[HAOI2017] 方案数 - 计数dp,组合数学,容斥

求从 \((0,0,0)\) 走到 \((n,m,r)\) 的方案数。\(n,m,r \leq 10^{18}\)。每次 \(s\) 可以移动到一个点 \(t\)， \(t\) 的该坐标的二进制表示中为 \(1\) 的位必须包含所有 \(s\) 的该坐标的二进制表示中为 \(1\) 为位。同时，有 \(o \leq 10^4\) 个限制点不能经过。（原题题面描述有毒）

Solution

考虑先求出没有障碍时的方案数，显然只和每个坐标上 \(1\) 个数有关，设 \(f[i][j][k]\) 表示三个坐标上 \(1\) 的个数依次为 \(i,j,k\) 的方案数，预处理组合数后暴力转移 \(C_i^l \cdot f[i-l][j][k]\to f[i][j][k]\)，其它两维类似

将所有点按每个维度升序排序（\(x\) 为第一关键字，\(y\) 为第二……），设 \(g[i]\) 表示走到障碍点 \(i\) 的方案数，考虑哪些 \(j\) 能作为转移点，显然必须有 \(x_j \subseteq x_i, y_j \subseteq y_i, z_j \subseteq z_i\)，那么 \(g[i]=f[x_i][y_i][z_i]-\sum g[j]\cdot f[i\ xor \ j]\)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long
const int N = 20005;
const int M = 64;
const int mod = 998244353;

namespace popcnter {
    int bt[65536];
    int popcnt (int x) {
        int t=0;
        while(x>=65536){
            t+=bt[x&65535];
            x>>=16;
        }
        return t+bt[x];
    }
    void init() {
        for(int i=0;i<65536;i++) {
            bt[i]=0;
            int x=i;
            while(x) bt[i]+=(x&1),x>>=1;
        }
    }
}

using namespace popcnter;

struct point {
    int x,y,z;
    bool operator < (const point &b) {
        if(x-b.x) return x<b.x;
        if(y-b.y) return y<b.y;
        return z<b.z;
    }
} a[N];

int p,q,r,n,f[M][M][M],g[N],c[M][M];

int cor(int x) {
    return (x%mod+mod)%mod;
}

signed main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    init();
    cin>>p>>q>>r;
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        cin>>a[i].x>>a[i].y>>a[i].z;
    }
    ++n;
    a[n].x=p; a[n].y=q; a[n].z=r;
    sort(a+1,a+n+1);
    f[0][0][0]=1;
    for(int i=0;i<M;i++) {
        c[i][0]=1;
        for(int j=1;j<=i;j++) {
            c[i][j]=cor(c[i-1][j-1]+c[i-1][j]);
        }
    }
    for(int i=0;i<M;i++) {
        for(int j=0;j<M;j++) {
            for(int k=0;k<M;k++) {
                if(i+j+k) {
                    for(int l=1;l<=i;l++) f[i][j][k]=cor(f[i][j][k]+f[i-l][j][k]*c[i][l]);
                    for(int l=1;l<=j;l++) f[i][j][k]=cor(f[i][j][k]+f[i][j-l][k]*c[j][l]);
                    for(int l=1;l<=k;l++) f[i][j][k]=cor(f[i][j][k]+f[i][j][k-l]*c[k][l]);
                }
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        g[i]=f[popcnt(a[i].x)][popcnt(a[i].y)][popcnt(a[i].z)];
        for(int j=1;j<i;j++) {
            if((a[i].x&a[j].x)==a[j].x && (a[i].y&a[j].y)==a[j].y && (a[i].z&a[j].z)==a[j].z) {
                g[i]=cor(g[i]-g[j]*f[popcnt(a[i].x^a[j].x)]
                         [popcnt(a[i].y^a[j].y)][popcnt(a[i].z^a[j].z)]);
            }
        }
    }
    cout<<g[n];
}