Matching「CEOI2011」

【题目描述】
对于整数序列 $(a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n)$ 和 $1 \sim n$ 的排列 $(p_1,p_2,p_3,\cdots,p_n)$，称 $(a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n)$ 符合 $(p_1,p_2,p_3,\cdots,p_n)$，当且仅当

$a$中任意两个数字互不相同
将$a$ 从小到大排序后，将会得到 $(a_{p_1},a_{p_2},a_{p_3},\cdots,a_{p_n})$ 。

【输入格式】
第一行两个空格隔开的正整数 $n,m$。
第二行 $n$ 个空格隔开的正整数，表示排列 $p$。
第三行 $m$ 个空格隔开的正整数，表示序列 $h$。

【输出格式】
第一行一个整数 $k$，表示符合 {p}{p} 的子串个数。
第二行 $k$ 个空格隔开的正整数，表示这些子串的起始位置（编号从 $1$ 开始）。请将这些位置按照从小到大的顺序输出。特别地，若 $k=0$，那么你也应当输出一个空行。

虽然说看起来不像但是这题是个KMP匹配

注意到对于一个数组$a_{1 \sim n}$，其中$a_i$表示第$i$个数在$n$个数中的相对大小是第$a_i$大，假设另一个数组$cnt_{1 \sim n}$ 表示第$i$个数前面有$cnt_i$个数比它大，那么这样的一个$cnt$数组和$a$数组是一一对应的。以样例$2,1,4,5,3$为例对应的$cnt$数组是$0,0,2,3,2$

于是我们把原题转变为了求 $\{h\}$中的一段长为$n$的子串对应的$cnt$数组和排列$\{p\}$对应的$cnt$数组相等
这里直接暴力枚举是$O(nm)$的肯定会炸

所以考虑用KMP的思想令$nxt[i]$表示排列$\{p\}$中最长的 前缀的$cnt$数组和后缀的$cnt$数组相同 的长度(类似KMP)
求法就和KMP差不多具体见代码
主要是如何快速求出$cnt$数组呢？这个用树状数组或线段树就能很容易的实现每次在当前数的值的位置单点修改+1(即上文第二段的$a_i$) 然后查询$1 \sim a_i-1$的和
以样例为例 $2,1,4,5,3$
第一次让位置2 ++ 然后查询$1 \sim 1$ 得到0
第二次让位置1 ++ 查询$1 \sim 0$ 得到0
第三次让位置4 ++ 查询$1 \sim 3$ 得到2
以此类推

注意题目中的$\{h\}$序列需要离散化处理一下剩下的就是和KMP差不多的匹配了注意每次失配时把失配扔掉的那些元素在树状数组上-1

代码

#include <cstdio>
#include <iostream> 
#include <algorithm>
#include <cstring>
#define lowbit(x) x&(-(x))
using namespace std;

int n, m, sz;
int q[1000010], h[1000010], srt[1000010], cnt[1000010];
int tr[1000010];
int nxt[1000010];
int ans[1000010];

void updata(int ind, int x) {
	while (ind <= m) {
		tr[ind] += x;
		ind += lowbit(ind);
	}
}

int getsum(int ind) {
	int ret = 0;
	while (ind) {
		ret += tr[ind];
		ind -= lowbit(ind);
	}
	return ret;
}

int main() {
    scanf("%d %d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int a;
        scanf("%d", &a);
        q[a] = i;
    }
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        scanf("%d", &h[i]);
        srt[i] = h[i];
    }
    sort(srt + 1, srt + m + 1);
    int len = unique(srt + 1, srt + m + 1) - srt - 1;
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
    	h[i] = lower_bound(srt + 1, srt + len + 1, h[i]) - srt;
	}
    cnt[n + 1] = -0x7fffffff;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
    	cnt[i] = getsum(q[i]);
    	updata(q[i], 1);
	}
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		tr[i] = 0;
	}
	for (int i = 2, j = 0; i <= n; i++) {
		while (j && getsum(q[i]) != cnt[j + 1]) {
			for (int k = i - j; k < i - nxt[j]; k++) updata(q[k], -1);
			j = nxt[j];
		}
		if (getsum(q[i]) == cnt[j + 1]) {
			j++; updata(q[i], 1);
		}
		nxt[i] = j;
	}
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		tr[i] = 0;
	}
	for (int i = 1, j = 0; i <= m; i++) {
		while (j && getsum(h[i]) != cnt[j + 1]) {
			for (int k = i - j; k < i - nxt[j]; k++) updata(h[k], -1);
			j = nxt[j];
		}
		if (getsum(h[i]) == cnt[j + 1]) {
			j++;
			updata(h[i], 1);
		}
		if (j == n) {
			ans[++sz] = i - n + 1;
		}
	}
    printf("%d\n", sz);
    for (int i = 1; i <= sz; i++) {
        printf("%d ", ans[i]);
    }
    puts("");
    return 0;
}