算法学习笔记1.2.2 扩展欧几里得

任务

求出A，B的最大公约数，且求出X，Y满足AX + BY = GCD(A, B)。

说明

要求X，Y，满足：

• AX + BY = GCD(A,B)。

当 B = 0 时，有X=1,Y=0时等式成立。
当 B > 0 时，在欧几里得算法的基础上，已知：

• GCD(A,B) = GCD(B, A mod B)

先递归求出 X'，Y' 满足：

• BX' + (A mod B)Y' = GCD(B, A mod B) = GCD(A, B)

然后可以回推，我们将上式化简得：

• BX' + (A - A/B x B)Y' = GCD(A, B)
• AY' + BX' - (A/B) x BY' = GCD(A, B)

这里除法指整除。把含B的因式提取一个B，可得：

• AY' + B(X' - A/B x Y') = GCD(A, B)

故 X=Y', Y= X' - A/B x Y'。

接口

int extend_gcd(int a, int b, int &x, int &y);

复杂度：O(logN)， 其中N和a,b同阶。
输入：

• a,b 两个整数
• &x, &y 引用，ax + by = GCD(a,b)的一组解

输出：a和b的最大公约数
调用后x,y满足方程ax+by=GCD(a,b)。

代码

int extend_gcd(int a, int b, int &x, int &y) {
    if (b == 0) {
        x = 1; y = 0;
        return a;
    } else {
        int r = extend_gcd(b, a%b, y, x);
        y -= x * (a / b);
        return r;
    }
}

使用范例

POJ1006，POJ2115。