现象
- 确定现象
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随机现象
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随机试验
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定义
- 对随机现象的观察、记录、试验统称为随机试验
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特点
- (1) 试验可以在相同的条件下重复进行;
- (2) 每次试验的可能结果不止一个, 并且能事先明确试验的所有可能的结果;
- (3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.
- 在概率论中将具有上面特点的试验称为随机试验，用E表示随机试验
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概念
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基本事件
- 随机试验的每一个可能结果
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样本空间S
- 基本事件的全体，随机试验E的所有结果构成的集合称为E的样本空间，记为S={e}，称S中的元素e为基本事件或样本点．
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样本点w
- S中的元素
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复杂事件
- 由某些带有共同特征的基本事件所组成的事件
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随机事件
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定义
- 基本事件和复杂事件的统称
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从集合论的观点看，一个随机事件A不过是样本空间S的一个子集而已，即
- 试验的样本空间S的子集称为的随机事件，随机事件简称事件，常用A，B，C表示
- 当且仅当这一子集中一个样本点出现时，称事件A发生.
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事件A中所包含的某一个样本点w出现，即,试验所出现的样本点
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分类
- 基本事件: 由一个样本点组成的单点集.
- 必然事件：每次试验中一定发生的事件.用S表示
- 不可能事件：每次试验中一定不发生的事件.用Ø表示
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事件间的关系
- 试验E的样本空间Ω，A,B,C,AK（K=1，2，3）,为试验E的事件
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子事件
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如果事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含事件A，或称事件A是事件B的子事件，记作A⊂B或B⊃A
- 对任何事件A，都有Ω⊃A⊃Ø
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相等关系
- 若A⊂B且B⊂A，则称事件A与事件B相等（或称等价），记作A=B
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如果事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含事件A，或称事件A是事件B的子事件，记作A⊂B或B⊃A
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互斥事件 AB=Ø
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差事件
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对立事件
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积事件
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和事件
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对立事件和互斥事件间关系
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两事件独立性
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定义
- 已知事件B发生,并不影响事件A发生的概率,这时称事件A、B独立.
- 若两事件A、B满足P(AB)= P(A) P(B) 则称A、B相互独立，简称A、B独立.
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定理一 事件A、B独立的充要条件
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- 若抽取是有放回的, 则A1与A2独立
- 若抽取是无放回的，则A1与A2不独立
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定理二
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若两事件A、B独立, 则
- 也相互独立
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若两事件A、B独立, 则
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推广
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计算
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定义
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时间的运算满足的规律
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定义
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事件的概率和频率
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频率
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概率
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定义
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- 研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是事件的概率，记为P（A）
- 概率是随机事件发生可能性大小的度量，事件发生的可能性越大，概率就越大
- 注：概率是定义在集合域F上的一个非负的、规范的、可列可加的集函数。
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性质
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推论
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推论
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推论
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-
推论
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特殊的概率
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条件概率
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概念
- 在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率.
- 如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率，将此概率记作P(A|B).
- 一般地 P(A|B) ≠ P(A)
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定义
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设A、B是两个事件，且P(B)>0,则称
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为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率.
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设A、B是两个事件，且P(B)>0,则称
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性质
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（1）非负性
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（2）规范性
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（3）可列可加性：
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若
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-
若
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（1）非负性
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计算
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乘法公式
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推广
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全概率公式与贝叶斯公式Bayes
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划分定义：
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设S为试验E的样本空间，B1,B2,…,Bn为E的一组事件。若：
- 即：B1,B2,…,Bn至少有一个发生是必然的，但两两同时发生又是不可能的。
- 则称B1,B2,…,Bn为S的一个划分,或称为一组完备事件组。
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设S为试验E的样本空间，B1,B2,…,Bn为E的一组事件。若：
-
定理：
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设试验E的样本空间为S，B1,B2,…,Bn为S的一划分，P(Bi)>0，i=1,2,…,n；A为E的事件，则
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全概率公式
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贝叶斯公式——“已知结果求原因”是已知某结果发生条件下，探求各原因发生可能性大小.
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设试验E的样本空间为S，B1,B2,…,Bn为S的一划分，P(Bi)>0，i=1,2,…,n；A为E的事件，则
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划分定义：
-
概念
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条件概率
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定义
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频率
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试验结果
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常见的两类试验结果：
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中心问题：将试验结果数量化
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随机变量
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定义
- 定义在样本空间S上，取值于实数域R上的函数X=f(w)，称为是样本空间S上的（实值）随机变量。
- 随机变量通常用Ｘ、Ｙ、Ｚ或ξ、η、ζ等表示
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分类
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离散型
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定义
- 如果随机变量X只取有限个或可列个（如正整数集）值，则称X为离散型随机变量
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性质
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分布列性质
- (1) 非负性：pk≥0 k=1、2、…；
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(2) 规范性：
- 反之，若一数列满足上述两条性质，则它必定可以作为某个离散型
- 随机变量的分布列。
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分布列性质
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求概率分布列的步骤
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若干常见的离散型分布
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二点分布(0-1分布)
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二项分布
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泊松分布
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特点
- 随机变量的取值k是可列个，且随着k的增大，事件发生的可能性愈来愈小。在大量的试验中，稀有事件(概率很小的事件)A发生的次数服从或近似服从泊松分布
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二项分布的极限分布是泊松分布
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二点分布(0-1分布)
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随机变量的分布函数
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定义
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给定一随机变量X，对于任意的实数x，令
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给定一随机变量X，对于任意的实数x，令
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性质
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-
-
定义
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非离散型
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连续型
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定义
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设随机变量X的分布函数 F（x）若存在非负的函数 f（x），使对任意实数x有
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设随机变量X的分布函数 F（x）若存在非负的函数 f（x），使对任意实数x有
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性质
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若干常见的连续型分布
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均匀分布
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-
性质
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若
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则
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若
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指数分布
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性质（无记忆性）
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正态分布
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定义
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性质
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特殊的
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定义
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均匀分布
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定义
- 其他
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连续型
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离散型
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随机变量的函数的分布
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一般地，若已知X的概率分布,且Y=g(X)，求Y的概率分布的过程如下：
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若Y为离散量
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若Y为连续量
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-
若Y为离散量
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定义
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随机变量
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中心问题：将试验结果数量化
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常见的两类试验结果：
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基本事件
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定义
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特殊的随机试验
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等可能概型（古典概型）
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定义
- 若随机试验满足下述两个条件：
- (1) 它的样本空间只有有限多个样本点；
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(2) 每个样本点出现的可能性相同。
- 称这种试验为等可能概型或古典概型.
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计算公式
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性质
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排列组合与古典概率的计算
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1.非重复的排列:
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从 n个不同元素中,每次取出k个不同的元素,按一定的顺序排成一列称为排列,排列的种数记作
- 注: 若k=n,此排列称为全排列, 若k<n,此排列称为选排列
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从 n个不同元素中,每次取出k个不同的元素,按一定的顺序排成一列称为排列,排列的种数记作
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2.组合:
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从n个不同的元素中,每次取出k个不同的元素,与元素的顺序无关组成一组叫作组合,其组合
-
从n个不同的元素中,每次取出k个不同的元素,与元素的顺序无关组成一组叫作组合,其组合
-
3.可重复的排列:
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从 n个不同元素中可重复取出m个元素的排列总数为
-
从 n个不同元素中可重复取出m个元素的排列总数为
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1.非重复的排列:
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定义
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伯努利概型
- 随机现象的规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才能表现出来。将一个试验重复独立地进行n次，这是最基本最重要的一种具有独立性试验的模型。这里讲的独立试验是指各试验间的结果相互之间无影响；而重复试验应理解为试验中的事件在各次试验中发生的可能性大小不变
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一次伯努利试验----随机试验中一种最简单的试验是：只有两个结果：A、A拔 的试验。通常称这样的试验为一次伯努利(Bernoulli)试验。
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n重伯努利试验En----将一次伯努利试验重复独立进行n次而形成的试验称为n重伯努利试验或n重伯努利概型，简称为伯努利概型。
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定理：
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等可能概型（古典概型）
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随机试验