数论——扩展欧几里得算法

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说明：

1. 以下所有除法为向下取整除法，a / b 记为floor(a / b)。
2. 以下所有涉及运算的数均为整数。
3. gcd(a, b)表示a与b的最大公约数。
4. lcm(a, b)表示a与b的最小公倍数。
5. a % b 表示a / b的余数。
6. 模运算结果一定为正，如果a % p < 0，让a加上p再模p，即(a + p) % p。
7. a | b表示a整除b，也就是b % a = 0。
8. 两个互质数的和(或差)与原来的数仍然是互质数。

欧几里德算法　

简介：

　　欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。

描述：

　　设q = a / b，r = a % b。

　　a，b，q，r满足a = q*b + r，可得gcd(a, b)=gcd(b, r)，即gcd(a, b)=gcd(b, a % b)。

第一种证明：

设d = gcd(a, b)，d_ = gcd(b, r)。

由题设可得：d | a，d | b。

∵ r = a - qb。

∴ d | r。

∴ d为 b 与 r 的公约数。

∴ d_ >= d。

同理可得：d >= d_。

∴ d = d_。

∴ gcd(a, b) = gcd(b, r) = gcd(b, a % b)

第二种证明：

设d = gcd(a, b)。

设 m = a / d，n = b / d。

由于d | a，d | b，所以m，n为正整数，且m，n互质。

∵ r = a - qb。

∴ r = (m - qn) * d。

∵ b = n * d。

∵ n，(m - qn)互质。（两个互质数的和(或差)与原来的数仍然是互质数，可用反证法证明）

∴ gcd(b, r) = d。

∴ gcd(a, b) = gcd(b, r) = gcd(b, a % b)

 

扩展欧几里德算法

描述：

设整数a，b满足a > b >= 0，必然存在整数对x，y，使得gcd(a, b) = a * x + b * y成立。

证明：

设q = a / b，r = a % b。

当b = 0时：

∵ 0除以任何数都等于0，即任何数都可以整除0。

∴ gcd(a, b) = a。

∴ x = 1，y = 0（y可以使任意数，这里取0）。

当b != 0时：

设gcd(a, b) = a * x₁ + b * y₁，gcd(b, r) = b * x₂ + r * y₂。

∵ gcd(b, r) = gcd(a, b)，r = a - q * b。

∴ a * x₁ + b * y₁ = b * x₂ + (a - q * b) * y₂ = a * y₂ + b * (x₂ - q * y₂)

∴ x₁ = y₂，y₁ = x₂ - q * y₂。

∴ 欲求x₁，y₁，即求x₂，y₂，不断递归即可。

 代码如下：

1 //ax + by = gcd(a, b) = d
2 // 扩展欧几里德算法
3 inline void ex_gcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y, LL &d){
4     if (!b) {d = a, x = 1, y = 0;}
5     else{
6         ex_gcd(b, a % b, y, x, d);
7         y -= x * (a / b);
8     }
9 }

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