Tarjan算法求有向图的强连通分量

tarjan算法思想：从一个点开始，进行深度优先遍历，同时记录到达该点的时间（dfn记录到达i点的时间），和该点能直接或间接到达的点中的最早的时间（low[i]记录这个值，其中low的初始值等于dfn）。如图：

Tarjan算法求有向图的强连通分量

　　假设我们从1开始DFS，那么到达1的时间为1，到达2的时间为2，到达3的时间为3。同时，点1能直接或间接到达的点中，最小时间为1，点2能通过3间接到达点1，所以点2可到达最早的点时间为1，点3可以直接到达点1，故点3到达的最早的点的时间为1。）。对于每一个没有被遍历到的点A，如果从当前点有一条到未遍历点A的有向边，则遍历到A，同时将点A入栈，时间戳+1并用dfn[a]记录到达点A的时间，枚举从A发出的每一条边，如果该边指向的点没有被访问过，那么继续dfs，回溯后low[a]=min(low[a],low[j])(其中j为A可以到达的点。)如果该点已经访问过并且该点仍在栈里，那么low[a]=min(low[a],dfn[j])。

解释：

　　若点j没有被访问过，那么回溯后low[j]就是j能到达最早点，a能到达的最早点当然就是a本身能到达的最早点，或者a通过j间接到达的最早点。若点j已经被访问过，那么low[j]必然没有被回溯所更新。所以low[a]就等于a目前能到达的最小点或a直接到达点j时点j的访问时间。注意：两个句子中的“或”其实指的是两者的最小值。

那么如果我们回溯到一个点K他的low[k]=dfn[k]那么我们将K及其以前在栈中的点依次弹出，这些点即为一个强连通分量。(说明从k出发又回到k)

证明：

　　因为该点dfn=low，所以在栈中的该点以上的点都能由该点直接或间接的到达。同时栈中在该点前的任意一点j，其dfn[j] != low[j]（否则点j比点k靠前，又因为dfn[j]=low[j]，j一定先被弹出了。）那么这个点j通过low[j]这个时间的点，一定能到达点k，否则，low[j]能到达点i，又因为dfn>=low所以有2种情况1、dfn>low:那么我们可以找到前面一个更小的点。2、dfn=low：应该在回溯到i的时候就找到了一个强连通分量，从而出栈了。而点k前的点没有出栈，证明其中任意一点都能直接或者间接到达点k，进而证明这些点可以两两互达。

先用简单模板刷一道水题入门：

迷宫城堡

本题的边不带权值，可以用vector表示邻接链表:

#include <cstdio>
#include <memory.h>
#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;

//本题的顶点号从1到n，故可直接用作vector的下标，不需要用head数组离散化 

const int MAXN = 10001;

int top;
int Stack[MAXN];
bool inStack[MAXN];
//DFN(u)为节点u搜索的次序编号(时间戳)，Low(u)为u或u的子树能够追溯到的最早的栈中节点的次序号  
int dfn[MAXN], low[MAXN];
int Bcnt, Dindex; //记录强连通的个数和当前时间 
vector<int> ve[MAXN]; //邻接表保存边

void init() {
    Bcnt = Dindex = top = 0;
    memset(dfn, -1, sizeof dfn);
    memset(inStack, false, sizeof inStack);
    for (int i = 1; i < MAXN; ++i) ve[i].clear();
}

void tarjan(int u) {
    int v = 0;
    dfn[u] = low[u] = ++Dindex;
    inStack[u] = true;
    Stack[++top] = u;
    int t = ve[u].size();
    for (int i = 0; i < t; ++i) {
        v = ve[u][i];
        if (dfn[v] == -1) {
            tarjan(v);
            low[u] = min(low[u], low[v]);
        } else if (inStack[v])
            low[u] = min(low[u], dfn[v]);
    }
    if (dfn[u] == low[u]) {
        Bcnt++;
        do {
            v = Stack[top--];
            inStack[v] = false;
        } while (u != v);
    }
} 

int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("in.txt", "r", stdin);
    freopen("out.txt", "w", stdout);
#endif
    int n, m;
    while (scanf("%d%d", &n, &m) != EOF) {
        if (m == 0 && n == 0) break;
        init();
        while (m--) {
            int a, b;
            scanf("%d%d", &a, &b);
            ve[a].push_back(b); 
        }
        for (int i = 1; i <= n; ++i) 
            if (dfn[i] == -1) tarjan(i);
        if (Bcnt == 1) puts("Yes");
        else puts("No");
    } 

    return 0;
}

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