数据结构：堆

堆是一种优先队列的实现。堆是一颗完全二叉树，所谓完全二叉树就是除了最后一层以外，其他层都是满的，而且最后一层所缺的叶结点都在右边。

数据结构：堆

在完全二叉树中，节点的序列号有如下关系：

特性4：设完全二叉树中一元素的序号为i,1<=i<=n.则有以下关系：

当i=1时，节点为树的根。若i>1,则该元素父节点为i/2(向下取整)

当2*i>n时，该元素无左孩子。否则，其左孩子为2*i。

当2*i+1>n时，无右孩子。否则，右孩子为2*i+1。

可以用公式化描述的树来高效存储完全二叉树。

1.定义

最大树：每个节点的值都大于或等于其子节点（如果有的话）值得树。（最大树可以多于二叉）

数据结构：堆

最大堆：最大的完全二叉树

由于堆是完全的二叉树，因而可以利用它的这一特性方便的用数组实现堆。

2.最大堆的插入

插入时，从最后一个元素向根结点方向搜索，找到对应的位置插入。O(log₂n)

数据结构：堆

3.最大堆的删除

删除根结点，然后将最后一个叶结点放入根结点，并向下搜索，找到对应位置插入。O(log₂n)

数据结构：堆

4.最大堆的初始化

可以用n个数组元素初始化最大堆。初始化的过程可以分为n个插入操作，所需时间为O（nlogn）。或者用下面这种方式，时间为O（n）

从第一个具有孩子的节点开始（即节点 n），这个元素在数组中的位置为 i = [n / 2 ]，如果以这个元素为根的子树已是最大堆，则此时不需调整，否则必须调整子树使之成为堆。随后，继续检查以 i-1, i-2等节点为根的子树，直到检查到整个二叉树的根节点（其位置为1）。

5.实现

类定义：

 1 template<typename T>
 2 class MaxHeap
 3 {
 4 public:
 5     MaxHeap(int MaxHeapSize = 10);
 6     ~MaxHeap()
 7     {
 8         if (heap!=NULL)
 9         {
10             delete[] heap;
11             heap = NULL;
12         }
13     }
14 
15     int Size() const{ return CurrentSize; }
16     T Max()
17     {
18         if (CurrentSize==0)
19         {
20             throw OutofBounds();
21         }
22 
23         return heap[1];
24     }
25 
26     MaxHeap<T>& Insert(const T& x);
27     MaxHeap<T>& DeleteMax(T& x);
28     void Initialize(T a[], int size, int ArraySize);
29 private:
30     int CurrentSize;
31     int MaxSize;
32     T* heap;
33 };

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