求逆元的两种方法+求逆元的O(n)递推算法

到国庆假期都是复习阶段。。所以把一些东西整理重温一下。

 

gcd(a,p)=1，ax≡1(%p)，则x为a的逆元。注意前提：gcd(a,p)=1;

 

方法一：拓展欧几里得

gcd(a,p)=1,ax≡1(%p)，转化为ax+py≡1,拓展欧几里得可解决ax+by=gcd(a,b)

 1 void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
 2 {
 3     if(b==0) {
 4         x=1,y=0;
 5         return a;
 6     }
 7     int g=exgcd(b,a%b,x,y);
 8     int t=x;x=y;y=t-(a/b)*y;
 9     return g;
10 }

 

方法二：费马小定理

a^(p-1)≡1(%p)，则a^(p-2)就是逆元。快速幂。

 

 

求逆元的O(n)算法

 

 inv[i]=((mod-mod/i))*inv[mod%i]%mod;

 

 

_{转自https://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/8220787,侵删}

 

它的推导过程如下，设，那么

 

       

 

对上式两边同时除，进一步得到

 

       

 

再把和替换掉，最终得到

 

       

 

初始化，这样就可以通过递推法求出模奇素数的所有逆元了。