曢殰纰嶇偣锛夌殑鏂规鏁帮紝鍒�

\[f[i]=g(x_i,y_i) - \sum_{j \to i} g(x_i-x_j+1,y_i-y_j+1 )\cdot f[j] \]

鍏朵腑 $j \to i \Leftrightarrow x_j \le x_i \and y_j \le y_i$锛�$g(x,y)$ 琛ㄧず鏃犻殰纰嶆儏鍐典笅 $(1,1) \to (x,y)$ 鐨勬柟妗堟暟锛屾湁

[CF603R]

缁欏嚭涓€妫� $n$ 涓妭鐐圭殑鏍戯紝鏍硅妭鐐逛负 $1$銆傛瘡涓妭鐐逛笂鏈変竴绉嶉鑹� $c_i$銆�$m$ 娆℃搷浣溿€傛搷浣滄湁涓ょ锛�

1 u c锛氬皢浠� $u$ 涓烘牴鐨勫瓙鏍戜笂鐨勬墍鏈夎妭鐐圭殑棰滆壊鏀逛负 $c$銆�
2 u锛氳闂互 $u$ 涓烘牴鐨勫瓙鏍戜笂鐨勬墍鏈夎妭鐐圭殑棰滆壊鏁伴噺銆�

$1\le n,m\le 4\times 10^5$锛�$1\le c_i,c\le 60$

Solution

dfs 搴忚浆鍖栦负鍖洪棿闂锛岀嚎娈垫爲澶勭悊锛屾瘡涓粨鐐圭敤涓€涓� int64 瀛橀鑹诧紝瀛樻爣璁帮紝闇€瑕佹湁鏍囪涓嬩紶鍜岀粨鏋滀笂浼狅紝鏀寔鍖洪棿淇敼鍜屽尯闂磋闂�

Description

缁欏畾 $d$锛屽鏋滀竴涓暟浠庨珮寰€浣庢暟绗鏁颁綅閮芥槸 $d$锛岀鍋舵暟浣嶉兘涓嶆槸 $d$锛岄偅涔堣繖涓暟绉颁负 d-magic 鏁般€�
缁欏畾涓や釜闀垮害鐩哥瓑鐨勬暟 $l,r$銆傛眰 $[l,r]$ 涓湁澶氬皯涓� d-magic 鏁帮紝绛旀 $\bmod 10^9+7$銆�$l,r$ 鐨勯暱搴� $n \le 2000$銆�

Solution

杞寲涓� $f(r)-f(l-1)$ 鐨勮瘽杩樿鍋氫竴涓嬮珮绮惧害鍑忔硶锛屾瘮杈冮夯鐑︼紝鎵€浠ユ垜浠氨鐩存帴澶勭悊浜嗐€�
瀵逛簬姣忎釜鐘舵€侊紝缁存姢 $pos$ 琛ㄧず褰撳墠鎵埌浠庡乏鍒板彸鐨勭 $pos$ 浣嶏紝$rem$ 琛ㄧず鍓� $i$ 涓暟浣嶆瀯鎴愮殑鏁扮殑浣欐暟鏄� $rem$锛岀敤涓や釜鏍囪 $tagl,tagr$ 琛ㄧず宸﹁竟鐣屽拰鍙宠竟鐣屾槸鍚﹀凡缁忎笌褰撳墠鏁板垎绂汇€�
杞Щ杩囩▼鏄剧劧鏄幓鏋氫妇褰撳墠鏁颁綅鐨勬墍鏈夊彲鑳藉彇鍊硷紝鐒跺悗閫掑綊鍋氫笅鍘汇€�

[CF653F] Paper task

Description

缁欏畾涓€涓嫭鍙峰簭鍒楋紝缁熻鍚堟硶鐨勬湰璐ㄤ笉鍚屽瓙涓茬殑涓暟銆�

Solution

寰堝鏄撴兂鍒帮紝鍙鍦ㄤ紶缁熺粺璁℃湰璐ㄤ笉鍚屽瓙涓茬殑鍩虹涓婁慨鏀逛竴涓嬪嵆鍙€�
鑰冭檻缁忓吀缁熻杩囩▼锛屽浜庣 $i$ 涓悗缂€锛屽畠鐨勮础鐚负 $n - sa[i] + 1 - h[i]$
涔熷氨鎰忓懗鐫€锛屽畠浜х敓璐＄尞鐨勫尯闂存槸 $[sa[i]+h[i], n]$ 銆傛崲瑷€涔嬶紝瀵逛换鎰� $j \in [sa[i]+h[i], n]$ 锛� $s[sa[i],j]$ 鏄竴涓瓟妗堛€�
閭ｄ箞鎴戜滑鐜板湪灏辨槸瑕佸垽鏂繖浜涚瓟妗堜腑鏈夊灏戝悎娉曘€備篃灏辨槸瀵规煇涓� $i$ 锛屾湁澶氬皯涓� $j \in [sa[i]+h[i], n]$ 锛� 锛屾弧瓒� $\sum_{k=sa[i]}^j a_k = sum[j]-sum[sa[i]-1]$ 涓� $0$銆� 杩欓噷 $a_i$ 琛ㄧず鎷彿搴忓垪锛屽乏鎷彿瀵瑰簲 $1$ 锛屽彸鎷彿瀵瑰簲 $-1$ 銆�
涔熷氨鏄闂笅鏍囧湪 $sa[i]+h[i]$ 鍙婁箣鍚庯紝 $sum[k]=sum[sa[i]-1]$ 鐨� $k$ 鏈夊灏戜釜銆�
鎸夋暟鍊兼彃杩涜嫢骞蹭釜 std::vector 鐒跺悗鏆村姏浜屽垎鍗冲彲銆�
浣嗚繖鏍蜂細蹇界暐閭ｄ簺涓€斿嚭鐜板彸鎷彿姣斿乏鎷彿澶氱殑鎯呭喌銆傚洜姝わ紝瀵逛簬姣忎釜鍚庣紑锛屾垜浠湪缁熻鏃惰鎵惧埌鏈€杩滆兘鍒拌揪鐨勪綅缃紝鍗崇涓€涓皬浜庣瓑浜� $sum[sa[i]-1]-1$ 鍑虹幇鐨勪綅缃紝鎴戜滑瑕佹妸杩欎釜浣嶇疆涔嬪悗鐨勭粨鏋滃噺鍘汇€傛毚鍔涙壂涓€閬嶏紝鏉冨€肩嚎娈垫爲缁存姢鍗冲彲銆�
鑰冭檻鏋氫妇琛屾搷浣滅姸鎬� $i$锛岃嫢鏈€� $j$锛屼笖璁�$a_i$琛ㄧず鍒濇€佷负$i$鐨勫垪鏁帮紝$b_j$涓烘湯鎬佷负$j$鐨勫垪鍙互鎻愪緵鐨勮础鐚紙缈昏浆鎴栬€呬笉缈昏浆锛岄澶勭悊鍑猴級锛屽垯绛旀涓�$\sum a_{i \ xor \ j}b_j$锛岃涓哄簭鍒�$c_i = \sum_{j \ xor \ k=i} a_k b_j$锛屼负鏍囧噯寮傛垨瀛愰泦鍗风Н锛孎WT鍗冲彲銆�
鍗风Н棰樻暟缁勮寰楀紑涓ゅ€�

Description

缁欏畾闀垮害涓� $n$ 鐨勫簭鍒� $\{a_i\}$锛岀粰瀹� $k$锛屾眰鏈夊灏戜釜瀛愪覆婊¤冻 $\oplus_{i=l}^r a_i \ge k$銆�

Solution

澶勭悊鍑哄墠缂€寮傛垨鍜屽簭鍒楋紝鏋氫妇 $s_{l-1}$锛岃姹� $s_{l-1} \oplus s_r \ge k$锛孴rie 鏍戜笂杈硅窇杈圭粺璁″嵆鍙�
鍏蜂綋鍦帮紝褰� $k \oplus s_{l-1}$ 鐨勬煇涓€浣嶆槸 $1$ 鐨勬椂鍊欙紝鎴戜滑鍙兘璧拌繖涓€杈癸紝鐩存帴缁х画寰€涓嬭蛋锛涘綋 $k$ 鐨勬煇涓€浣嶆槸 $0$ 鐨勬椂鍊欙紝$1$ 鐨勬暣涓瓙鏍戜細浜х敓璐＄尞锛屼簬鏄垜浠褰曡繖涓础鐚紝骞剁户缁線 $0$ 鐨勯偅涓€杈硅蛋鍗冲彲
鍏蜂綋鍦帮紝褰� $k$ 鐨勬煇涓€浣嶆槸 $1$ 鏃讹紝鎴戜滑鍙兘璧颁笌 $s_{l-1}$ 鐨勮繖涓€浣嶇浉鍙嶇殑閭ｄ竴杈癸紝鐩存帴缁х画寰€涓嬭蛋鍗冲彲
褰� $k$ 鐨勬煇涓€浣嶆槸 $0$ 鐨勬椂鍊欙紝涓� $s_{l-1}$ 鐨勮繖涓€浣嶇浉鍙嶇殑閭ｄ竴杈圭殑鏁翠釜瀛愭爲閮戒細浜х敓璐＄尞锛屼簬鏄垜浠褰曡繖涓础鐚紝骞剁户缁線鐩稿悓鐨勯偅涓€杈硅蛋鍗冲彲

[CF675C] Money Transfer - 鎬濈淮

\[f[i][j]=\sum_{l=j-k}^{j+k} f[i-1][l] \]

鐢ㄤ竴涓嬪墠缂€鍜屽嵆鍙€�

Description

缁欎竴寮犳棤鍚戝浘瀹氬悜锛屼娇寰楁湁鏈€澶氱殑鐐规弧瓒冲叆搴︾瓑浜庡嚭搴︺€�$T \le 200, n \le 200, m\le 20000$

Solution

寤轰竴铏氱偣锛屽皢鎵€鏈夊搴︾偣涓庤櫄鐐归棿杩炶櫄杈癸紝鏋勯€犱竴鏉℃鎷夊洖璺紝鍒犲幓鎵€鏈夎櫄杈癸紝鍗冲緱
锛堝洜涓哄害鏁板繕璁版竻闆� WA 浜嗚嫢骞插彂锛�

Description

鏌愪汉鍦ㄨ捣鐐瑰锛屽埌缁堢偣鐨勮窛绂讳负 $s$銆傛苯杞︾璧佸叕鍙告彁渚� $n$ 绉嶈溅鍨嬶紝姣忕杞﹀瀷鏈夊睘鎬� $c_i$锛堢杞﹁垂鐢級锛�$v_i$锛堟补绠卞閲忥級銆傝溅瀛愭湁涓ょ鍓嶈繘鏂瑰紡锛氣憼鎱㈤€燂細$1km$ 娑堣€� $1L$ 姹芥补锛岃姳璐� $2$ 鍒嗛挓銆傗憽蹇€燂細$1km$ 娑堣€� $2L$ 姹芥补锛岃姳璐� $1$ 鍒嗛挓銆傝矾涓婃湁 $k$ 涓姞娌圭珯锛屾补閮芥槸鍏嶈垂鐨勶紝鍔犳补涓嶉渶瑕佽姳璐规椂闂达紝涓旂洿鎺ョ粰娌圭鍔犳弧銆傞棶鍦� $t$ 鍒嗛挓鍐呭埌杈剧粓鐐圭殑鏈€灏忚姳璐规槸澶氬皯锛熻嫢鏃犳硶鍒拌揪缁堢偣锛岃緭鍑� $-1$銆�

Solution

鑰冭檻瀵逛簬涓€娈甸暱涓� $len$ 鐨勫尯闂达紝璁炬參閫� $x$锛屽揩閫� $(len-x)$锛屽垯

\[t=2x+len-x=x+len \\ v=x+2(len-x)=2len-x \Rightarrow x=2len-v \\ 0 \le x \le len \]

濡傛灉鐩存帴姹傝В寰楀嚭鐨� $x > len$ 鍒欒鏄庢棤娉曢€氳锛屽鏋滅洿鎺ユ眰瑙ｇ殑 $x <0$锛屾垜浠鍏朵负 $0$ 鍗冲彲
瀵规墍鏈夌殑 $t$ 姹傚拰锛屽鏋滄瘮缁欏畾鐨勫紑濮嬫椂闂村皬锛屽垯鍙
杩欐牱鎴戜滑灏卞緱鍒颁簡涓€涓� $O(nk)$ 鐨勭畻娉�
鑰冭檻鍒拌垂鐢ㄦ湰韬苟娌℃湁浠€涔堢敤锛屾墍浠ユ垜浠彧闇€瑕佷簩鍒嗗嚭涓€涓渶灏忕殑锛屽彲浠ュ畬鎴愪换鍔＄殑 $v$锛岀劧鍚庡浜庢墍鏈� $v_i \ge v$ 瀵瑰簲鐨� $c_i$ 鍙栨渶灏忓€煎嵆鍙�

[CF734E] Anton and Tree - 鏍戠殑鐩村緞

Description

缁欏畾 n 涓妭鐐圭殑鏍戯紝姣忎釜鐐逛负榛戣壊鎴栫櫧鑹诧紝涓€娆℃搷浣滃彲浠ヤ娇涓€涓浉鍚岄鑹茬殑杩為€氬潡鍙樻垚鍙︿竴绉嶉鑹诧紝姹備娇鏁存５鏍戝彉鎴愪竴绉嶉鑹茬殑鏈€灏戞搷浣滄暟銆�

Solution

\[f_{i,j}=f_{i-1,j}+f_{i-1,j-1}+f_{i-2,j-1} \]

绗簩绉嶈浆绉绘柟寮忔槸锛岃€冭檻浠庝腑闂存柇寮€锛屽嵆灏� $n$ 鎷嗗垎涓� $a+b$锛岄偅涔堝鏋滅 $a,a+1$ 涓悆涓嶅湪鍚屼竴缁勶紝鍒欏彲浠ュ垎鎴愪簰涓嶇浉骞茬殑涓ょ粍鏉ュ鐞嗭紱濡傛灉鏄繛鐫€鐨勶紝鍒欏 $1 \sim a-1, a+2 \sim a+b$ 鍒嗗埆澶勭悊锛岀粍鏁颁笂鍐嶅姞涓婁竴缁勫嵆鍙紝杞Щ鏂圭▼涓�

\[f_{a+b,i} = \sum_{j=1}^{i-1} f_{a,j}f_{b,i-j}+\sum_{j=1}^{i-2}f_{a-1,j}f_{b-1,i-j-1} \]

鑰冭檻杞寲涓哄椤瑰紡褰㈠紡锛岃 $F_n(x)=\sum_{i=0}^k f_{n,i} x^i$锛屽垯涓婅堪鏂圭▼鍙互杞寲涓�

\[F_n(x)=F_{n-1}(x)+xF_{n-1}(x)+xF_{n-2}(x) \]

\[F_{a+b}(x)=F_a(x)F_b(x)+xF_{a-1}(x)F_{b-1}(x) \]

鑰冭檻浠� $a=n,b=n$锛屽垯绗簩绉嶈浆绉绘柟妗堢殑閫掓帹寮忔敼鍐欎负

\[F_{2n}(x)=F_n^2(x)+xF_{n-1}^2(x) \]

鍚岀悊鏈�

\[F_{2n-1}(x)=F_n(x)F_{n-1}(x)+xF_{n-1}(x)F_{n-2}(x) \]

\[F_{2n-2}(x)=F_{n-1}^2(x)+xF_{n-2}^2(x) \]

鏁寸悊涓€涓嬶紝鎴戜滑鐜板湪鎷ユ湁鐨勫椤瑰紡褰㈠紡鐨勯€掓帹寮忔湁

\[F_n(x)=F_{n-1}(x)+xF_{n-1}(x)+xF_{n-2}(x) \]

\[F_{2n}(x)=F_n^2(x)+xF_{n-1}^2(x) \]

\[F_{2n-1}(x)=F_n(x)F_{n-1}(x)+xF_{n-1}(x)F_{n-2}(x) \]

\[F_{2n-2}(x)=F_{n-1}^2(x)+xF_{n-2}^2(x) \]

瀵逛簬寮€鍏宠鐘舵€侊紝$1$ 琛ㄧず鎿嶄綔杩欎釜寮€鍏筹紝$0$ 琛ㄧず涓嶆搷浣�
濡傛灉涓€鎵囬棬鐨勭姸鎬佹槸 $1$锛屽垯鎺у埗瀹冪殑涓や釜寮€鍏崇姸鎬佸繀椤荤浉鍚岋紙$00/11$锛�
濡傛灉涓€鎵囬棬鐨勭姸鎬佹槸 $0$锛屽垯鎺у埗瀹冪殑涓や釜寮€鍏崇姸鎬佸繀椤荤浉鍙嶏紙$01/10$锛�

鍥為【涓€涓� 2-SAT 鐨勫缓鍥炬柟娉�
璁炬湁 $n$ 涓� $x_i$锛岄€昏緫绾︽潫涓轰竴涓富鍚堝彇鑼冨紡
姣忔潯杈� $p \to q$ 琛ㄧず閫変簡 $p$ 灏卞繀椤昏閫� $q$
鍥犳渚嬪瀵逛簬 $i \or j$锛屾垜浠繛杈� $\neg i \to j$ 浠ュ強 $\neg j \to i$
鑰冭檻姣忎釜鍙橀噺
濡傛灉 $x\to \neg x$锛屽垯 $x=0$锛涘鏋� $\neg x \to x$锛屽垯 $x=1$锛涘鏋� $x \to \neg x \and \neg x \to x$ 鍒欐棤瑙�
鍥犳锛屽鏋滀换鎰忎竴涓彉閲� $x$ 涓� $\neg x$ 鍦ㄥ悓涓€涓� SCC 涓紝鍒欐棤瑙ｏ紝璺戜竴閬� Tarjan 鍗冲彲

鍥炲埌鏈锛岃鏌愰棬瀵瑰簲鐨勫紑鍏虫槸 $p,q$
濡傛灉闂ㄦ槸 $1$锛屽垯 $p \to q, q \to p,\neg p \to \neg q,\neg q \to \neg p$
濡傛灉闂ㄦ槸 $0$锛屽垯 $p \to \neg q, q \to \neg p, \neg p \to q,\neg q \to p$

[CF786B] Legacy - 绾挎鏍戜紭鍖栧缓鍥�,鏈€鐭矾

[CF7D] Palindrome Degree - dp

灏嗛暱 n 鐨勫簭鍒楀垎鎴� k 娈碉紝姣忔鐨勪环鍊间负鍖洪棿鍐呬笉鍚屾暟瀛椾釜鏁帮紝浣垮緱鎬讳环鍊兼渶澶с€�$n \le 35000, k \le 50$

Solution

$f[i][j]=\max f[l][j-1]+C(l+1,i)$
鐜板湪锛屽涓庢墍鏈夌殑 l锛屾垜浠凡缁忕煡閬� C(l+1,i-1)锛屾垜浠笇鏈涘揩閫熷緱鍒� C(l+1,i)
瀵逛簬涓€涓壒瀹氱殑 l锛屽鏋� $[l+1,i-1]$ 涓兘鎵惧埌 $a[i]$锛岄偅涔堟病鏈夎础鐚�
璁� $a[i]$ 涓婃鍑虹幇鐨勪綅缃槸 $last[i]$锛岄偅涔� $[last[i],i-1]$ 鐨� l 浣嶇疆浼� +1
鎴戜滑鐢ㄧ嚎娈垫爲缁存姢锛堝褰撳墠鐨� i,j锛屾墍鏈� l锛�$f[l-1][j-1]+C(l,i)$锛屾瘡娆′慨鏀� $[last[i]+1,i]$锛屾瘡娆℃煡璇㈡渶澶у€�
娉ㄦ剰鍦� dp 鏃讹紝鎴戜滑澶栧眰鏋氫妇 j锛屽唴灞傛灇涓� i锛岄偅涔堟瘡娆℃崲 j 鏃堕渶瑕佸紑涓€妫垫柊鐨勭嚎娈垫爲

[CF837D] Round Subset - dp

灏嗘瘡涓覆鐨勬墍鏈夊悗缂€鍔犲叆瀛楀吀鏍戜腑
鐒跺悗瀵逛簬姣忎釜涓诧紝璺戝畠鐨勬瘡涓瓙涓诧紝濡傛灉璺戝埌鏌愪釜浣嶇疆锛屽瓙鏍戜腑鍙墿涓嬩笌鑷繁鍚岀被鐨勶紝灏卞彲琛岋紝鏈€鍚庡鎵€鏈夊彲琛屽彇鏈€灏忓€�

map瑙ｆ硶

鐢� map 淇濆瓨姣忎釜瀛愪覆鏄皝鐨勶紝濡傛灉鍚屾椂鏄袱涓互涓婄殑锛岃繖涓瓙涓插氨涓嶈兘鐢�
鏈€鍚庨亶鍘� map 瀵圭瓟妗堣繘琛屾洿鏂�
鏈変竴涓暱搴︿负n鐨勫簭鍒楋紝Alice鍜孊ob鍦ㄧ帺娓告垙銆侭ob鍏堟墜鎺屾彙鍐崇瓥鏉冦€�
浠栦滑浠庡乏鍚戝彸鎵暣涓簭鍒楋紝鍦ㄤ换鎰忔椂鍒伙紝鎷ユ湁鍐崇瓥鏉冪殑浜烘湁濡備笅涓や釜閫夋嫨锛�

灏嗗綋鍓嶇殑鏁板姞鍒拌嚜宸辩殑寰楀垎涓紝骞跺皢鍐崇瓥鏉冪粰瀵规柟锛屽鏂瑰皢鑾峰緱涓嬩竴涓暟鐨勫喅绛栨潈

灏嗗綋鍓嶇殑鏁板姞鍒板鏂圭殑寰楀垎涓紝骞跺皢鍐崇瓥鏉冧繚鐣欑粰鑷繁锛岃嚜宸卞皢鑾峰緱涓嬩竴涓暟鐨勫喅绛栨潈

鍋囧畾浠栦滑閮戒娇鐢ㄦ渶浼樼瓥鐣ワ紝姹備粬浠渶鍚庡垎鍒兘鑾峰緱澶氬皯鍒�

Solution

鑰冭檻鍒版棤鍚庢晥鎬э紝浠� $f[i][0/1]$ 琛ㄧず 0/1 澶勭悊瀹屼簡鍓� $i$ 涓暟锛屽厛鎵嬪拰鍚庢墜寰楀垎鐨勫樊
杞Щ鍗虫灇涓句笂涓€娆＄殑浣嶇疆
$f[i][1]=max(f[j][0] - a[j+1] - a[j+2] - ... +a[i])$
$f[i][0]=min(f[j][1] + a[j+1] + a[j+2] + ... -a[i])$
鎹釜鎬濊矾锛岃 $f[i]$ 涓轰粠 $i$ 寮€濮嬪線鍚庨€夛紝鑳借幏寰楃殑鏈€澶ф敹鐩婏紝鎴戜滑鍙互鏉ュ喅绛栨瘡涓綅缃槸鍚︾炕闈�
$f[i]=max(f[i+1], s[i]-f[i+1])$
鍏朵腑 $s[i]$ 鏄悗缂€鍜�

[CF86D] Powerful array - 鑾槦

Description

缁欏畾闀垮害涓� $n$ 鐨勫簭鍒� $a$锛屾湁 $q$ 娆¤闂紝姣忔璇㈤棶缁欏嚭涓や釜鏁� $l,r$銆傚浜庢瘡娆¤闂紝璁� $cnt_i$ 琛ㄧず $i$ 鍦� $a_l,a_{l+1},\cdots,a_r$ 鍑虹幇鐨勬鏁帮紝鎮ㄩ渶瑕佹眰鍑� $\displaystyle\sum_i cnt_i^2\cdot i$銆�$1\le a_i\le 10^6$

Solution

杩欑鍖洪棿闂寰堟樉鐒跺氨鏄帿闃熶簡锛屾瘡娆′慨鏀圭殑鏃跺€欐垜浠噺鍘诲師鏉ョ殑绛旀鍐嶅姞涓婃柊鐨�
鍙兘鍥犱负鐢ㄤ簡澶 vector 琚崱甯镐簡锛屼簬鏄姞浜嗕釜濂囧伓浜ゆ崲

include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

define int long long

vector belong;

struct MoSolution
{
vector a;
int block_size;

struct Question
{
    int l, r, id;
    friend bool operator<(const Question &lhs, const Question &rhs)
    {
        if (belong[lhs.l] == belong[rhs.l])
            if (belong[lhs.l] & 1)
                return lhs.r < rhs.r;
            else
                return lhs.r > rhs.r;
        else
            return lhs.l < rhs.l;
    }
};

vector<Question> questions;

struct Bucket
{
    static const int maxn = 1e6 + 5;

    vector<int> cnt;
    int ans;

    Bucket()
    {
        cnt.resize(maxn);
        ans = 0;
    }

    void Add(int x)
    {
        ans += 2 * cnt[x] * x + x;
        cnt[x]++;
    }

    void Dec(int x)
    {
        cnt[x]--;
        ans -= 2 * cnt[x] * x + x;
    }
} bucket;

vector<int> ans;
int n, m;

void solve()
{
    cin >> n >> m;
    block_size = sqrt(n);

    a.resize(n + 2);
    belong.resize(n + 2);

    for (int i = 1; i <= n; i++)
        cin >> a[i];
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        belong[i] = i / block_size;

    questions.resize(m + 2);
    ans.resize(m + 2);

    for (int i = 1; i <= m; i++)
    {
        cin >> questions[i].l >> questions[i].r;
        questions[i].id = i;
    }

    sort(&questions[1], &questions[m + 1]);

    int l = 1, r = 0;

    for (int i = 1; i <= m; i++)
    {
        int ql = questions[i].l, qr = questions[i].r;

        while (r < qr)
            bucket.Add(a[++r]);
        while (l > ql)
            bucket.Add(a[--l]);

        while (r > qr)
            bucket.Dec(a[r--]);
        while (l < ql)
            bucket.Dec(a[l++]);

        ans[questions[i].id] = bucket.ans;
    }

    for (int i = 1; i <= m; i++)
    {
        cout << ans[i] << endl;
    }
}

};

[CF915D] Almost Acyclic Graph - 鎷撴墤鎺掑簭

鏈夊悜鍥句笂鎸囧畾涓€涓捣鐐广€傝嫢瀛樺湪涓€鏉″埌鍙跺瓙璺濈涓哄鏁扮殑璺緞锛堟敞鎰忚繖閲岀殑璺緞涓嶄竴瀹氭槸鏈€鐭矾寰勶級锛屽垯蹇呰儨銆傝嫢涓嶅瓨鍦紝浣嗘槸鍙互鍒拌揪涓€涓洖璺紝鍒欏彲浠ュ钩灞€銆備笂杩颁袱绉嶉兘涓嶈兘杈惧埌锛屽垯澶辫触銆�

Solution

杩欓噷瀹為檯涓婃槸涓や釜闂

鏄惁瀛樺湪涓€鏉″埌鍙跺瓙璺濈涓哄鏁扮殑璺緞
鏄惁鑳借蛋鍒颁竴涓幆

瀵逛簬闂 1锛屾垜浠敤鍥� dp 鐨勬柟娉曞仛锛屽嵆寤虹珛鍒嗗眰鍥剧劧鍚� BFS锛屽叿浣撳湴锛屽浘鍒嗕负濂囧眰鍜屽伓灞傦紝璧风偣鍦ㄥ伓灞備笂锛岃繛杈规案杩滃湪鐩搁偦灞備腑杩�
瀵逛簬闂 2锛孌FS 涓€閬嶏紝濮嬬粓鏍囪鏍堜腑缁撶偣锛屽鏋滆兘璧板洖鏍堜腑缁撶偣锛岄偅涔堝氨鏈夌幆

Description

缁欏畾涓や釜姝ｆ暣鏁� $n,m(m鈮)$锛屽浜庝竴涓� $n$ 闃� $0-1$ 鏂归樀锛� 鍏朵换鎰� $m$ 闃跺瓙鏂归樀涓嚦灏戞湁涓€涓厓绱� $鈥�0鈥�$锛屽垯鍙互姹傝В杩欎釜鏂归樀涓殑 $鈥�1鈥�$ 鐨勬渶澶ф暟鐩€傜幇姹傝В杩欎釜闂鐨勯€嗗悜闂锛氬凡鐭ヨ繖涓渶澶ф暟鐩负 $X$锛屾眰鐩稿簲鐨� $n$ 鍜� $m$銆�

Solution

璁炬硶璁╂瘡涓� $0$ 琚厖鍒嗗湴鍒╃敤
浜庢槸 $n,m,x$ 婊¤冻鍏崇郴

\[n^2-\lfloor\frac n m \rfloor^2=x \]

浠� $t=\lfloor n/m \rfloor$锛屽垯

\[(n+t)(n-t)=x \]

鏋氫妇 $x$ 鐨勬墍鏈夊垎瑙� $x=ab$锛岄偅涔� $x$ 鍙互鍒嗚В涓哄钩鏂瑰樊褰撲笖浠呭綋 $a,b$ 鐨勫鍋舵€х浉鍚岋紝姝ゆ椂

\[n=\frac{a+b} 2, \ t=\frac{a-b} 2 \]

def MergeTxt(filepath,outfile):
k = open(filepath+outfile, 'a+')
for parent, dirnames, filenames in os.walk(filepath):
for filepath in filenames:
txtPath = os.path.join(parent, filepath)
f = open(txtPath,encoding="utf-8")
k.write(f.read()+"\n")

k.close()

if name == 'main':
filepath="./"
outfile="result.md"
MergeTxt(filepath,outfile)
time2 = time.time()

Description

给定一个 $n$ 个点 $m$ 条边的无向图，找到两个点 $s,t$，使得 $s$ 到 $t$ 必须经过的边最多。

Solution

边双内的边显然都不是关键边，否则必是，于是缩点后求直径即可

[CF1006F] Xor-Paths

以下 $m$ 即为题面中的 $q$

无解的判定

如果两个数之间存在比它们小的数，则无解
如果序列中不存在值为 $m$ 的数，则无解

解的构造

考虑为 $0$ 的位置需要怎样处理

如果数列中没有 $m$，则优先填 $m$

如果某个位置的左侧右侧同时存在 $x$，则该位置 $\ge x$，换言之我们在这个位置需要取它左边右边都有的数中的最大值

否则填 $1$

如何维护

考虑维护一个 std::set，在某个数第一次出现时 insert(x)，最后一次出现时 erase(x)
那么我们每次取 *s.rbegin() 即可

[CF1025D] Recovering BST - 区间dp

Description

给定一棵二叉搜索树 $n \le 700$ 的所有点权，构造二叉树满足任意两个直接相邻的点的权值的 GCD 不是 1

Solution

Description

Solution

Description

Solution

求矩形交点后再求距离
（又把 fabs 写成 abs 了
（以及关错了流同步被迫害

Description

给你 $n$ 个数，去掉尽量少的数使得剩下数的最大公约数比原来的大。无解输出 $-1$。

Solution

判断能否整除即可

如果自己是回文串可以做中心如果一个串和另一个串的转置相等则可以凑一对优先配对

Description

Solution

常规的数位 dp，设 $f[i][j]$ 表示前 $i$ 个数位，有 $j$ 个非零数位时，有多少个数满足条件

Description

给你一个长度为 $n$ 的整数序列，你可以对其做两种操作:

选 $i!=j$，将 $a_j$ 替换为 $a_i\cdot a_j$，删除 $a_i$。
选一个未被删除的 $a_i$，将其删除。该操作在任意时刻均可执行，最多执行一次。

你需要操作 $n-1$ 次，剩下一个数，使其最大。由于剩下的数可能会很大，你需要输出任意一种得到它的操作序列。

Solution

分类讨论

如果负数的个数是偶数
如果没有 $0$，取绝对值处理即可
如果有 $0$，将所有 $0$ 乘在一起，消去，剩下的取绝对值处理即可
如果负数的个数是奇数
如果没有 $0$，消去一个绝对值最小的负数，剩下的取绝对值处理即可
如果有 $0$，先将所有 $0$ 乘在一起，再将绝对值最小的负数乘到 $0$ 上，消去这个 $0$，剩下的取绝对值处理即可

Description

有 $N$ 个点，求与 $y=0$ 相切的，包含这 $N$ 个点的最小圆的半径。

Solution

Description

Solution

左右手数目分别排序后，答案即为 $n+\sum \max(l_i,r_i)$

Solution

CF1070A Find a Number

Description

给定两个数 $d \le 500$ 和 $s \le 5000$，求最小的 $n$ 使得 $d|n$ 并且 $n$ 的各位数字之和为 $s$。

Solution

Solution

[CF1092D1] Great Vova Wall - 栈,贪心

Description

Solution

相当于按奇偶性做匹配，不难想到用栈维护，碰到奇偶性相同的就消去，如果最后栈内剩余元素数量不超过 1 则 YES

Description

Solution

Description

Solution

Description

Solution

容易证明关于总时间满足可二分性
判断时，加上 $[mid/n]$ 个周期偏移，加上 $mid \bmod n$ 的单偏移后，检查曼哈顿距离是否不大于 $mid$ 即可

[CF1117D] Magic Gems - 矩阵乘法优化dp

Description

Solution

设 $f[i]$ 表示用了 $i$ 个单位空间时的方案数，考虑最后一个选出的魔法宝石是否分解，于是有 $f[i]=f[i-1]+f[i-m]$，由于 $m$ 很小，矩阵快速幂即可

Description

给定 $n$ 种木棍，第 $i+1$ 种有 $a_i$ 个，长度为 $2^i$，求用这些木棍可以同时拼出多少个三角形（不可重复使用同一根）

Solution

Description

Solution

设 $f[i]$ 表示划分完 $s[1..i]$ 的最小总代价，则有

\[f[i]=\min(f[i-1]+a, \ \ \min_{j<i, s[j+1..i] \subseteq s[1..j]} f[j]+b) \]

考虑到 $f[]$ 具有单调性，因此在第二种转移中，$j$ 一定要尽可能大，设 $LCS(i,j)$ 表示 $s[1..i]$ 与 $s[1..j]$ 的最长公共后缀，则有

\[f[i]=\min(f[i-1]+a, \min_{j<i} (f_{\max (j, i-LCS(i,j))})) \]

而 $LCS(i,j)$ 可以很轻易地用 SA 求出，事实上，由于

\[\begin {aligned} & LCS(i,j) = 0, & s[i]\neq s[j] \\ & LCS(i,j)=LCS(i-1,j-1)+1, & s[i]=s[j] \end {aligned} \]

可以在 $O(n^2)$ 时间内预处理出 $LCS(i,j)$，故总时间复杂度为 $O(n^2)$

Solution

并查集将所有等于的数合并起来，然后建图拓扑排序，最后 check 一下拓扑排序的结果以检查是否有环

给你一个串 $s$，每次可以花费 $1$ 的代价删去一个子串，要求子串的每一位为同一个字符。求删去整个串的最小代价。$1\le |s|\le 500$

Solution

设 $f[i][j]$ 表示删除子串 $[i,j]$ 的最小花费，则

\[f[i][j]=\min (f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]+1-[s[k]=s[j]]) \]

Solution

设 $f[i][j]$ 表示将前 $i$ 个人分成 $j$ 段，且第 $i$ 个人一定被使用时的最大总人数

\[f[i][j]=\max(f[i-1][j],f[l][j-1]+i-l) \]

其中 $l=lower\_bound(a[i]-5)-1$

Description

Solution

从右往左扫描所有位置，将每个位置上的人尽可能地向右换即可

Description

给定一个长度为 $n$ 的数组，其中有些位置未定（可在 $[1,k]$ 中任意取值），问有多少种填数的方案可以使得数组中不存在长度为奇数的回文子串。

Solution

\[f[i][0]=(k-1) \cdot f[i-1][1] \\ f[i][1]=(k-2)\cdot f[i-1][1] +f[i-1][0] \]

Description

Solution

Description

Solution

答案显然为度数从大到小排序后的第 $k+1$ 个，构造方案时贪心即可

Description

Solution

设 $f[i][j][k]$ 表示三个子串分别匹配到了第 $i,j,k$ 个字符，在母串中推进的最短距离
设 $g[i][c]$ 表示 $S[i..n]$ 内字符 $c$ 第一次出现的位置

\[f[i][j][k]=\left\{ \begin{aligned} & g[f[i-1][j][k]+1][s_1[i]] \\ & g[f[i][j-1][k]+1][s_2[j]] \\ & g[f[i][j][k-1]+1][s_3[k]] \end{aligned} \right. \]

Description

给定两个正整数 $ a,b $，找到非负整数 $ k $ 使 $ a+k $ 与 $ b+k $ 的最小公倍数最小，如有多解输出最小的 $ k $

Solution

有一个由所有长为 $2n$ 的合法括号序列组成的 trie，现在要求这棵树上最多的边数，符合边两两之间均没有共同节点。

Solution

\[f[i][j]=f[i-1][j]+f[i][j-1] \]

于是答案为

\[\sum_{(i+j) \bmod 2=1} f[i][j] \]

为了方便起见可以把坐标整体 $+1$

Description

Solution

双指针一遍即可
不知道这个题怎么评的分

Description

给定一个长度为 $n$ 的排列 $p$，求有多少区间 $[l,r]$ 满足 $p[l]+p[r]=max\{p[i]\}$，其中 $l \le i \le r$

Solution

Description

给出两个整数 $ n $,$ k $ 你需要构造出一个有 $k$ 项的数列 $ A $ 满足以下条件：

对于任意的 $ i\in [1,k] $ 有 $ A_i>0 $
对于任意的 $ i\in (1,k] $ 应当有 $ A_{i-1}<A_i\le2A_{i-1} $
$ \sum\limits_{i=1}^kA_i=n $

Solution

Description

输入 $n$ 个数,构造一个最大的环，环上任意 $\textrm{abs}(a[(i+1)\%n]-a[i]) \le 1$。$a_i \le 2 \times 10^5$

Solution

一定要找一段 $l,l+1,l+2,...,r$，其中除了 $l,r$ 可以只出现一次以外，其它的都至少要出现两次
考虑到 $a_i \le 2\times 10^5$，用桶处理一下即可

Description

Solution

熟悉一下板子（这题为什么有1900？）

Solution

给出 $01$ 串 $s$，求数对 $[l,r]$ 个数，使得能找到至少一对 $x,k$，使 $1\le x,k \le |s|$ 且 $l\le x<x+2k \le r$ 且$s[x]=s[x+k]=s[x+2k]$

Solution

考虑一个暴力，对于所有的 $l$，暴力找到最小的能满足条件的 $r$
容易证明 $r$ 是关于 $l$ 单调的，于是倒序扫描 $l$ 即可

Solution

Description

给两个数 $ n $ 和 $ x $，构造一个满足以下条件的序列：

对任何序列中的元素 $ a_i $，$ 1\le a_i<2^n $
序列中没有非空连续子序列异或和为 $ 0 $ 或 $ x $
序列长度 $ l $ 应该最大

Solution

构造前缀和序列 $s_i = \oplus_{j=1}^i a_i$，每次暴力找一个 $[1,2^n)$ 的数，使得 $s_i$ 没有出现过即可

Solution

从大到小枚举合数，删去它的最大因子
从小到大枚举质数 $p$，删去第 $p$ 个质数

Description

序列 $123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536...$ 是无穷无尽的,现在你要输出它的第 $k$ 项。$k \le 10^{12}$

Solution

分步处理

找到答案所在数的位数
找到答案所在数在当前位数中排第几
找到答案在答案所在数是第几位

Description

Solution

Description

Solution

Description

Solution

设 $pre[i]$ 表示 $i$ 的前驱位置，设 $f[i][j]$ 表示前 $i$ 个字符，长度为 $j$ 的本质不同子串的数量，则

\[f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][j-1]-f[pre[i]-1][j-1] \]

Solution

[CF1188B] Count Pairs - 数学

Description

Solution

[CF11D] A Simple Task - 状态压缩dp

假如 1,2，初态为 r，此时要求 r>=a1, r>=a2-b1，若交换，则 r>=a2, r>=a1-b2，于是我们希望 max(a1,a2-b1)<=max(a2,a1-b2)
于是 a2+b2>=a1+b1

[CF1204D2] Kirk and a Binary String - 思维

Description

给定一个 01 串，要你求出另一个长度相等串使得任意区间内最长不降子序列的长度与原串相等且 0 的总数尽量多。

Solution

括号序列视角：0 看成左括号，1 看成右括号，那么最长不降子序列就是最长的可以匹配的子括号序列长度，这样理解起来会很清楚

Solution

[CF1207F] Remainder Problem - 根号分治

Description

给你一个长度为 $500000$ 的序列，初值为 $0$ ，你要完成 $q$ 次操作，操作有如下两种：

1 x y : 将下标为 $x$ 的位置的值加上 $y$
2 x y : 询问所有下标模 $x$ 的结果为 $y$ 的位置的值之和

Solution

Description

Solution

首先找到最靠后的 $0$，将这个位置 $s$ 赋值为 $\infty$，$a$ 赋值为 $1$，同时将它后面所有的 $s-1$，重复下去即可
用线段树维护

有 $n$ 天时间来买一种物品，一共要买 $k$ 件，第 $i$ 天可以购买的范围是 $[a_i,b_i]$，单价 $c_i$，求最小总花费

Solution

暴力贪心，从最便宜的开始买即可
写完才发现原题要求用 Kotlin，我当做没看见了
主要是借着这题试用了一下 lambda 表达式

给定两个长度为 $2$ 的串，你需要构造一个长度为 $3n$ 的串，使得 a,b,c 三种字母各出现 $n$ 次，且它不包含这两个串，字符集中仅有 a,b,c

Solution

画出转移图，$3$ 个点，$7$ 条边，可能不连通
但是很容易证明以下构造模式集可以对所有有解的情况给出合法的构造
（以 $n=2$ 为例）

aabbcc
aaccbb
bbaacc
bbccaa
ccaabb
ccbbaa
abcabc
acbacb
bcabca
bacbac
cabcab
cbacba

于是我们用每种模式构造一个串，检验是否合法即可

给你一个有 $n$ 个点的带权树，有 $m$ 个查询，每次查询最大权值不大于 $x$ 的点对的数目

Solution

模拟 Kruskal 的过程，并将整个过程的答案记录下来
询问 $x$ 的时候，二分找到最后一个 $\le x$ 的位置，输出这个时刻的答案即可

Solution

浠ヤ笅 $m$ 鍗充负棰橀潰涓殑 $q$

鏃犺В鐨勫垽瀹�

濡傛灉涓や釜鏁颁箣闂村瓨鍦ㄦ瘮瀹冧滑灏忕殑鏁帮紝鍒欐棤瑙�
濡傛灉搴忓垪涓笉瀛樺湪鍊间负 $m$ 鐨勬暟锛屽垯鏃犺В

瑙ｇ殑鏋勯€�

鑰冭檻涓� $0$ 鐨勪綅缃渶瑕佹€庢牱澶勭悊

濡傛灉鏁板垪涓病鏈� $m$锛屽垯浼樺厛濉� $m$

鍚﹀垯濉� $1$

濡備綍缁存姢

[CF1025D] Recovering BST - 鍖洪棿dp

Description

Solution

Description

Solution

Description

Solution

姹傜煩褰氦鐐瑰悗鍐嶆眰璺濈
锛堝張鎶� fabs 鍐欐垚 abs 浜�
锛堜互鍙婂叧閿欎簡娴佸悓姝ヨ杩

Description

缁欎綘 $n$ 涓暟锛屽幓鎺夊敖閲忓皯鐨勬暟浣垮緱鍓╀笅鏁扮殑鏈€澶у叕绾︽暟姣斿師鏉ョ殑澶с€傛棤瑙ｈ緭鍑� $-1$銆�

Solution

Description

Solution

甯歌鐨勬暟浣� dp锛岃 $f[i][j]$ 琛ㄧず鍓� $i$ 涓暟浣嶏紝鏈� $j$ 涓潪闆舵暟浣嶆椂锛屾湁澶氬皯涓暟婊¤冻鏉′欢

Description

缁欎綘涓€涓暱搴︿负 $n$ 鐨勬暣鏁板簭鍒楋紝浣犲彲浠ュ鍏跺仛涓ょ鎿嶄綔:

閫� $i!=j$锛屽皢 $a_j$ 鏇挎崲涓� $a_i\cdot a_j$锛屽垹闄� $a_i$銆�
閫変竴涓湭琚垹闄ょ殑 $a_i$锛屽皢鍏跺垹闄ゃ€�璇ユ搷浣滃湪浠绘剰鏃跺埢鍧囧彲鎵ц锛屾渶澶氭墽琛屼竴娆�銆�

Solution

鍒嗙被璁ㄨ

濡傛灉璐熸暟鐨勪釜鏁�鏄伓鏁�
濡傛灉娌℃湁 $0$锛屽彇缁濆鍊煎鐞嗗嵆鍙�
濡傛灉鏈� $0$锛屽皢鎵€鏈� $0$ 涔樺湪涓€璧凤紝娑堝幓锛屽墿涓嬬殑鍙栫粷瀵瑰€煎鐞嗗嵆鍙�
濡傛灉璐熸暟鐨勪釜鏁�鏄鏁�
濡傛灉娌℃湁 $0$锛屾秷鍘讳竴涓粷瀵瑰€兼渶灏忕殑璐熸暟锛屽墿涓嬬殑鍙栫粷瀵瑰€煎鐞嗗嵆鍙�
濡傛灉鏈� $0$锛屽厛灏嗘墍鏈� $0$ 涔樺湪涓€璧凤紝鍐嶅皢缁濆鍊兼渶灏忕殑璐熸暟涔樺埌 $0$ 涓婏紝娑堝幓杩欎釜 $0$锛屽墿涓嬬殑鍙栫粷瀵瑰€煎鐞嗗嵆鍙�

Description

鏈� $N$ 涓偣锛屾眰涓� $y=0$ 鐩稿垏鐨勶紝鍖呭惈杩� $N$ 涓偣鐨勬渶灏忓渾鐨勫崐寰勩€�

Solution

Description

Solution

CF1070A Find a Number

Description

缁欏畾涓や釜鏁� $d \le 500$ 鍜� $s \le 5000$锛屾眰鏈€灏忕殑 $n$ 浣垮緱 $d|n$ 骞朵笖 $n$ 鐨勫悇浣嶆暟瀛椾箣鍜屼负 $s$銆�

Solution

璁� $f[i][j]$ 琛ㄧず鐢熸垚涓€涓拰涓� $i$ 涓� $\bmod d=j$ 鐨勬暟瀛楃殑鏈€灏� $n$ 鐨勬湯浣嶆暟瀛�
鐢� BFS 瀹炵幇鍗冲彲

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[CF1092D1] Great Vova Wall - 鏍�,璐績

Description

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Description

Solution

\[f[q]=f[p]-s[q]+s[1]-s[q]=f[p]+s[1]-2s[q] \]

Description

Solution

Description

鏈変竴棰楁爲锛屾瘡涓偣鏈変竴涓偣鏉冿紝杈规潈閮芥槸 $1$锛岄棶璺緞涓婄殑鎵€鏈夌偣鐨� gcd 涓嶆槸 $1$ 鐨勬渶闀胯矾寰勬槸澶氬皯锛�

Solution

Description

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[CF1110D] Jongmah

Description

Solution

Description

Solution

Description

Solution

Description

Solution

[CF1117D] Magic Gems - 鐭╅樀涔樻硶浼樺寲dp

Description

Solution

Description

Solution

Description

Solution

璁� $f[i]$ 琛ㄧず鍒掑垎瀹� $s[1..i]$ 鐨勬渶灏忔€讳唬浠凤紝鍒欐湁

\[f[i]=\min(f[i-1]+a, \ \ \min_{j<i, s[j+1..i] \subseteq s[1..j]} f[j]+b) \]

\[f[i]=\min(f[i-1]+a, \min_{j<i} (f_{\max (j, i-LCS(i,j))})) \]

鑰� $LCS(i,j)$ 鍙互寰堣交鏄撳湴鐢� SA 姹傚嚭锛屼簨瀹炰笂锛岀敱浜�

\[\begin {aligned} & LCS(i,j) = 0, & s[i]\neq s[j] \\ & LCS(i,j)=LCS(i-1,j-1)+1, & s[i]=s[j] \end {aligned} \]

\[f[i][0]=(k-1) \cdot f[i-1][1] \\ f[i][1]=(k-2)\cdot f[i-1][1] +f[i-1][0] \]

Description

Solution

Description

Solution

绛旀鏄剧劧涓哄害鏁颁粠澶у埌灏忔帓搴忓悗鐨勭 $k+1$ 涓紝鏋勯€犳柟妗堟椂璐績鍗冲彲

Description

Solution

\[f[i][j][k]=\left\{ \begin{aligned} & g[f[i-1][j][k]+1][s_1[i]] \\ & g[f[i][j-1][k]+1][s_2[j]] \\ & g[f[i][j][k-1]+1][s_3[k]] \end{aligned} \right. \]

Description

Solution

\[f[i][j]=f[i-1][j]+f[i][j-1] \]

浜庢槸绛旀涓�

\[\sum_{(i+j) \bmod 2=1} f[i][j] \]

涓轰簡鏂逛究璧疯鍙互鎶婂潗鏍囨暣浣� $+1$

Description

Solution

鍙屾寚閽堜竴閬嶅嵆鍙�
涓嶇煡閬撹繖涓鎬庝箞璇勭殑鍒�

Description

缁欏畾涓€涓暱搴︿负 $n$ 鐨勬帓鍒� $p$锛屾眰鏈夊灏戝尯闂� $[l,r]$ 婊¤冻 $p[l]+p[r]=max\{p[i]\}$锛屽叾涓� $l \le i \le r$

Solution

Description

缁欏嚭涓や釜鏁存暟 $ n $,$ k $ 浣犻渶瑕佹瀯閫犲嚭涓€涓湁 $k$ 椤圭殑鏁板垪 $ A $ 婊¤冻浠ヤ笅鏉′欢锛�

瀵逛簬浠绘剰鐨� $ i\in [1,k] $ 鏈� $ A_i>0 $
瀵逛簬浠绘剰鐨� $ i\in (1,k] $ 搴斿綋鏈� $ A_{i-1}<A_i\le2A_{i-1} $
$ \sum\limits_{i=1}^kA_i=n $

Solution

Description

杈撳叆 $n$ 涓暟,鏋勯€犱竴涓渶澶х殑鐜紝鐜笂浠绘剰 $\textrm{abs}(a[(i+1)\%n]-a[i]) \le 1$銆�$a_i \le 2 \times 10^5$

Solution

Description

Solution

Description

缁欎袱涓暟 $ n $ 鍜� $ x $锛屾瀯閫犱竴涓弧瓒充互涓嬫潯浠剁殑搴忓垪锛�

瀵逛换浣曞簭鍒椾腑鐨勫厓绱� $ a_i $锛�$ 1\le a_i<2^n $
搴忓垪涓病鏈夐潪绌鸿繛缁瓙搴忓垪寮傛垨鍜�涓� $ 0 $ 鎴� $ x $
搴忓垪闀垮害 $ l $ 搴旇鏈€澶�

Solution

浠庡ぇ鍒板皬鏋氫妇鍚堟暟锛屽垹鍘诲畠鐨勬渶澶у洜瀛�
浠庡皬鍒板ぇ鏋氫妇璐ㄦ暟 $p$锛屽垹鍘荤 $p$ 涓川鏁�

Description

搴忓垪 $123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536...$ 鏄棤绌锋棤灏界殑,鐜板湪浣犺杈撳嚭瀹冪殑绗� $k$ 椤广€�$k \le 10^{12}$

Solution

鍒嗘澶勭悊

鎵惧埌绛旀鎵€鍦ㄦ暟鐨勪綅鏁�
鎵惧埌绛旀鎵€鍦ㄦ暟鍦ㄥ綋鍓嶄綅鏁颁腑鎺掔鍑�
鎵惧埌绛旀鍦ㄧ瓟妗堟墍鍦ㄦ暟鏄鍑犱綅

Description

Solution

Description

Solution

Description

Solution

璁� $pre[i]$ 琛ㄧず $i$ 鐨勫墠椹变綅缃紝璁� $f[i][j]$ 琛ㄧず鍓� $i$ 涓瓧绗︼紝闀垮害涓� $j$ 鐨勬湰璐ㄤ笉鍚屽瓙涓茬殑鏁伴噺锛屽垯

\[f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][j-1]-f[pre[i]-1][j-1] \]

Solution

[CF1188B] Count Pairs - 鏁板

Description

Solution

[CF11D] A Simple Task - 鐘舵€佸帇缂ヾp

Description

姹傜畝鍗曟棤鍚戝浘鐨勭幆鏁般€�

Solution

Description

缁欎綘涓€涓暟 $ n $锛屾眰鍑轰竴涓湁 $ n $ 涓瓙搴忓垪涓� $ 1337 $ 鐨勫簭鍒楋紝搴忓垪闀垮害涓嶈兘澶т簬 $ 10^5 $銆�

Solution

[CF1203F1] Complete the Projects - 涓撮」浜ゆ崲鎺掑簭

Description

Solution

涓撮」浜ゆ崲鎺掑簭
瀵逛簬 bi > 0 鐨勯儴鍒嗭紝鏄剧劧鎸� ai 鎺掑簭
鍚﹀垯锛屾寜 ai+bi 鎺掑簭鍗冲彲

鍋囧 1,2锛屽垵鎬佷负 r锛屾鏃惰姹� r>=a1, r>=a2-b1锛岃嫢浜ゆ崲锛屽垯 r>=a2, r>=a1-b2锛屼簬鏄垜浠笇鏈� max(a1,a2-b1)<=max(a2,a1-b2)
浜庢槸 a2+b2>=a1+b1

鎷彿搴忓垪瑙嗚锛�0 鐪嬫垚宸︽嫭鍙凤紝1 鐪嬫垚鍙虫嫭鍙凤紝閭ｄ箞鏈€闀夸笉闄嶅瓙搴忓垪灏辨槸鏈€闀跨殑鍙互鍖归厤鐨勫瓙鎷彿搴忓垪闀垮害锛岃繖鏍风悊瑙ｈ捣鏉ヤ細寰堟竻妤�

1 x y : 灏嗕笅鏍囦负 $x$ 鐨勪綅缃殑鍊煎姞涓� $y$
2 x y : 璇㈤棶鎵€鏈変笅鏍囨ā $x$ 鐨勭粨鏋滀负 $y$ 鐨勪綅缃殑鍊间箣鍜�

Solution

Description

Solution

aabbcc
aaccbb
bbaacc
bbccaa
ccaabb
ccbbaa
abcabc
acbacb
bcabca
bacbac
cabcab
cbacba

Solution

璁ㄨ绛旀鐨勫悇绉嶆儏鍐�

鍥涜锛岃繖绉嶆儏鍐典笅鐩存帴姹傚拰鍙栧墠 $4$ 涓渶澶у€煎嵆鍙�
涓夎涓€鍒楋紝鏋氫妇鍙栧摢涓€鍒楋紝鐒跺悗姣忔鏆村姏鎻愬彇鍓� $3$ 涓鏈€澶у€�
涓よ涓ゅ垪锛屾樉鐒� $n,m$ 涓繀鏈変竴涓� $\leq \sqrt{10^5}$锛岃瀹冩槸琛岋紝鍒欐毚鍔涙灇涓鹃€夊摢涓よ锛岀劧鍚庝粛鐒舵寜鐓у墠杩版柟娉曡绠楃瓟妗堝嵆鍙�

鍏朵綑鎯呭喌鍙互鐢变笂闈笁绉嶅熀鏈儏鍐垫棆杞緱鍒�
澶嶆潅搴� $\mathcal{O} (nm \min(n,m))$

[CF1220C]

Description

Solution

CF1234F Yet Another Substring Reverse

Description

Solution

Code

[CF1236D] Alice and the Doll

Description

Solution

Code

Solution

\[2(F_n+F_m-1) \]

Solution

Description

Solution

Description

Solution

Description

Solution

鍙渶瑕佽褰曟瘡涓偣杈撳嚭鍜岃緭鍏ョ殑鎬婚噺锛屾璐熷悇鎴愪竴閮紝鐒跺悗姝ｉ儴鍚戠潃璐熼儴鍋氱被浼煎尮閰嶇殑鎿嶄綔鍗冲彲

Description

Solution

棣栧厛锛屽浜庣‘瀹氱殑 $s$ 鍜屾煇绉嶇殑涓暟 $c$锛屽鏋滄弧瓒� $c \in [x(s-1),xs]$锛屽垯鍙互鐢� $x$ 鍧楀睆骞曡涓嬪畠
瀵逛簬

\[x(s-1) \le c \le xs \]

鍙樺舰涓�

\[l=\frac c s \le x \le \frac c {s-1}=r \]

Solution

瀵逛簬濂囨暟 $i$锛�$f(i)=g(i)$
瀵逛簬鍋舵暟 $i$锛�$f(i)=g(i)+g(i+1)$

Solution

[CF1278D] Segment Tree - 鎵弿绾�,骞舵煡闆�,set

Description

Solution

Description

Solution

Description

Solution

Description

Solution

Description

Solution

鏁扮粍涓墍鏈夊厓绱犵殑鍙栧€煎湪 $[1, n]$ 涔嬮棿
$a$ 鍜� $b$ 鏁扮粍闀垮害鏄� $m$
$a$ 鏁扮粍鏄崟璋冧笉闄嶇殑锛�$b$ 鏁扮粍鏄崟璋冧笉澧�
浠绘剰鐨勪綅缃� $i$锛屾湁 $a_i \leq b_i$

Solution

DP 瑙ｆ硶

璁� $f[i][j]$ 琛ㄧず濉竴涓� $i$ 闀垮害鐨勫簭鍒楋紝鏈€鍚庝竴浣嶄负 $j$ 鐨勬柟妗堟暟锛屼簬鏄�

\[f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][j-1] \]

鏆村姏杞Щ鍗冲彲锛屾椂闂村鏉傚害 $O(nm)$

Solution

鎵惧埌杈圭晫鐒跺悗寰幆鎵竴閬嶆暟涓暟鍗冲彲
CF 题解汇总

Solution

$2a>n$锛屼竴娆℃€х粨鏉燂紝鐩存帴杈撳嚭 $n$
$a \geq b$锛岄偅涔堜竴鐩翠慨鍗冲彲锛岀洿鎺ヨ緭鍑� $n$
鍚﹀垯锛�$a$ 鍗犲急鍔匡紝鎴戜滑鑰冭檻鐢� $a$ 淇竴鍗婇渶瑕佺殑瀹屾暣杞鏁颁负 $[(n-1)/2a]$ 锛岄偅涔堣繖浜涜疆涓紝 $a$ 淇帀鐨勪釜鏁颁负 $[n/2a]a$锛岃€� $b$ 淇帀鐨勪釜鏁板垯鏄� $[n/2], [n/2a]b$ 涓殑杈冨皬鍊笺€傝绠楀墿浣欓噺鐒跺悗鏆村姏淇嵆鍙€�

濡傛灉 $cnt>0$锛岄偅涔堢洿鎺ヤ粠 $cnt$ 閲屾嬁涓€涓紝绛旀涓嶅彉
鍚﹀垯锛屾毚鍔涘悜鏇撮珮浣嶆壘鍒版渶灏忕殑閭ｄ竴涓紝姣斿瀹冨湪 $j$ 浣嶏紝閭ｄ箞灏� $a_j$ 鍑� $1$锛屽悓鏃跺皢 $a_{j-1},...,a_{i}$ 閮藉姞涓� $1$锛屽苟涓旂瓟妗堝鍔� $j-i$

鍋氬畬姣忎竴浣嶅悗锛岀淮鎶や竴涓� $cnt$ 鍗冲彲
锛堣繃鏅氫簡涓€鍒嗛挓锛�
CF 题解汇总

Solution

鎻掑叆涓€鏉＄洿绾� $y=ax+b$锛屽叾涓� $a=s_1,b=v_1$
璇㈤棶 $x=l_2$ 涓庢墍鏈夌洿绾夸氦鐐逛腑鏈€涓婇潰鐨勯偅涓€涓�

鏍囧噯鐨勬潕瓒呯嚎娈垫爲妯℃澘
鎴戝張鎶婄偣鍒嗘暡閿欙紝鏁扮粍寮€灏�

涓嶇粡杩� $(x,y)$

缁忚繃 $x \to y$

缁忚繃 $y \to x$

鍋囪鏌愪釜鍩烘湰璺緞鐨勭瓟妗堟槸 $d$锛岃闂槸 $k$锛屽鏋滃悓鏃舵弧瓒充互涓嬫潯浠讹紝鍒欒鍩烘湰璺緞鍙互浣滀负绛旀

$d \leq k$

$d = k \ (mod \ 2)$

[CF1305E] Kuroni and the Score Distribution - 鏋勯€�

Description

define int long long

const int N = 200005;

int n,k,a[N],pre[N],suf[N],ans=1e18;
map<int,int> mp;

Solution

[CF1333D] Challenges in school 鈩�41 - 閫嗗簭瀵�,鍐掓场鎺掑簭

Description

Solution

Description

Solution

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Description

Solution

Description

Solution

Description

Solution

Description

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Description

Solution

Description

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Description

Solution

Description

Solution

Description

Solution

Description

缁欏畾涓€涓竟闀夸负 $1$ 鐨勬 $2n$ 杈瑰舰锛屾眰鑳藉绾冲畠鐨勬渶灏忕殑姝ｆ柟褰㈢殑杈归暱銆�

Solution

[CF1354D] Multiset

Description

Solution

Description

Solution

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棣栧厛灏� $M$ 瀵� $A+R$ 鍙� $\min$锛岀劧鍚庝笁鍒嗙洰鏍囬珮搴︼紝鑳界敤 3 鎿嶄綔灏卞厛鐢� 3 鎿嶄綔锛屽墿涓嬬殑鐢� 2 鎿嶄綔銆�

[CF1358D] The Best Vacation - 鍙屾寚閽�

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姹� $l,r$ 浣垮緱 $\sum_{l \le i \le r} a_i - \max_{l \le i \le r} a_i$ 鏈€澶у寲銆�$|a_i| \le 30$

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褰撲笖浠呭綋 $na=mb$ 鏃讹紝鍙互鏋勯€犲嚭绗﹀悎瑕佹眰鐨勭煩闃点€傛瀯閫犳椂鎴戜滑鍙渶瑕佹寜琛屽垪鍒嗗埆寰幆鍗冲彲銆�

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[CF1363D] Guess The Maximums

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[CF1365E] Maximum Subsequence Value - 璐績

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濡傛灉 $x$ 娌℃湁瀛╁瓙锛岄偅涔堢粰浠栧姞涓婁竴涓瀛愩€�
濡傛灉 $x$ 鍙湁涓€涓瀛愶紝閭ｄ箞缁欎粬鍔犱笂涓や釜瀛╁瓙銆�
濡傛灉 $x$ 宸茬粡鏈変簡瓒呰繃涓€涓瀛愶紝閭ｄ箞鎴戜滑璺宠繃鑺傜偣 $x$銆�

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瀵� $n \le 150, k \le 9$锛屾眰鏈€灏忕殑闈炶礋鏁存暟 $x$ 婊¤冻 $f(x)+f(x+1)+...+f(x+k)=n$锛屽叾涓� $f(x)$ 琛ㄧず $x$ 鐨勫悇涓暟浣嶇殑鍜屻€�

Solution

姣忓鍔犱竴浣嶆暟锛屾暟瀛楀ぇ灏忕殑澧為暱鏄寚鏁扮殑锛岃€� $f$ 鍊肩殑澧為暱鏄嚎鎬х殑銆�

姣斿 $k=1$ 鏃讹紝$f(8)+f(9)=17$锛岃€� $f(80)+f(81)=17$锛�$f(98)+f(99)=35$锛岃€� $f(980+981)=35$

鏆村姏鏋勯€犺繖涓瓟妗堝簭鍒楃殑鏂规硶鏄細浠庡簭鍒� $0,1,2,...,n-1$ 寮€濮嬶紝姣忔鏆村姏瀵瑰簭鍒楃殑涓€涓敖鍙兘闀跨殑鍓嶇紑澧炲姞 $1$銆�

缁撹涓�

\[a_i = (i-1)+[\frac {s-\frac {n(n-1)}{2}} n] + [i<({(s-\frac {n(n-1)}{2})} \mod n)] \]

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缁欏畾涓€涓� $n \times m$ 鐨勭綉鏍硷紝姣忎釜鏍煎瓙鏈変竴涓鑹诧紝闂湁澶氬皯涓悓鑹茶彵褰€€�$n,m \le 2000$

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[CF13E] Holes - 鍒嗗潡

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鍒嗗潡锛岃褰曟瘡涓潡鍐呮瘡涓綅缃脊鍑鸿鍧楃殑鏃堕棿 tim[i] 鍜屽脊鍑哄埌鐨勪綅缃� pos[i]

[CF1400D] Zigzags - 浜屽垎

Description

缁欏畾涓€涓暱搴︿负 $n \le 3000$ 鐨勬暟鍒楋紝姹傛湁澶氬皯涓洓鍏冪粍 $(i,j,k,l)$ 婊¤冻 $1 \le i < j < k < l \le n$ 涓� $a_i = a_k, a_j = a_l$銆�

Solution

鏋氫妇 $j,k$锛岀敤鍓嶇紑鍜岀粺璁� $i$锛岀敤鍚庣紑鍜岀粺璁� $l$銆�

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缁欏畾涓€涓簭鍒楋紝姣忔鍙互浠� $i$ 璺冲埌 $j (>i)$ 褰撲笖浠呭綋婊¤冻浠ヤ笅涓変釜鏉′欢涔嬩竴锛�

$i+1=j$

$\max(h[i+1,j-1])<\min(h_i,h_j)$

$\min(h[i+1,j-1])>\max(h_i,h_j)$

姹備粠涓嬫爣涓� $1$ 鐨勪綅缃烦鍒颁笅鏍囦负 $n$ 鐨勪綅缃姳璐圭殑鏈€灏忔鏁般€�

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缁欏畾涓€涓瓧绗︿覆 $s$锛屾眰鑷冲皯瀵� $s$ 杩涜澶氬皯娆＄浉閭诲瓧绗︿氦鎹㈡搷浣滄墠鑳戒娇寰� $s$ 鍙樻垚 $s$ 鐨勭炕杞覆銆�

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缁欏畾涓€涓暱搴︿负 $n$ 鐨勫簭鍒楋紝姣忔鍙互瀵逛竴涓墠缂€鎴栧悗缂€ $-1$锛屾眰鑳藉惁浣垮緱鏁翠釜鏁板垪涓� $0$銆�

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濡傛灉 $a_{i-1},a_{i+1}$ 涓伆濂芥湁涓€涓悎娉曪紝閭ｄ箞鎴戜滑鎶婂畠鍒犻櫎鍗冲彲銆�

濡傛灉 $a_{i-1},a_{i+1}$ 鍧囦笉鍚堟硶锛屽垯鏃犺В銆�

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[CF1450C1] Errich-Tac-Toe (Easy Version) - 鏋勯€�

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[CF1450C2] Errich-Tac-Toe - 鏋勯€�

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[CF1454F] Array Partition - ST琛�,浜屽垎

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[CF1466F] Euclid's nightmare - 骞舵煡闆�

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[CF1467C] Three Bags - 鎬濈淮

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[CF1467D] Sum of Paths - dp

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[CF1470A] Strange Birthday Party - 甯︽挙閿€璐績

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[CF1470B] Strange Definition - 鏁拌

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[CF1472G] Moving to the Capital - 鏈€鐭矾

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[CF1473D] Program - 绾挎鏍�

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[CF1473E] Minimum Path - 鍒嗗眰鍥炬渶鐭矾

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[CF1475F] Unusual Matrix

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[CF1475G] Strange Beauty - 鏁拌

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鏈� $n$ 涓暟锛屼粠涓寫閫変竴涓瓙闆嗭紝浣垮緱闆嗗悎涓换鎰忎袱涓笉鍚岀殑鏁� $x,y$锛屾湁 $x|y$ 鎴� $y|x$銆�

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缁欏畾鏁板垪 $a[]$锛屽姣忎釜 $a[i]$ 鎵惧埌浠绘剰涓€涓� $a[j]$ 浣垮緱 $a[i] \& a[j]=0$锛屾棤瑙ｅ垯 $-1$銆�

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[CF276B]

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\[f[i]=\min_{1\le i <j } (f[i]+a[i]b[j]) \]

瀵逛簬 $j \le k$锛岃嫢 $k$ 浼樹簬 $j$ 鍒欐湁 $f[j]+a[i]b[j] > f[k]+a[i]b[k]$锛屽寲涓烘枩鐜囧舰寮忎负

\[\frac {(-f[k])-(-f[j])} {b[k]-b[j]} < a[i] \]

鑰� $a[i]$ 鍗曡皟閫掑锛屽洜姝ゆ垜浠敤鍗曡皟闃熷垪缁存姢涓嬪嚫鍖呭嵆鍙�

[CF321A] Ciel and Robot

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[CF321C] Ciel the Commander - 鐐瑰垎娌�

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[CF321E] Ciel and Gondolas - 鍐崇瓥鍗曡皟鎬p

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O(nnk) 鐨� dp 鏄樉鐒剁殑锛岀敱浜庢弧瓒冲洓杈瑰舰涓嶇瓑寮忥紝鍏锋湁鍐崇瓥鍗曡皟鎬�

[CF342E] Xenia and Tree - 鍒嗗潡,ST琛�,LCA

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[CF354C] Vasya and Beautiful Arrays

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[CF375D] Tree and Queries - dsu on tree

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姹傚湪涓や釜缁欏畾瀛楃涓蹭腑鍚勫彧鍑虹幇涓€娆＄殑鏈€鐭殑鍏叡瀛愪覆銆�

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姹傛弧瓒� $n+1\sim 2n$ 涔嬮棿鎭版湁 $m$ 涓暟浜岃繘鍒惰〃绀轰腑鏈� $k$ 涓� $1$ 鐨� $n$锛岃緭鍑轰换鎰忎竴涓В鍗冲彲銆�

Solution

\[f[i][j][0]=f[i-1][j][0]+f[i-1][j-1][0]+f[i-1][j][1] \\ f[i][j][1]=f[i-1][j-1][1] \]

濡傛灉 $a[i]=0$

\[f[i][j][0]=f[i-1][j][0] + f[i-1][j-1][0] \\ f[i][j][1]=f[i-1][j][1] \]

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[CF438D] The Child and Sequence - 绾挎鏍�

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缁欏畾鏁板垪锛屾煡璇㈠尯闂村拰锛屽尯闂村彇妯★紝鍗曠偣淇敼銆�

Solution

绾挎鏍戯紝璁板綍鍖洪棿鏈€澶у€硷紝濡傛灉澶т簬瑕佸彇妯＄殑鏁板氨鎶婁慨鏀规毚鍔涢€掑綊涓嬪幓銆�

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Solution

\[f(n)=\sum_{i=1}^{n}c(i)\sum_{j=0}^{n-i}f(j)f(n-i-j) \]

寰�$$F(x)=F(x) F(x) C(x)+1$$锛屼簬鏄湁

\[F(x)=\frac{2}{1+\sqrt{1-4C(x)}} \]

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[CF463C] Gargari and Bishops - 缁撹

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璁炬€诲拰涓� $sum$锛屽彧鑰冭檻 $3|sum$ 鐨勬儏鍐碉紝璁� $k=sum/3$锛屽垯缁熻 $s[i]=\sum_{j=1}^{i} [a[i]=k]$锛屽垯 $ans=\sum_{a[i]=2k} s[i-1]$銆�

Description

$y$ 鎴愪簡 $x$ 鐨勪笂鍙�
$x$ 寰楀埌浜嗕竴浠芥枃浠讹紝$x$ 鎶婃枃浠朵紶缁欎簡浠栫殑涓婂徃锛屼粬鐨勪笂鍙稿張浼氫紶缁欎笂鍙哥殑涓婂徃锛岀洿鍒版煇浜烘病鏈変笂鍙革紝姝ゆ椂鏂囦欢琚攢姣�
璇㈤棶 $x$ 鏄惁鐪嬭繃绗� $i$ 浠芥枃浠�

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$O(n^2)$ dp

璁�$f[i]$琛ㄧず鍒嗗墠$i$涓暟鍙互寰楀埌鐨勬渶澶у拰锛屽垯

\[f_i = Max_{0 \leq j < i}(f[j]+Query(j+1,i)) \]

璐績

Description

缁欏畾涓€妫靛甫鐐规潈鐨勬爲锛屾眰婊¤冻鐐规潈鏋佸樊涓嶈秴杩� $d$ 鐨勮繛閫氬瓙鍥剧殑涓暟銆�$n,d \le 2000$銆�

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[CF498C] Array and Operations - 鏁拌,鏈€澶ф祦

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[CF519E] A and B and Lecture Rooms - LCA

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缁欏畾涓€妫垫爲锛屾湁 $m$ 缁勮闂紝姣忔缁欏畾涓や釜鐐� $u,v$锛岄棶鍒� $u,v$ 璺濈鐩哥瓑鐨勭偣鏈夊灏戜釜銆�

Solution

涓偣瀛樺湪鐨勫厖瑕佹潯浠朵负 $2|(DEP(u)+DEP(v))$锛屽鏋滀腑鐐瑰瓨鍦紝閭ｄ箞瀹冪殑娣卞害锛屾槸鍙互姹傚嚭鐨勶細鐩撮摼鐨勬儏鍐典负 $\frac {DEP(u)+DEP(v)} 2$锛屾洸閾剧殑鎯呭喌涓嬶紝璁� $len = DEP(u)+DEP(v)-2DEP(l)$锛屽亣璁� $DEP(u) \ge DEP(v)$锛屽垯 $MID$ 鐨勬繁搴︿负 $DEP(u)-\frac {len} 2$銆傛眰鍑烘繁搴﹀悗锛屾垜浠粠杈冩繁鐐瑰€嶅鍚戜笂璺冲嵆鍙€�

闂 2锛氭€庢牱鐮嶆帀鐐� $p$ 涓庣偣 $q$ 鐩稿叧鐨勪竴妫靛瓙鏍戯紵

鎴戜滑灏� $q$ 鍊嶅鍚戜笂璺筹紝浣垮畠鎴愪负 $p$ 鐨勫瀛愶紝閭ｄ箞姝ゆ椂鐨勬繁搴︽樉鐒舵槸 $DEP(p)+1$銆�

\[f[i]=\min_{i \to j} h[j], \ \ h[i]=\sum_{i \to j} f[j] \]

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[CF543B] Destroying Roads - 鏈€鐭矾

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[CF546E] Soldier and Traveling - 鏈€澶ф祦

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鐩存帴瀵瑰煄甯傛媶鐐逛负鍏ョ偣銆佸嚭鐐瑰悗璺戞渶澶ф祦

[CF551C] GukiZ hates Boxes - 浜屽垎,璐績

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[CF558E] A Simple Task - 绾挎鏍�

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绾挎鏍戯紝姣忎釜缁撶偣缁存姢鍖洪棿鍐� 26 涓瓧姣嶇殑鍑虹幇娆℃暟锛屽姣忔鎺掑簭鎿嶄綔鏆村姏閲嶆柊瑕嗙洊銆�

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\[f[i]=g(x_i,y_i) - \sum_{j \to i} g(x_i-x_j+1,y_i-y_j+1 )\cdot f[j] \]

鍏朵腑 $j \to i \Leftrightarrow x_j \le x_i \and y_j \le y_i$锛�$g(x,y)$ 琛ㄧず鏃犻殰纰嶆儏鍐典笅 $(1,1) \to (x,y)$ 鐨勬柟妗堟暟锛屾湁

\[g(x,y)=\binom {x+y-2}{x-1} \]

Description

缁欏畾 $[l,r]$锛屾眰 $[l,r]$ 涔嬮棿鏈夊灏戜釜鏁版弧瓒冲畠鐨勪换鎰忔暟浣嶉兘鍙互鏁撮櫎瀹冩湰韬€�

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缁欏畾 $n$ 涓暟锛岄棶鑳藉惁閫夊嚭涓€涓潪绌哄瓙闆嗕娇寰楀拰鑳借 $m \le 10^3$ 鏁撮櫎銆�

Solution

姝ｇ粡瑙ｆ硶搴旇鏄厛瀹规枼鍘熺悊鍐嶈儗鍖呫€�
鍙槸鍐欎簡涓€鍙� bitset 鑳屽寘灏卞啿杩囧幓浜嗐€�

[CF587C] Duff in the Army - 鏍戜笂鍊嶅,STL

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鏍戜笂鍊嶅澶勭悊璺緞闂锛岄噸杞界粨鐐瑰姞娉�

[CF598C] Nearest vectors - 璁＄畻鍑犱綍

Description

鏈� n 涓偣锛屾瘡涓偣琛ㄧず鍘熺偣鍒拌鐐圭殑鍚戦噺锛岃浣犳眰鍑轰袱涓悜閲忔渶灏忕殑澶硅锛岃緭鍑哄悜閲忕殑搴忓彿銆�

Solution

鑰冭檻鏆村姏绠楀嚭鏋佽鐒跺悗鎺掑簭锛岀敤 atan2(y,x)

[CF5C] Longest Regular Bracket Sequence - 璐績,dp

Description

缁欏嚭涓€涓嫭鍙峰簭鍒楋紝姹傚嚭鏈€闀垮悎娉曞瓙涓插拰瀹冪殑鏁伴噺銆�

Solution

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[CF603R]

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Solution

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瀵规棤鍚戝浘姹傚叾涓瘡鏉¤竟蹇呴』琚€変腑鏃剁殑鏈€灏忕敓鎴愭爲銆�

Solution

Description

姹� $\sum_{i=1}^m ( n \bmod i)$锛�$n,m \le 10^{13}$

Solution

鑰冭檻浣垮緱 $[n/i]$ 鐩稿悓鐨勪竴娈� $i$锛岃涓� $[l,r]$锛屽垯

\[\sum_{i=l}^r n \bmod i = n(r-l+1)-[\frac n l] (\frac {r(r+1)} 2 - \frac {l(l+1)} 2) \]

鍙互鍦� $O(1)$ 鏃堕棿鍐呰绠楋紝鏁呮椂闂村鏉傚害 $O(\sqrt n)$
鍙栨ā鍧戯紒

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[CF620E] New Year Tree - 绾挎鏍�,DFS搴�,浣嶈繍绠�

Description

缁欏嚭涓€妫� $n$ 涓妭鐐圭殑鏍戯紝鏍硅妭鐐逛负 $1$銆傛瘡涓妭鐐逛笂鏈変竴绉嶉鑹� $c_i$銆�$m$ 娆℃搷浣溿€傛搷浣滄湁涓ょ锛�

1 u c锛氬皢浠� $u$ 涓烘牴鐨勫瓙鏍戜笂鐨勬墍鏈夎妭鐐圭殑棰滆壊鏀逛负 $c$銆�
2 u锛氳闂互 $u$ 涓烘牴鐨勫瓙鏍戜笂鐨勬墍鏈夎妭鐐圭殑棰滆壊鏁伴噺銆�

$1\le n,m\le 4\times 10^5$锛�$1\le c_i,c\le 60$

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[CF653F] Paper task

Description

缁欏畾涓€涓嫭鍙峰簭鍒楋紝缁熻鍚堟硶鐨勬湰璐ㄤ笉鍚屽瓙涓茬殑涓暟銆�

Solution

\[f[i][j]=\sum_{l=j-k}^{j+k} f[i-1][l] \]

鐢ㄤ竴涓嬪墠缂€鍜屽嵆鍙€�

Description

缁欎竴寮犳棤鍚戝浘瀹氬悜锛屼娇寰楁湁鏈€澶氱殑鐐规弧瓒冲叆搴︾瓑浜庡嚭搴︺€�$T \le 200, n \le 200, m\le 20000$

Solution

Description

Solution

鑰冭檻瀵逛簬涓€娈甸暱涓� $len$ 鐨勫尯闂达紝璁炬參閫� $x$锛屽揩閫� $(len-x)$锛屽垯

\[t=2x+len-x=x+len \\ v=x+2(len-x)=2len-x \Rightarrow x=2len-v \\ 0 \le x \le len \]

[CF734E] Anton and Tree - 鏍戠殑鐩村緞

Description

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灏嗗悓鑹茶繛閫氬潡缂╃偣鍚庯紝绛旀鏄剧劧绛変簬鏍戠殑鍗婂緞

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[CF755B]

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Code

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Solution

\[f_{i,j}=f_{i-1,j}+f_{i-1,j-1}+f_{i-2,j-1} \]

\[f_{a+b,i} = \sum_{j=1}^{i-1} f_{a,j}f_{b,i-j}+\sum_{j=1}^{i-2}f_{a-1,j}f_{b-1,i-j-1} \]

鑰冭檻杞寲涓哄椤瑰紡褰㈠紡锛岃 $F_n(x)=\sum_{i=0}^k f_{n,i} x^i$锛屽垯涓婅堪鏂圭▼鍙互杞寲涓�

\[F_n(x)=F_{n-1}(x)+xF_{n-1}(x)+xF_{n-2}(x) \]

\[F_{a+b}(x)=F_a(x)F_b(x)+xF_{a-1}(x)F_{b-1}(x) \]

鑰冭檻浠� $a=n,b=n$锛屽垯绗簩绉嶈浆绉绘柟妗堢殑閫掓帹寮忔敼鍐欎负

\[F_{2n}(x)=F_n^2(x)+xF_{n-1}^2(x) \]

鍚岀悊鏈�

\[F_{2n-1}(x)=F_n(x)F_{n-1}(x)+xF_{n-1}(x)F_{n-2}(x) \]

\[F_{2n-2}(x)=F_{n-1}^2(x)+xF_{n-2}^2(x) \]

鏁寸悊涓€涓嬶紝鎴戜滑鐜板湪鎷ユ湁鐨勫椤瑰紡褰㈠紡鐨勯€掓帹寮忔湁

\[F_n(x)=F_{n-1}(x)+xF_{n-1}(x)+xF_{n-2}(x) \]

\[F_{2n}(x)=F_n^2(x)+xF_{n-1}^2(x) \]

\[F_{2n-1}(x)=F_n(x)F_{n-1}(x)+xF_{n-1}(x)F_{n-2}(x) \]

\[F_{2n-2}(x)=F_{n-1}^2(x)+xF_{n-2}^2(x) \]

Description

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Solution

dp锛屽垎鍒涓夌璇㈤棶杩涜澶勭悊锛�$O(n^2)$

Description

$n$ 绉嶇墿鍝侊紝姹備竴娆″彇涓€浠舵妸鎵€鏈夌绫诲彇閬嶇殑姒傜巼涓嶅皬浜庣粰瀹氬€� $p/2000$ 鐨勬渶灏忓ぉ鏁般€�

Solution

璁� $f[i][j]$ 琛ㄧず鍓� $i$ 娆″彇鍑轰簡 $j$ 绉嶇殑姒傜巼锛屽垯

\[f[i][j]=\frac j n f[i-1][j] + \frac {n-j+1} n f[i-1][j-1] \]

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[CF786B] Legacy - 绾挎鏍戜紭鍖栧缓鍥�,鏈€鐭矾

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[CF833B] The Bakery - dp,绾挎鏍�

Description

灏嗛暱 n 鐨勫簭鍒楀垎鎴� k 娈碉紝姣忔鐨勪环鍊间负鍖洪棿鍐呬笉鍚屾暟瀛椾釜鏁帮紝浣垮緱鎬讳环鍊兼渶澶с€�$n \le 35000, k \le 50$

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[CF837D] Round Subset - dp

Description

Solution

璁� $f[i][j][k]$ 琛ㄧず浠庡墠 i 涓暟涓€変簡 j 涓紝宸茬粡鏈変簡 k 涓� 5锛屾渶澶氳兘鏈夊灏戜釜 2

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瀛楀吀鏍戣В娉�

map瑙ｆ硶

灏嗗綋鍓嶇殑鏁板姞鍒拌嚜宸辩殑寰楀垎涓紝骞跺皢鍐崇瓥鏉冪粰瀵规柟锛屽鏂瑰皢鑾峰緱涓嬩竴涓暟鐨勫喅绛栨潈

灏嗗綋鍓嶇殑鏁板姞鍒板鏂圭殑寰楀垎涓紝骞跺皢鍐崇瓥鏉冧繚鐣欑粰鑷繁锛岃嚜宸卞皢鑾峰緱涓嬩竴涓暟鐨勫喅绛栨潈

鍋囧畾浠栦滑閮戒娇鐢ㄦ渶浼樼瓥鐣ワ紝姹備粬浠渶鍚庡垎鍒兘鑾峰緱澶氬皯鍒�

Solution

[CF86D] Powerful array - 鑾槦

Description

Solution

include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

define int long long

vector belong;

struct MoSolution
{
vector a;
int block_size;

struct Question
{
    int l, r, id;
    friend bool operator<(const Question &lhs, const Question &rhs)
    {
        if (belong[lhs.l] == belong[rhs.l])
            if (belong[lhs.l] & 1)
                return lhs.r < rhs.r;
            else
                return lhs.r > rhs.r;
        else
            return lhs.l < rhs.l;
    }
};

vector<Question> questions;

struct Bucket
{
    static const int maxn = 1e6 + 5;

    vector<int> cnt;
    int ans;

    Bucket()
    {
        cnt.resize(maxn);
        ans = 0;
    }

    void Add(int x)
    {
        ans += 2 * cnt[x] * x + x;
        cnt[x]++;
    }

    void Dec(int x)
    {
        cnt[x]--;
        ans -= 2 * cnt[x] * x + x;
    }
} bucket;

vector<int> ans;
int n, m;

void solve()
{
    cin >> n >> m;
    block_size = sqrt(n);

    a.resize(n + 2);
    belong.resize(n + 2);

    for (int i = 1; i <= n; i++)
        cin >> a[i];
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        belong[i] = i / block_size;

    questions.resize(m + 2);
    ans.resize(m + 2);

    for (int i = 1; i <= m; i++)
    {
        cin >> questions[i].l >> questions[i].r;
        questions[i].id = i;
    }

    sort(&questions[1], &questions[m + 1]);

    int l = 1, r = 0;

    for (int i = 1; i <= m; i++)
    {
        int ql = questions[i].l, qr = questions[i].r;

        while (r < qr)
            bucket.Add(a[++r]);
        while (l > ql)
            bucket.Add(a[--l]);

        while (r > qr)
            bucket.Dec(a[r--]);
        while (l < ql)
            bucket.Dec(a[l++]);

        ans[questions[i].id] = bucket.ans;
    }

    for (int i = 1; i <= m; i++)
    {
        cout << ans[i] << endl;
    }
}

};

signed main()
{
MoSolution solution;
solution.solve();
}

Description

缁欏畾涓€涓暱搴︿负 $n (n \le 2\times 10^5)$ 鐨勬暟鍒� $a_i$锛屾眰婊¤冻鍖洪棿 $OR$ 澶т簬鍖洪棿鏈€澶у€肩殑鍖洪棿鐨勪釜鏁般€�

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[CF903D] Almost Difference

Description

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[CF915D] Almost Acyclic Graph - 鎷撴墤鎺掑簭

Description

缁欏畾鏈夊悜鍥� $n \le 500, m \le 10^5$锛屾渶澶氬垹鍘讳竴鏉¤竟鏄惁鑳戒娇寰楄繖涓浘鍙樻垚鏈夊悜鏃犵幆鍥撅紵

Solution

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\[n \equiv ba^{-n} (\bmod p) \]

Solution

鏉冨€肩嚎娈垫爲

[CF936B] Sleepy Game - DFS,BFS

Description

Solution

杩欓噷瀹為檯涓婃槸涓や釜闂

鏄惁瀛樺湪涓€鏉″埌鍙跺瓙璺濈涓哄鏁扮殑璺緞
鏄惁鑳借蛋鍒颁竴涓幆

Description

Solution

璁炬硶璁╂瘡涓� $0$ 琚厖鍒嗗湴鍒╃敤
浜庢槸 $n,m,x$ 婊¤冻鍏崇郴

\[n^2-\lfloor\frac n m \rfloor^2=x \]

浠� $t=\lfloor n/m \rfloor$锛屽垯

\[(n+t)(n-t)=x \]

鏋氫妇 $x$ 鐨勬墍鏈夊垎瑙� $x=ab$锛岄偅涔� $x$ 鍙互鍒嗚В涓哄钩鏂瑰樊褰撲笖浠呭綋 $a,b$ 鐨勫鍋舵€х浉鍚岋紝姝ゆ椂

\[n=\frac{a+b} 2, \ t=\frac{a-b} 2 \]

Solution

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Solution

Description

Solution

Description

4 3
2 14 3 4

鐨勭粨鏋滀负 0 12 3 3

Solution

[CF988E] Divisibility by 25 - 璐績

Description

Solution

灏遍偅涔堝嚑绉嶆儏鍐�

鎶� 5 鍐掓场鍒版渶鍚庯紝鎶� 2 鍐掓场鍒板€掓暟绗簩浣�
鎶� 5 鍐掓场鍒版渶鍚庯紝鎶� 7 鍐掓场鍒板€掓暟绗簩浣�
鎶� 0 鍐掓场鍒版渶鍚庯紝鎶� 5 鍐掓场鍒板€掓暟绗簩浣�
鎶� 0 鍐掓场鍒版渶鍚庯紝鎶婂彟涓€涓� 0 鍐掓场鍒板€掓暟绗簩浣�

Solution

绛旀涓虹缉鐐瑰悗鐨勫垎閲忓浘涓櫎 $S$ 鎵€鍦ㄥ垎閲忓鍏ュ害涓� $0$ 鐨勫垎閲忔暟

-- coding:utf-8-

import os
import os.path
import time
time1=time.time()

k.close()

if name == 'main':
filepath="./"
outfile="result.md"
MergeTxt(filepath,outfile)
time2 = time.time()

Description

给定一个 $n$ 个点 $m$ 条边的无向图，找到两个点 $s,t$，使得 $s$ 到 $t$ 必须经过的边最多。

Solution

边双内的边显然都不是关键边，否则必是，于是缩点后求直径即可

[CF1006F] Xor-Paths

Description

给出一个 n × m 的网格，每个格子上有权值 $a[i][j]$，要从 (1,1) 走到 (n,m)，每次只能向右或向下走，沿路计算异或和，求异或和等于 k 的路径数。

Solution

双向 BFS，由于要走的总步数为 $steps=n+m-2$，正着走 $steps/2$，反着走 $(steps+1)/2$，然后合起来用 map 算答案即可

Description

Solution

Description

已知一个 $n×m$ 的矩阵，每行每列元素的异或和，请构造一个满足要求的矩阵。若不存在，输出"NO"，否则输出"YES"和矩阵。

$ n,m \leq 100 $

Solution

将前 $(n-1)(m-1)$ 设为 $0$，只通过最后一个 $L$ 型来构造

Description

Solution

以下 $m$ 即为题面中的 $q$

无解的判定

如果两个数之间存在比它们小的数，则无解
如果序列中不存在值为 $m$ 的数，则无解

解的构造

考虑为 $0$ 的位置需要怎样处理

如果数列中没有 $m$，则优先填 $m$

如果某个位置的左侧右侧同时存在 $x$，则该位置 $\ge x$，换言之我们在这个位置需要取它左边右边都有的数中的最大值

否则填 $1$

如何维护

考虑维护一个 std::set，在某个数第一次出现时 insert(x)，最后一次出现时 erase(x)
那么我们每次取 *s.rbegin() 即可

[CF1025D] Recovering BST - 区间dp

Description

给定一棵二叉搜索树 $n \le 700$ 的所有点权，构造二叉树满足任意两个直接相邻的点的权值的 GCD 不是 1

Solution

Description

Solution

Description

Solution

求矩形交点后再求距离
（又把 fabs 写成 abs 了
（以及关错了流同步被迫害

Description

给你 $n$ 个数，去掉尽量少的数使得剩下数的最大公约数比原来的大。无解输出 $-1$。

Solution

判断能否整除即可

如果自己是回文串可以做中心如果一个串和另一个串的转置相等则可以凑一对优先配对

Description

Solution

常规的数位 dp，设 $f[i][j]$ 表示前 $i$ 个数位，有 $j$ 个非零数位时，有多少个数满足条件

Description

给你一个长度为 $n$ 的整数序列，你可以对其做两种操作:

选 $i!=j$，将 $a_j$ 替换为 $a_i\cdot a_j$，删除 $a_i$。
选一个未被删除的 $a_i$，将其删除。该操作在任意时刻均可执行，最多执行一次。

你需要操作 $n-1$ 次，剩下一个数，使其最大。由于剩下的数可能会很大，你需要输出任意一种得到它的操作序列。

Solution

分类讨论

如果负数的个数是偶数
如果没有 $0$，取绝对值处理即可
如果有 $0$，将所有 $0$ 乘在一起，消去，剩下的取绝对值处理即可
如果负数的个数是奇数
如果没有 $0$，消去一个绝对值最小的负数，剩下的取绝对值处理即可
如果有 $0$，先将所有 $0$ 乘在一起，再将绝对值最小的负数乘到 $0$ 上，消去这个 $0$，剩下的取绝对值处理即可

Description

有 $N$ 个点，求与 $y=0$ 相切的，包含这 $N$ 个点的最小圆的半径。

Solution

Description

Solution

左右手数目分别排序后，答案即为 $n+\sum \max(l_i,r_i)$

Solution

CF1070A Find a Number

Description

给定两个数 $d \le 500$ 和 $s \le 5000$，求最小的 $n$ 使得 $d|n$ 并且 $n$ 的各位数字之和为 $s$。

Solution

Solution

[CF1092D1] Great Vova Wall - 栈,贪心

Description

Solution

相当于按奇偶性做匹配，不难想到用栈维护，碰到奇偶性相同的就消去，如果最后栈内剩余元素数量不超过 1 则 YES

Description

Solution

Description

Solution

Description

Solution

容易证明关于总时间满足可二分性
判断时，加上 $[mid/n]$ 个周期偏移，加上 $mid \bmod n$ 的单偏移后，检查曼哈顿距离是否不大于 $mid$ 即可

[CF1117D] Magic Gems - 矩阵乘法优化dp

Description

Solution

设 $f[i]$ 表示用了 $i$ 个单位空间时的方案数，考虑最后一个选出的魔法宝石是否分解，于是有 $f[i]=f[i-1]+f[i-m]$，由于 $m$ 很小，矩阵快速幂即可

Description

给定 $n$ 种木棍，第 $i+1$ 种有 $a_i$ 个，长度为 $2^i$，求用这些木棍可以同时拼出多少个三角形（不可重复使用同一根）

Solution

Description

Solution

设 $f[i]$ 表示划分完 $s[1..i]$ 的最小总代价，则有

\[f[i]=\min(f[i-1]+a, \ \ \min_{j<i, s[j+1..i] \subseteq s[1..j]} f[j]+b) \]

考虑到 $f[]$ 具有单调性，因此在第二种转移中，$j$ 一定要尽可能大，设 $LCS(i,j)$ 表示 $s[1..i]$ 与 $s[1..j]$ 的最长公共后缀，则有

\[f[i]=\min(f[i-1]+a, \min_{j<i} (f_{\max (j, i-LCS(i,j))})) \]

而 $LCS(i,j)$ 可以很轻易地用 SA 求出，事实上，由于

\[\begin {aligned} & LCS(i,j) = 0, & s[i]\neq s[j] \\ & LCS(i,j)=LCS(i-1,j-1)+1, & s[i]=s[j] \end {aligned} \]

可以在 $O(n^2)$ 时间内预处理出 $LCS(i,j)$，故总时间复杂度为 $O(n^2)$

Solution

并查集将所有等于的数合并起来，然后建图拓扑排序，最后 check 一下拓扑排序的结果以检查是否有环

给你一个串 $s$，每次可以花费 $1$ 的代价删去一个子串，要求子串的每一位为同一个字符。求删去整个串的最小代价。$1\le |s|\le 500$

Solution

设 $f[i][j]$ 表示删除子串 $[i,j]$ 的最小花费，则

\[f[i][j]=\min (f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]+1-[s[k]=s[j]]) \]

Solution

设 $f[i][j]$ 表示将前 $i$ 个人分成 $j$ 段，且第 $i$ 个人一定被使用时的最大总人数

\[f[i][j]=\max(f[i-1][j],f[l][j-1]+i-l) \]

其中 $l=lower\_bound(a[i]-5)-1$

Description

Solution

从右往左扫描所有位置，将每个位置上的人尽可能地向右换即可

Description

给定一个长度为 $n$ 的数组，其中有些位置未定（可在 $[1,k]$ 中任意取值），问有多少种填数的方案可以使得数组中不存在长度为奇数的回文子串。

Solution

\[f[i][0]=(k-1) \cdot f[i-1][1] \\ f[i][1]=(k-2)\cdot f[i-1][1] +f[i-1][0] \]

Description

Solution

Description

Solution

答案显然为度数从大到小排序后的第 $k+1$ 个，构造方案时贪心即可

Description

Solution

设 $f[i][j][k]$ 表示三个子串分别匹配到了第 $i,j,k$ 个字符，在母串中推进的最短距离
设 $g[i][c]$ 表示 $S[i..n]$ 内字符 $c$ 第一次出现的位置

\[f[i][j][k]=\left\{ \begin{aligned} & g[f[i-1][j][k]+1][s_1[i]] \\ & g[f[i][j-1][k]+1][s_2[j]] \\ & g[f[i][j][k-1]+1][s_3[k]] \end{aligned} \right. \]

Description

给定两个正整数 $ a,b $，找到非负整数 $ k $ 使 $ a+k $ 与 $ b+k $ 的最小公倍数最小，如有多解输出最小的 $ k $

Solution

有一个由所有长为 $2n$ 的合法括号序列组成的 trie，现在要求这棵树上最多的边数，符合边两两之间均没有共同节点。

Solution

\[f[i][j]=f[i-1][j]+f[i][j-1] \]

于是答案为

\[\sum_{(i+j) \bmod 2=1} f[i][j] \]

为了方便起见可以把坐标整体 $+1$

Description

Solution

双指针一遍即可
不知道这个题怎么评的分

Description

给定一个长度为 $n$ 的排列 $p$，求有多少区间 $[l,r]$ 满足 $p[l]+p[r]=max\{p[i]\}$，其中 $l \le i \le r$

Solution

Description

给出两个整数 $ n $,$ k $ 你需要构造出一个有 $k$ 项的数列 $ A $ 满足以下条件：

对于任意的 $ i\in [1,k] $ 有 $ A_i>0 $
对于任意的 $ i\in (1,k] $ 应当有 $ A_{i-1}<A_i\le2A_{i-1} $
$ \sum\limits_{i=1}^kA_i=n $

Solution

Description

输入 $n$ 个数,构造一个最大的环，环上任意 $\textrm{abs}(a[(i+1)\%n]-a[i]) \le 1$。$a_i \le 2 \times 10^5$

Solution

一定要找一段 $l,l+1,l+2,...,r$，其中除了 $l,r$ 可以只出现一次以外，其它的都至少要出现两次
考虑到 $a_i \le 2\times 10^5$，用桶处理一下即可

Description

Solution

熟悉一下板子（这题为什么有1900？）

Solution

给出 $01$ 串 $s$，求数对 $[l,r]$ 个数，使得能找到至少一对 $x,k$，使 $1\le x,k \le |s|$ 且 $l\le x<x+2k \le r$ 且$s[x]=s[x+k]=s[x+2k]$

Solution

考虑一个暴力，对于所有的 $l$，暴力找到最小的能满足条件的 $r$
容易证明 $r$ 是关于 $l$ 单调的，于是倒序扫描 $l$ 即可

Solution

Description

给两个数 $ n $ 和 $ x $，构造一个满足以下条件的序列：

对任何序列中的元素 $ a_i $，$ 1\le a_i<2^n $
序列中没有非空连续子序列异或和为 $ 0 $ 或 $ x $
序列长度 $ l $ 应该最大

Solution

构造前缀和序列 $s_i = \oplus_{j=1}^i a_i$，每次暴力找一个 $[1,2^n)$ 的数，使得 $s_i$ 没有出现过即可

Solution

从大到小枚举合数，删去它的最大因子
从小到大枚举质数 $p$，删去第 $p$ 个质数

Description

序列 $123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536...$ 是无穷无尽的,现在你要输出它的第 $k$ 项。$k \le 10^{12}$

Solution

分步处理

找到答案所在数的位数
找到答案所在数在当前位数中排第几
找到答案在答案所在数是第几位

Description

Solution

Description

Solution

Description

Solution

设 $pre[i]$ 表示 $i$ 的前驱位置，设 $f[i][j]$ 表示前 $i$ 个字符，长度为 $j$ 的本质不同子串的数量，则

\[f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][j-1]-f[pre[i]-1][j-1] \]

Solution

[CF1188B] Count Pairs - 数学

Description

Solution

[CF11D] A Simple Task - 状态压缩dp

假如 1,2，初态为 r，此时要求 r>=a1, r>=a2-b1，若交换，则 r>=a2, r>=a1-b2，于是我们希望 max(a1,a2-b1)<=max(a2,a1-b2)
于是 a2+b2>=a1+b1

[CF1204D2] Kirk and a Binary String - 思维

Description

给定一个 01 串，要你求出另一个长度相等串使得任意区间内最长不降子序列的长度与原串相等且 0 的总数尽量多。

Solution

括号序列视角：0 看成左括号，1 看成右括号，那么最长不降子序列就是最长的可以匹配的子括号序列长度，这样理解起来会很清楚

Solution

[CF1207F] Remainder Problem - 根号分治

Description

给你一个长度为 $500000$ 的序列，初值为 $0$ ，你要完成 $q$ 次操作，操作有如下两种：

1 x y : 将下标为 $x$ 的位置的值加上 $y$
2 x y : 询问所有下标模 $x$ 的结果为 $y$ 的位置的值之和

Solution

Description

Solution

首先找到最靠后的 $0$，将这个位置 $s$ 赋值为 $\infty$，$a$ 赋值为 $1$，同时将它后面所有的 $s-1$，重复下去即可
用线段树维护

有 $n$ 天时间来买一种物品，一共要买 $k$ 件，第 $i$ 天可以购买的范围是 $[a_i,b_i]$，单价 $c_i$，求最小总花费

Solution

暴力贪心，从最便宜的开始买即可
写完才发现原题要求用 Kotlin，我当做没看见了
主要是借着这题试用了一下 lambda 表达式

给定两个长度为 $2$ 的串，你需要构造一个长度为 $3n$ 的串，使得 a,b,c 三种字母各出现 $n$ 次，且它不包含这两个串，字符集中仅有 a,b,c

Solution

画出转移图，$3$ 个点，$7$ 条边，可能不连通
但是很容易证明以下构造模式集可以对所有有解的情况给出合法的构造
（以 $n=2$ 为例）

aabbcc
aaccbb
bbaacc
bbccaa
ccaabb
ccbbaa
abcabc
acbacb
bcabca
bacbac
cabcab
cbacba

于是我们用每种模式构造一个串，检验是否合法即可

分类讨论

如果负数的个数是偶数
如果没有 $0$，取绝对值处理即可
如果有 $0$，将所有 $0$ 乘在一起，消去，剩下的取绝对值处理即可
如果负数的个数是奇数
如果没有 $0$，消去一个绝对值最小的负数，剩下的取绝对值处理即可
如果有 $0$，先将所有 $0$ 乘在一起，再将绝对值最小的负数乘到 $0$ 上，消去这个 $0$，剩下的取绝对值处理即可

Description

有 $N$ 个点，求与 $y=0$ 相切的，包含这 $N$ 个点的最小圆的半径。

Solution

Description

Solution

左右手数目分别排序后，答案即为 $n+\sum \max(l_i,r_i)$
给定一个 $n \times m$ 地图，每个格子为空地或墙，你从一个位置开始，四连通移动，向上向下次数不限，向左最多 $x$ 次，向右最多 $y$ 次，问能到达多少个格子

Solution

Description

给定两个数 $d \le 500$ 和 $s \le 5000$，求最小的 $n$ 使得 $d|n$ 并且 $n$ 的各位数字之和为 $s$。

\[f[i]=\min(f[i-1]+a, \min_{j<i} (f_{\max (j, i-LCS(i,j))})) \]

而 $LCS(i,j)$ 可以很轻易地用 SA 求出，事实上，由于

\[\begin {aligned} & LCS(i,j) = 0, & s[i]\neq s[j] \\ & LCS(i,j)=LCS(i-1,j-1)+1, & s[i]=s[j] \end {aligned} \]

可以在 $O(n^2)$ 时间内预处理出 $LCS(i,j)$，故总时间复杂度为 $O(n^2)$
有两个正整数序列 $a,b$，长度分别为 $n,m$。给出所有 $a_i$ 和 $b_j$ $(1\le i\le n,1\le j\le m)$ 的大小关系（大于，小于或者等于），请构造出符合条件的 $a$ 和 $b$。如果无解，输出 NO。如果有多个解，输出 $a,b$ 中最大元素最小的方案。

Solution,,,,

并查集将所有等于的数合并起来，然后建图拓扑排序，最后 check 一下拓扑排序的结果以检查是否有环,,,,
给你一个串 $s$，每次可以花费 $1$ 的代价删去一个子串，要求子串的每一位为同一个字符。求删去整个串的最小代价。$1\le |s|\le 500$

很暴力的贪心问题
处理出每一个子串的和，记录为 $(l,r,sum)$ 的形式，将它们按照 $sum$ 为第一关键字，$r$ 为第二关键字排序
然后对于每一个 $sum$ 相同的段内，经典贪心即可
### Description
$n$ 个城市和 $n-1$ 条道路。政府决定向这些公司出售道路。每条路都属于一家公司。如果有一家公司拥有两条或两条以上的进入这个城市的道路，那么这个城市是不好的。希望这样不公平的城市数量不超过 $k$，那么最少需要多少公司？

Solution

答案显然为度数从大到小排序后的第 $k+1$ 个，构造方案时贪心即可
### Description
s_3$。初始时子串均为空。 "" s_3$。
s_3$ 的长度均不会超过 $250$。
""
""
k$ 个字符，在母串中推进的最短距离
""
""
""
""
""
""
""
""
""
""
""
""
""
""
### Description
b $，找到非负整数 $ k $ 使 $ a+k $ 与 $ b+k $ 的最小公倍数最小，如有多解输出最小的 $ k $
""
""
""
有一个由所有长为 $2n$ 的合法括号序列组成的 trie，现在要求这棵树上最多的边数，符合边两两之间均没有共同节点。

Solution

\[f[i][j]=f[i-1][j]+f[i][j-1] \]

于是答案为

\[\sum_{(i+j) \bmod 2=1} f[i][j] \]

为了方便起见可以把坐标整体 $+1$
### Description
k]$ 的数字，且每个数字只使用一次，求根节点的最大值。
""
""
""
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给你一个在数轴上的点集 $x_1, x_2, \dots, x_n$。每两个点 $i$，$j$ 可以在满足以下情况的时候相连: 点 $i$ 和点 $j$ 均未与其他点相连；$\left| x_i - x_j \right| \geq z$。那么请你求出最多可以连接多少点对？

Solution,,,

给两个数 $ n $ 和 $ x $，构造一个满足以下条件的序列：

对任何序列中的元素 $ a_i $，$ 1\le a_i<2^n $
序列中没有非空连续子序列异或和为 $ 0 $ 或 $ x $
序列长度 $ l $ 应该最大

假如 1,2，初态为 r，此时要求 r>=a1, r>=a2-b1，若交换，则 r>=a2, r>=a1-b2，于是我们希望 max(a1,a2-b1)<=max(a2,a1-b2)
于是 a2+b2>=a1+b1

## [CF1204D2] Kirk and a Binary String - 思维 ### Description 给定一个 01 串，要你求出另一个长度相等串使得任意区间内最长不降子序列的长度与原串相等且 0 的总数尽量多。 ### Solution 我们要将一些 1 改成 0，将某一个 1 改成 0 的条件是它后面的 0 的个数不少于 1 的个数，这个条件保证了这次修改不会影响正确性在这个条件下，我们贪心地修改，倒序扫描整个序列，能修改就修改

括号序列视角：0 看成左括号，1 看成右括号，那么最长不降子序列就是最长的可以匹配的子括号序列长度，这样理解起来会很清楚

有 $n(n\leq 10^5)$ 个数 $a_1,...,a_n\ (a\leq 10^{18})$ 。有一个图用这个方法生成，若 $a_i$ 按位与 $a_j$ 不为 $0$，则在 $a_i,a_j$ 间连一条无向边。求这个图的最小环，若无环输出 $-1$。 ### Solution,,, 把 $a_i=0$ 的数字删掉,,, 当 $n \ge 128$ 时，至少有一个二进制位满足该位为 $1$ 的数个数 $\ge 3$，即形成三元环,,, 当 $n<128$ 时，暴力建图后用 Floyd 跑最小环即可,,, ## [CF1207F] Remainder Problem - 根号分治 ### Description 给你一个长度为 $500000$ 的序列，初值为 $0$ ，你要完成 $q$ 次操作，操作有如下两种： - `1 x y` : 将下标为 $x$ 的位置的值加上 $y$ - `2 x y` : 询问所有下标模 $x$ 的结果为 $y$ 的位置的值之和 ### Solution 根号分治，设 $b=\sqrt{500000}$，那么我们对所有 $r \le b$ 维护 $sum[r][i]$ 表示下标模 $r$ 等于 $i$ 的所有位置的答案和每次修改时，假设这个位置的新值是 x，那么我们需要对所有 $r \le b$，在 $sum[r][x\%r]$ 的位置修改，同时修改旧位置询问时，如果 $x \le b$ 那么直接调出结果，否则暴力查询原始序列 ### Description 让你求出这个排列 $ a $ "" "" "" 有 $n$ 天时间来买一种物品，一共要买 $k$ 件，第 $i$ 天可以购买的范围是 $[a_i,b_i]$，单价 $c_i$，求最小总花费 ### Solution, 暴力贪心，从最便宜的开始买即可, 写完才发现原题要求用 Kotlin，我当做没看见了, 主要是借着这题试用了一下 lambda 表达式, 给定两个长度为 $2$ 的串，你需要构造一个长度为 $3n$ 的串，使得 `a,b,c` 三种字母各出现 $n$ 次，且它不包含这两个串，字符集中仅有 `a,b.1,c` ### Solution,,,, 画出转移图，$3$ 个点，$7$ 条边，可能不连通,,,, 但是很容易证明以下构造模式集可以对所有有解的情况给出合法的构造,,,, （以 $n=2$ 为例）,,,, aabbcc,,,, aaccbb,,,, bbaacc,,,, bbccaa,,,, ccaabb,,,, ccbbaa,,,, abcabc,,,, acbacb,,,, bcabca,,,, bacbac,,,, cabcab,,,, cbacba,,,, 于是我们用每种模式构造一个串，检验是否合法即可,,,, 给你一个有 $n$ 个点的带权树，有 $m$ 个查询，每次查询最大权值不大于 $x$ 的点对的数目 ### Solution 模拟 Kruskal 的过程，并将整个过程的答案记录下来询问 $x$ 的时候，二分找到最后一个 $\le x$ 的位置，输出这个时刻的答案即可给你 $d_i (\le n)$，要求你构造一棵树满足点 $2i$ 与 $2i-1$ 距离为 $d_i$。 ### Solution 关键在于这个神奇的 $d \leq n$ 按照 $d_i$ 从大到小排序，并且将所有奇数点串成一条链依次考虑每个偶数点挂在哪里对于链上第 $k$ 个点，它的偶数点应该被挂在 $k+d_i-1$ 个点的下面如果第 $k+d_i-1$ 是链上最后一个点，就需要再挂一个点来进行扩充可以证明被挂的点一定存在虽然分类讨论应该是比较推崇的解法，但是我就是喜欢暴力给一个有向图着色，使得没有一个环只有一个颜色，需要最小化使用颜色的数量。 ### Solution 如果图中没有环，那么显然只需要一种颜色如果图中有环，则将 DFS 树中所有横叉边和树边染成 $1$，返祖边染成 $2$ 即可，故只需要两种颜色 $n\times m$ 的网格中，在第 $i$ 行 $j$ 列有 $a[i][j]$ 个泡泡，每次可以收割一行或一列的泡泡，最多收割 $4$ 次，问最多可以收割到多少泡泡。$nm \leq 10^5$ ### Solution 讨论答案的各种情况

四行，这种情况下直接求和取前 $4$ 个最大值即可
三行一列，枚举取哪一列，然后每次暴力提取前 $3$ 个行最大值
两行两列，显然 $n,m$ 中必有一个 $\leq \sqrt{10^5}$，设它是行，则暴力枚举选哪两行，然后仍然按照前述方法计算答案即可

其余情况可以由上面三种基本情况旋转得到
复杂度 $\mathcal{O} (nm \min(n,m))$

[CF1220C]

首先，对于确定的 $s$ 和某种的个数 $c$，如果满足 $c \in [x(s-1),xs]$，则可以用 $x$ 块屏幕装下它
对于

\[x(s-1) \le c \le xs \]

变形为

\[l=\frac c s \le x \le \frac c {s-1}=r \]

找到边界然后循环扫一遍数个数即可
CF 题解汇总

Solution

$2a>n$，一次性结束，直接输出 $n$
$a \geq b$，那么一直修即可，直接输出 $n$
否则，$a$ 占弱势，我们考虑用 $a$ 修一半需要的完整轮次数为 $[(n-1)/2a]$ ，那么这些轮中， $a$ 修掉的个数为 $[n/2a]a$，而 $b$ 修掉的个数则是 $[n/2], [n/2a]b$ 中的较小值。计算剩余量然后暴力修即可。

树上路径问题可用点分治。
考虑如何合并两条路径对每条路径，记 $l$ 为长度（点数），$v$ 为 $\sum_{i=1}^l ia_{x_i}$ ，$s$ 为 $\sum a_i$ ，那么对于两条路径 $(l_1,v_1,s_1),(l_2,v_2,s_2)$，它们的并为 $(l_1+l_2-1,v_1+s_1l_2+v_2,s_1+s_2)$
于是答案为 $v_1 + v_2 + s_1l_2$，其中 $_1$ 是和之前扫描过的有关的信息，$_2$ 是和当前正在扫描的位置有关的信息
（之所以这样取的原因是，之后李超线段树中我们需要控制下标的区间，而 $l$ 的范围是较小的）
对于某一次查询来说，$v_2$ 是定值，于是查询只有一个参数 $l_2$ ，所以现在我们要最大化 $l_2s_1 + v_1$，不妨转化为

插入一条直线 $y=ax+b$，其中 $a=s_1,b=v_1$
询问 $x=l_2$ 与所有直线交点中最上面的那一个

标准的李超线段树模板
我又把点分敲错，数组开小

一杯茶一包烟，一个破题调一天 CF 题解汇总
维护一区间 $[l,r]$
人按照时间升序
考虑 $(l_i, h_i, t_i)$，当前的所有区间与这个区间取交
推到 $t_{i+1}$ 时，所有区间的端点向两边扩张即可
注意把空掉的区间删掉
"<img src=""https://img2018.cnblogs.com/blog/1318245/202002/1318245-20200217152436837-1875568915.png"" alt="""" loading=""lazy"">"
看样例，>><>><，要构造 LIS 最短的，我们需要找最小链划分的方案，即包含最少的下降列
很容易想到把连续 < 的看成一段，比如样例就是

.|.|. .|.|. .

每一段内必须上升，考虑让它连续，然后让段末取当前没取过的最大值即可
要构造 LIS 最长的，同理，我们把连续 > 的堪称一段，比如样例就是

. . .|. . .|.

每段内必须下降，考虑让它连续，然后让段膜取当前没去过的最小值即可
CF 题解汇总
由于可以走重边，所以任意一条路径长 + 2 仍然对应至少一条合法路径
很显然我们有 $3$ 种基本路径

不经过 $(x,y)$

经过 $x \to y$

经过 $y \to x$

假设某个基本路径的答案是 $d$，询问是 $k$，如果同时满足以下条件，则该基本路径可以作为答案

$d \leq k$

$d = k \ (mod \ 2)$

于是暴力做即可
"<img src=""https://img2018.cnblogs.com/blog/1318245/202002/1318245-20200219125122889-844758489.png"" alt="""" loading=""lazy"">"
设 $f[i][j]$ 为第 $i$ 天在第 $j$ 个位置放置的最大值，设 $s[i][j]$ 是第 $i$ 行的前缀和，则

如果暴力转移，则复杂度 $O(nm^2 )$
如果 $k$ 很小，那么对中间两种情况暴力转移，旁边两种由于只有 $f[i-1][l]$ 与 $l$ 有关，可以预处理前后缀 $\max$ 来解决，复杂度 $O(nmk)$
当 $k$ 变大时，两侧的情况仍然暴力转移，中间的情况可以暴力用以 $l$ 为下标的单调队列维护 $f[i-1][l]-s[i][l+k-1]$ 和 $f[i-1][l]+s[i][l-1]$
（如果想偷懒也可以敲个线段树维护一下）
（发现单调队列优化DP不太熟练，准备要复习下）

[CF1305E] Kuroni and the Score Distribution - 构造

\[\sum_{i=1}^n \sum_{j=i+1}^n \frac{p_i p_j}{2^{j-i+1}} \]

考虑用线段树维护，对于区间 $[l,r]$，我们设 $val$ 为当前区间权值，$lv=\sum_{i=l}^r p_i2^{i-l}$，$rv=\sum_{i=l}^r p_i/2^{i-l+1}$，$sz$ 是当前区间内数的个数，则

\[val=val_L+val_R+\frac{1}{2} vl_Lvr_R/2^{sz_L} \\ sz=sz_L+sz_R \\ vl=vl_L+vl_R2^{sz_L} \\ vr=vr_L+vr_R/2^{sz_L} \]

对于单点 $a$，它的 $val=0, sz=1, vl=a, vr=a/2$
考虑到序列中有重复元素，我们先将所有元素（包括修改的）一起读进来排序，然后将原始的先激活，修改后的先不激活（$val=0,sz=0,vl=0,vr=0$），一起挂在线段树上
将 $i$ 向 $p[i]$ 连边，则在每个长度为 $l$ 的环里，我们可以花费 $\mathcal{O}(l^2)$ 的时间去暴力枚举答案
l)$ 合法
""
给定一棵有根树，每次询问给定一个点集，问是否存在根到某点的链，使得点集中所有点到链的距离不大于 $1$。

Solution

将每次询问的结点按深度排序好，相邻的两个结点 $p,q$ 一定满足 $d[p]-d[lca] \le 1 \or d[q]-d[lca] \le 1$，其中 $lca=lca(p,q)$
必要性显然，充分性考虑让毛毛虫的茎一直往差值大的那边走即可

Solution

枚举选择一个中间点，计算把边上压到中间这条线上的答案
压的时候要考虑两边压和单边压的情况
（以下代码中的二分显得很累赘，纯粹为了偷懒而出现）

using namespace std;

define int long long

const int N = 200005;

int n,k,a[N],pre[N],suf[N],ans=1e18;
map<int,int> mp;

对一个 $n\times m$ 的矩阵，每个位置有权值 $a_{ij}$，每次操作你可以将一个位置 $+2$，或将四相邻的两个位置各 $+1$。如果一个矩阵经过若干次操作，可以使得所有位置权值相同，我们称它为好矩阵。问有多少个好矩阵满足大小为 $n\times m$，且每个位置的权值都在 $[L,R]$ 内。

Solution

首先观察到，如果 $nm$ 是奇数，一定合法；如果 $nm$ 是偶数，则当且仅当 $\sum_{(i,j)} a_{i,j}$ 是偶数时合法
$nm$ 是奇数的方案数位 $(r-l+1)^{nm}$
$nm$ 是偶数时，若 $r-l+1$ 是偶数，则所有方案中总和奇偶各占据一半，故 $(r-l+1)^{nm}/2$；若 $r-l+1$ 是奇数，则显然总和为偶数的比总和为奇数的方案数多 $1$，于是答案为 $((r-l+1)^{nm}+1)/2$

[CF1333D] Challenges in school №41 - 逆序对,冒泡排序

考虑枚举删除的数的大小 $val$，那么现在只有 $a_i \le val$ 的数才是可用的，这样原序列就被分割成了若干段，选择不能跨段。
假如相邻的两个不可用位置是 $p,q$，那么可用区间就是 $[p+1,q-1]$，在前缀和序列上的选择位置就是 $[p,q-1]$。
我们考虑扫描固定一个左端点，右端点不断向右平移，如果累积和小于零则置为 $0$，同时不断更新答案，遇到不可用点时，将累积和置为 $0$ 并跳过。
### Description
a_n$，对于任意一个 $x$ 都满足，对于任意一种排列 $p$，都有 $x \mod a_{p_1} \mod a_{p_2} \mod ... \mod a_{p_n} = Const$ 成立。
""
""
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### Description
b$，构造满足条件的 $n \times m$ 矩阵：矩阵每行包含 $a$ 个 $1$，矩阵每列包含 $b$ 个 $1$，矩阵剩下的位置全为 $0$。
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""
### Description
m \le 60$
""
""
""

[CF1363D] Guess The Maximums

比如 $k=1$ 时，$f(8)+f(9)=17$，而 $f(80)+f(81)=17$，$f(98)+f(99)=35$，而 $f(980+981)=35$

猜想我们可以将所有合法的 $n$ 表示成 $f(x)+...+f(x+k)$ 的形式，且一定有 $a99..99bc$ 这样形式的 $x$ 满足条件，本质上我们相当于暴力枚举了 $x$ 的长度，最高位，最低二位的值，将它表示为 $i \times 10^j - l$，枚举 $i,j,l$（边界不大会证明） ### Description 给定一个长度为 $n$ 的数列，可以进行不超过 $2n$ 次操作，每次可以选择一个位置，将它的值设为当前整个数列的 mex。构造一种操作方案，使得整个数列的值单调不降。 ### Solution 我们考虑将整个数列做成 $0,1,2,...,n-1$ 的形式。我们给出一种构造方案使得能在不超过 $2n$ 步内将任何一个序列做成这种形式。当整个数列的 mex 小于 n 时，执行 A 类操作，即将 $a[mex+1]$ 赋值为 $mex$；否则，执行 B 类操作，任意找一个不满足 $a[i]=i-1$ 的位置，将 $a[i]$ 赋值为 $mex=n$。显然每一个 B 类操作后一定紧跟着一个 A 类操作，而一个 A 类操作会搞定一个位置，并且这个位置以后再也不会被操作到。 ### Description m \le 10^5$ "" "" "" "" "" pos]$ 中包含了 $i$，则若 $posb[i]$ 需要将 $pos$ 额外 $+1$ ### Description ...$）。如果 $h_i+p_t>l$ 则失败。问是否能走到 $n+1$。 "" "" "" "" ### Description 给定一棵树，树上每个结点刚开始有一个人，现在每个人需要走到一个不同于原来的结点，并且必须保证每个结点上仍然有且仅有一个人，在树上走一条边的代价为 $1$，求最小代价。 ### Solution 考虑这样一个过程，我们递归处理掉这棵树上的所有叶子结点，如果它们还没有移动的话，将它和它的父亲换，此时代价增加 $2$，然后删除这个结点。重复下去，直到树为空。注意当只剩下根结点的时候，它如果没有被换过，那我们只需要挑它的任意一个孩子跟它换即可。 ### Description 有长度为 $n$ 的两个数组 $a$ 和 $b$ 。一开始，答案 $ans$ 等于 $0$ 。现在我们定义如下操作：选择一个位置 $i$ $(1\leq i \leq n)$；让 $ans$ 增大 $a_i$；如果 $b_i \neq -1 $ 就将 $a_{b_i}$ 增大 $a_i$。如果每一个 $i$ $(1\leq i \leq n)$ 只能选一次，请问 $ans$ 最大是多少？并给出 $ans$ 最大时选择 $i$ 的顺序。 ### Solution 对每个顶点算一个累积值 $f[i]$，如果 $f[i]>0$ 就向上更新。最后扫一遍，对于一个点的所有孩子，先走那些 $f[i]>0$ 的，再走根，最后走那些 $f[i]<0$ 的。 ### Description 有 $n$ 对线段，初态下每对的第一条都是 $[l_1,r_1]$，第二条都是 $[l_2,r_2]$。定义总交集长度为每对线段的交集长度之和。可以花费代价 $1$ 来延长一条线段，往左或往右延伸 $1$ 个单位。求使得总交集长度到达 $k \le 10^9$ 的最小代价。 ### Solution 对于一对线段 $[l_1,r_1],[l_2,r_2]$，称 $[\min(l_1,r_1), \max(l_2,r_2)]$ 为这个线段对的边界线段。若 $[l_1,r_1] \bigcup [l_2,r_2] = [\min(l_1,r_1), \max(l_2,r_2)]$，则称这个线段对是连续的。考虑一个线段对与它的边界线段之间的关系，显然线段对的实际长度和与它的边界线段的长度之间存在一个差值，如果相交则这个差值为正，相离则这个差值为负。将一个线段对通过最小的步数操作，使得它的并集等于它的边界线段，这个过程称为填满一个线段。我们暴力枚举要填满 $i$ 个线段对，这时若我们只在这些被选择填满的线段对上操作就可以完成目标，花费的代价是 $k-id$，其中 $d$ 是上述的差值；否则，在 $k-id$ 之外，我们还需要额外花费 $k-is$ 的代价，其中 $s$ 的边界线段的长度。判定是否需要后者的条件就是 $k-is$ 是否为正。 ### Description 现在有一些山发生了山体滑坡，这些山从左到右依次排布，第 $i$ 座山的高度为 $h_i$，且 $\forall i\in [1,n),h_i Proof. 考虑这样一种方法，每次取第 $i$ 个元素开始向左推进，若 $i=1$ 或者 $h_i - h_{i-1}<2$ 则结束，否则修改 $h_i,h_{i-1}$ 并继续向左推进。
在这样一轮推进中，若 $i$ 左侧的数字各不相同，则会一直推进到 $1$，这样可能会使得相等的对数增加 $1$；否则，推进操作会在 $i+1$ 的右边结束，可能会使得相等对数减少 $1$。于是 $S=\sum h_i$ 和 $n$ 两个参数即确定了一个唯一的答案序列。

暴力构造这个答案序列的方法是：从序列 $0,1,2,...,n-1$ 开始，每次暴力对序列的一个尽可能长的前缀增加 $1$。

结论为

分块，记录每个块内每个位置弹出该块的时间 tim[i] 和弹出到的位置 pos[i]

[CF1400D] Zigzags - 二分

给定序列 $a$，要求将其划分为三个非空子串（设三个子串长分别为 $x,y,z$），使得 $\max\limits_{i=1}^x a_i = \min\limits_{i=x+1}^{x+y} a_i = \max\limits_{i=x+y+1}^n a_i$。

Solution

枚举 x，那么 y 会受到两个区间的限制
min 的限制区间用 ST 表 + 二分解出
max 的限制区间用后缀 max + 二分解出
### Description
A_m}$ 使得这个子集中的最大值和最小值的差值不超过 $k$，其中 $m$ 和 $k$ 是给出的。现在问你这种子集有几个。
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[CF1466F] Euclid's nightmare - 并查集

[CF1470A] Strange Birthday Party - 带撤销贪心

Description

你有 $n$ 个朋友，$m$ 种礼物，第 $i$ 种礼物的花费为 $c_i$，对于每个人，都要选 $[1,k_i]$ 中的一个礼物给他，或者给他 $c_k_i$ 的钱，每种礼物只能被送一次，问最小花费。

Solution

一个很费用流的模型，所以应该是带撤销贪心做了
基本贪心：所有 $k_i$ 排序，将所有小于当前 $k_i$ 的礼物放在一个堆中，如果当前的最小元素比 $c_k_i$ 大，就给钱，否则把礼物给他
撤销：假设将 $c_i$ 的礼物送给 a，如果送给 b，那么就要给 $c_k_a$ 的钱给 a，相当于给 b 送了一个价值为 $c_k_a$ 的礼物，因此对每个人 $i$，给他发了礼物后，都在堆中加入一个 $c_k_i$ 的元素表示撤销对这个人的操作并且给他钱

[CF1470B] Strange Definition - 数论

对 $n \times n$ 的 01 矩阵，每次操作可以反转一行或者一列。给定 $a,b$ 两个矩阵，问 $a$ 是否可以经过有限次操作变为 $b$。

Solution

只要我们确定了某一行（列）的操作情况，所有的操作情况都会被确定，因此只需枚举第一行是否操作，后面的递推计算即可，如果算下来还有剩余，那么就无解。

[CF1475G] Strange Beauty - 数论

O(nnk) 的 dp 是显然的，由于满足四边形不等式，具有决策单调性
## [CF342E] Xenia and Tree - 分块,ST表,LCA

Description,,

给定一颗 $n$ 个结点的树，初始时 $1$ 号结点为红色，其余为蓝色。要求支持将一个结点变为红色，或者询问一个点到最近的红色点的距离。,,

Solution,,

对整个操作序列分块，则所有的影响分为块间的和块内的。块内的用 ST 表 LCA 来处理，块间的预处理好，即每处理完一个块，我们就用 BFS 计算好这个块的后续影响。复杂度 $O(n \sqrt n)$,,

Description

给定一棵树，提供 $3$ 种操作，每次指定一个点，将它的所有孩子染色为 $1$，或它到根的路径染色为 $0$，或询问它是否被染色。

Solution

复习一下树链剖分。主要是关于询问的部分。
我们按照这样的方式去处理一个询问：如果 top[p] 和 top[q] 不相等，那么我们就从 top 深度较大的那个（设为 $p$）向上染一段 $[top[p],p]$，然后将 $p$ 修改为 $fa[top[p]]$。最后对于剩下的，深度较大的 $x$ 和深度较小的 $y$，我们还需要染一段 $[y,x]$。所有操作依据 DFS 序进行。
线段树需要支持区间覆盖和单点询问，当然也可以转化为差分的单点修改区间求和。
## [CF354C] Vasya and Beautiful Arrays

Description

定义一个数组的美丽度为这个数组所有元素的最大公约数，对于每个元素可以减一个 $0 \sim k$ 的数，减完以后该元素必须非负，求出这个数组的最大美丽度。

Solution

显然 ans 不会大于最小数，设 ans 等于最小数，循环遍历每个数，如果不符合条件就将 ans 减一继续循环遍历
### Description
r_i]$，有 $m$ 个询问，每次给定若干个点，问多少线段能至少覆盖这些点中的一个。
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[CF375D] Tree and Queries - dsu on tree

中点存在的充要条件为 $2|(DEP(u)+DEP(v))$，如果中点存在，那么它的深度，是可以求出的：直链的情况为 $\frac {DEP(u)+DEP(v)} 2$，曲链的情况下，设 $len = DEP(u)+DEP(v)-2DEP(l)$，假设 $DEP(u) \ge DEP(v)$，则 $MID$ 的深度为 $DEP(u)-\frac {len} 2$。求出深度后，我们从较深点倍增向上跳即可。

问题 2：怎样砍掉点 $p$ 与点 $q$ 相关的一棵子树？

我们将 $q$ 倍增向上跳，使它成为 $p$ 的孩子，那么此时的深度显然是 $DEP(p)+1$。

### Description 给定一个长度为 $n$ 的字符串 $S$，求它的所有前缀中，哪些可以被划分为 $ABAB...ABA$ 的形式，其中 $A,B$ 是可以为空的串，且一共包含了 $k$ 组 $AB$。 ### Solution 考虑令 $S=AB$，枚举 $S$ 的长度 $i$，我们只需要检查 $LCP(ji+1,1) \ge i, j=1..k-1$，如果都满足，则可以将答案序列中往后的一段覆盖为 $1$ 用扩展 KMP 可以在 $O(n)$ 时间内完成对 $LCP(i,1), i=1..n$ 的计算所有被枚举的长度共有 $O(n/k)$ 个，每次需要检查 $O(k)$ 个位置，故总复杂度 $O(n)$ 数轴上有n 个点，第i 个点的坐标为xi，权值为wi。两个点i,j之间存在一条边当且仅当 abs(xi-xj)>=wi+wj。你需要求出这张图的最大团的点数。 ### Solution, 把每个点看作以 $(x_i,0)$ 为圆心，半径为 $r_i$ 的圆那么如果不相交就有边相连, 干脆看作线段吧，所以就是求最大不相交线段数, 这就是一个很基础的贪心，以右端点为第一关键字，左端点为第二关键字 `sort`, 然后“能取就取”即可, ### Description 给定一个环状序列，每次操作选择一个区间，整体加上一个数，或者询问最小值。 ### Solution 对于一个区间，如果 $l \le r$ 则映射到 $[l+1,r+1]$；否则，映射到两个区间 $[l+1,n],[1,r+1]$. 线段树维护即可。 ### Description 给定一棵有根树，甲乙轮流操作，每次每人选择一条边走，从根走到一个叶子，甲希望最后得到的叶子结点的权值尽可能大，乙希望最后得到的叶子结点的权值尽可能小，两人都采取最优策略。现在需要给每个叶子节点分配权值，权值是 $1 \sim m$ 的全排列。问让甲分配权值则最后取得的最大权值是多少，让乙分配权值则最后取得的最小权值是多少。 ### Solution 树形 dp，设 $f[i]$ 表示 $i$ 点子树内能达到的最小排名，$h[i]$ 表示最大排名，则有

\[f[i]=\min_{i \to j} h[j], \ \ h[i]=\sum_{i \to j} f[j] \]

### Description
有一个小根堆，这个堆变成了一个 $k$ 叉堆（形式转化，逐层排布），但这样不一定是合法的（即有若干个节点小于它的父亲）。问现在这个堆有多少不合法的元素。对所有 $k$ 输出结果。

Solution

$x$ 号点在 $k$ 叉树上的父亲是 $[\frac {x-2} {k}]+1$
枚举儿子来计算答案，显然可以整除分块，用差分计算答案，复杂度为 $O(n \sqrt n)$

Description

给定一张 $n \times m$ 的网格图，每个格子可能是好的也可能是坏的，坏的走了就会结束，好的走了就会变成坏的。现在要求从起点出发，走到终点并在终点结束（意味着如果终点是好的那么需要经过一次后再到达）。求能否完成。

Solution

如果终点是坏的，那么可以完成当且仅当存在一条到达终点的路径。
如果终点是好的，那么可以完成当且仅当终点的四相邻格子中至少有两个 $p,q$ 满足存在一条从起点分别到达 $p,q$ 的路径。
### Description
b$，交换位置 $a$ 和 $b$ 处的元素。在所有操作结束后，输出最终序列的逆序对个数。
""
r)$ 作为单个结点
""

[CF543B] Destroying Roads - 最短路

Description

给定无向无权图，求在保证 $s_1,t_1$ 间距离不超过 $t_1$，$s_2,t_2$ 间距离不超过 $t_2$ 的情况下，最多能破坏的公路数量。

Solution

如果只有一个约束，显然最短路
考虑有两个约束，那么最短路可能有交，也可能无交
无交的情况，答案就是 m-两条最短路长度和
有交的情况，枚举最短路端点 i,j，然后考虑两种可能的情况
两个人玩牌，首先两个人都拿出自己手牌的最上面的进行拼点，两张拼点牌将都给拼点赢得人，这两张牌放入手牌的顺序是：先放对方的牌再放自己的。若最后有一个人没有手牌了，那么他就输了，求输出拼点的次数和赢得人的编号，如果一直无法结束比赛，则输出-1.
用队列模拟即可。
## [CF546E] Soldier and Traveling - 最大流

Description

Description,

有 n 个城市，由 n-1 条边连接。两个城市之间的道路是唯一的。有 m 个人，住在这 n 个城市中，现在给出 m 个人生活的城市编号。你需要回答，从一个城市 u 到另一个城市 v 的路径中，编号前 a 小的人的编号是哪些。,

Solution,

树上倍增处理路径问题，重载结点加法,

[CF598C] Nearest vectors - 计算几何

1 u c：将以 $u$ 为根的子树上的所有节点的颜色改为 $c$。,,
2 u：询问以 $u$ 为根的子树上的所有节点的颜色数量。
,,
$1\le n,m\le 4\times 10^5$，$1\le c_i,c\le 60$

Solution,,

dfs 序转化为区间问题，线段树处理，每个结点用一个 int64 存颜色，存标记，需要有标记下传和结果上传，支持区间修改和区间询问,,

Description

给定 $d$，如果一个数从高往低数第奇数位都是 $d$，第偶数位都不是 $d$，那么这个数称为 d-magic 数。
给定两个长度相等的数 $l,r$。求 $[l,r]$ 中有多少个 d-magic 数，答案 $\bmod 10^9+7$。$l,r$ 的长度 $n \le 2000$。

Solution

转化为 $f(r)-f(l-1)$ 的话还要做一下高精度减法，比较麻烦，所以我们就直接处理了。
对于每个状态，维护 $pos$ 表示当前扫到从左到右的第 $pos$ 位，$rem$ 表示前 $i$ 个数位构成的数的余数是 $rem$，用两个标记 $tagl,tagr$ 表示左边界和右边界是否已经与当前数分离。
转移过程显然是去枚举当前数位的所有可能取值，然后递归做下去。

[CF653F] Paper task

给定 $n$ 个数的序列 $a$。$m$ 次操作。每次求 $a_l,a_{l+1},...,a_r$ 中，出现偶数次的数的异或和。

Solution

即区间本质不同数的异或和与区间异或和的异或，关键是求区间本质不同数的异或和
考虑到 n 有 1e6，莫队跑不动了，考虑离线处理并用树状数组维护异或和，在每个数最后一次出现的地方放上这个数

[CF705B]

\[f_{i,j}=f_{i-1,j}+f_{i-1,j-1}+f_{i-2,j-1} \]

第二种转移方式是，考虑从中间断开，即将 $n$ 拆分为 $a+b$，那么如果第 $a,a+1$ 个球不在同一组，则可以分成互不相干的两组来处理；如果是连着的，则对 $1 \sim a-1, a+2 \sim a+b$ 分别处理，组数上再加上一组即可，转移方程为

\[f_{a+b,i} = \sum_{j=1}^{i-1} f_{a,j}f_{b,i-j}+\sum_{j=1}^{i-2}f_{a-1,j}f_{b-1,i-j-1} \]

考虑转化为多项式形式，设 $F_n(x)=\sum_{i=0}^k f_{n,i} x^i$，则上述方程可以转化为

\[F_n(x)=F_{n-1}(x)+xF_{n-1}(x)+xF_{n-2}(x) \]

\[F_{a+b}(x)=F_a(x)F_b(x)+xF_{a-1}(x)F_{b-1}(x) \]

考虑令 $a=n,b=n$，则第二种转移方案的递推式改写为

\[F_{2n}(x)=F_n^2(x)+xF_{n-1}^2(x) \]

同理有

\[F_{2n-1}(x)=F_n(x)F_{n-1}(x)+xF_{n-1}(x)F_{n-2}(x) \]

\[F_{2n-2}(x)=F_{n-1}^2(x)+xF_{n-2}^2(x) \]

整理一下，我们现在拥有的多项式形式的递推式有

\[F_n(x)=F_{n-1}(x)+xF_{n-1}(x)+xF_{n-2}(x) \]

\[F_{2n}(x)=F_n^2(x)+xF_{n-1}^2(x) \]

\[F_{2n-1}(x)=F_n(x)F_{n-1}(x)+xF_{n-1}(x)F_{n-2}(x) \]

\[F_{2n-2}(x)=F_{n-1}^2(x)+xF_{n-2}^2(x) \]

Solution

字典树解法

将每个串的所有后缀加入字典树中
然后对于每个串，跑它的每个子串，如果跑到某个位置，子树中只剩下与自己同类的，就可行，最后对所有可行取最小值

map解法

用 map 保存每个子串是谁的，如果同时是两个以上的，这个子串就不能用
最后遍历 map 对答案进行更新
有一个长度为n的序列，Alice和Bob在玩游戏。Bob先手掌握决策权。
他们从左向右扫整个序列，在任意时刻，拥有决策权的人有如下两个选择：

将当前的数加到自己的得分中，并将决策权给对方，对方将获得下一个数的决策权

将当前的数加到对方的得分中，并将决策权保留给自己，自己将获得下一个数的决策权

假定他们都使用最优策略，求他们最后分别能获得多少分

Solution

考虑到无后效性，令 $f[i][0/1]$ 表示 0/1 处理完了前 $i$ 个数，先手和后手得分的差
转移即枚举上一次的位置
$f[i][1]=max(f[j][0] - a[j+1] - a[j+2] - ... +a[i])$
$f[i][0]=min(f[j][1] + a[j+1] + a[j+2] + ... -a[i])$
换个思路，记 $f[i]$ 为从 $i$ 开始往后选，能获得的最大收益，我们可以来决策每个位置是否翻面
$f[i]=max(f[i+1], s[i]-f[i+1])$
其中 $s[i]$ 是后缀和

[CF86D] Powerful array - 莫队

Description

给定长度为 $n$ 的序列 $a$，有 $q$ 次询问，每次询问给出两个数 $l,r$。对于每次询问，设 $cnt_i$ 表示 $i$ 在 $a_l,a_{l+1},\cdots,a_r$ 出现的次数，您需要求出 $\displaystyle\sum_i cnt_i^2\cdot i$。$1\le a_i\le 10^6$

Solution

这种区间问题很显然就是莫队了，每次修改的时候我们减去原来的答案再加上新的
可能因为用了太多 vector 被卡常了，于是加了个奇偶交换

include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

define int long long

vector belong;

struct MoSolution
{
vector a;
int block_size;

struct Question
{
    int l, r, id;
    friend bool operator<(const Question &lhs, const Question &rhs)
    {
        if (belong[lhs.l] == belong[rhs.l])
            if (belong[lhs.l] & 1)
                return lhs.r < rhs.r;
            else
                return lhs.r > rhs.r;
        else
            return lhs.l < rhs.l;
    }
};

vector<Question> questions;

struct Bucket
{
    static const int maxn = 1e6 + 5;

    vector<int> cnt;
    int ans;

    Bucket()
    {
        cnt.resize(maxn);
        ans = 0;
    }

    void Add(int x)
    {
        ans += 2 * cnt[x] * x + x;
        cnt[x]++;
    }

    void Dec(int x)
    {
        cnt[x]--;
        ans -= 2 * cnt[x] * x + x;
    }
} bucket;

vector<int> ans;
int n, m;

void solve()
{
    cin >> n >> m;
    block_size = sqrt(n);

    a.resize(n + 2);
    belong.resize(n + 2);

    for (int i = 1; i <= n; i++)
        cin >> a[i];
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        belong[i] = i / block_size;

    questions.resize(m + 2);
    ans.resize(m + 2);

    for (int i = 1; i <= m; i++)
    {
        cin >> questions[i].l >> questions[i].r;
        questions[i].id = i;
    }

    sort(&questions[1], &questions[m + 1]);

    int l = 1, r = 0;

    for (int i = 1; i <= m; i++)
    {
        int ql = questions[i].l, qr = questions[i].r;

        while (r < qr)
            bucket.Add(a[++r]);
        while (l > ql)
            bucket.Add(a[--l]);

        while (r > qr)
            bucket.Dec(a[r--]);
        while (l < ql)
            bucket.Dec(a[l++]);

        ans[questions[i].id] = bucket.ans;
    }

    for (int i = 1; i <= m; i++)
    {
        cout << ans[i] << endl;
    }
}

是否存在一条到叶子距离为奇数的路径,
是否能走到一个环,
对于问题 1，我们用图 dp 的方法做，即建立分层图然后 BFS，具体地，图分为奇层和偶层，起点在偶层上，连边永远在相邻层中连,
对于问题 2，DFS 一遍，始终标记栈中结点，如果能走回栈中结点，那么就有环,

Description

给定两个正整数 $n,m(m≤n)$，对于一个 $n$ 阶 $0-1$ 方阵，其任意 $m$ 阶子方阵中至少有一个元素 $“0”$，则可以求解这个方阵中的 $“1”$ 的最大数目。现求解这个问题的逆向问题：已知这个最大数目为 $X$，求相应的 $n$ 和 $m$。

Solution

设法让每个 $0$ 被充分地利用
于是 $n,m,x$ 满足关系

\[n^2-\lfloor\frac n m \rfloor^2=x \]

令 $t=\lfloor n/m \rfloor$，则

\[(n+t)(n-t)=x \]

枚举 $x$ 的所有分解 $x=ab$，那么 $x$ 可以分解为平方差当且仅当 $a,b$ 的奇偶性相同，此时

\[n=\frac{a+b} 2, \ t=\frac{a-b} 2 \]

考虑贪心，顺序枚举每一个 $i$，对于 $a_i$，在值域中，从 $a[i]$ 倒序找分组
如果找到了分组，考虑这个分组能否容得下 $a[i]$，如果容得下则将 $a[i]$ 分进去，否则另开一组
如果没找到分组，则另开一组
### Description
n]$ 满足能从 $q$ 条操作中选出若干条操作后使得序列的最大值为 $k$。
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""
""
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[CF988E] Divisibility by 25 - 贪心

Description

给出一个从 1 到 10^18 的整数 n，不包含前导零。在一次移动中，可以交换任意两个相邻数字，使得结果数字不包含前导零。获取可被 25 整除的数字所需的最小移动次数是多少？

Solution

就那么几种情况

把 5 冒泡到最后，把 2 冒泡到倒数第二位
把 5 冒泡到最后，把 7 冒泡到倒数第二位
把 0 冒泡到最后，把 5 冒泡到倒数第二位
把 0 冒泡到最后，把另一个 0 冒泡到倒数第二位

我们可以先尝试性地做一下，如果换完以后有前导零，那么再强行找一个最左边的非零数字换到前面来，如果换完以后炸了那么这种情况就无效
可以证明先把非零数字换到前面，和先把有效数字换到后面，得到的答案是一样的
找到最靠右的两个我们要找的数字，下标为 i,j，假设我们的目标是把 j 换到最后，i 换到倒数第二个位置
如果只有 i,j 两个数字，皆大欢喜（这时 i,j 不可能都是 0）
如果除了 i,j 外的第一个数字是 0，我们要找到第一个非零的数字，如果找到了记录它的下标 k，如果没找到直接结束
现在我们是把 j 换到最后，i 换到倒数第二个位置，如果有的话，把 k 换到第一个位置
这个过程中，会出现的基础贡献为 n-j+n-1-i+k-1
考虑相互作用导致的附加贡献，如果 $k>i$ 则附加贡献，如果 $k>j$ 则附加贡献，如果 $i>j$ 则附加贡献
有 n 个骑士想决战。每个骑士都有能力值（互不相同），且身上带有一些金币。如果骑士 A 的能力值大于骑士 B ，那么骑士 A 就可以杀死骑士 B ，并获得骑士 B 身上的所有金币。但就算是骑士也不会残忍过度，他们最多只会杀死 k 个骑士。对于每一位骑士，请你求出在杀掉所有他能杀的人（只有他能杀人别人不动）后他身上金币的最大值。

Solution

注意到“互不相同”这个弱化条件，考虑对能力值从小到大排序，那么每个骑士能且只能杀他前面的人。所以动态维护前 $k$ 大和就好了
（题意有点神仙）
有 $n$ 座城市和 $m$ 条单向道路，为了能让首都能够到达所有的城市，最少需要新修建多少新的单向道路？

Solution

答案为缩点后的分量图中除 $S$ 所在分量外入度为 $0$ 的分量数

{i+1}$。每一轮滑坡中，假如变化前的>{i+1}$銆傛瘡涓€杞粦鍧′腑锛屽亣濡傚彉鍖栧墠鐨�>{i+1}$銆傛瘡涓€杞粦鍧′腑锛屽亣濡傚彉鍖栧墠鐨�>