[转] 似然函数与概率

知乎还是明白人多啊，讲明白儿的

from：https://www.zhihu.com/question/54082000

作者：Yeung Evan
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We must return to the actual fact that one value of $p$ , of the frequency of which we know nothing, would yield the observed result three times as frequently as would another value of $p$ . If we need a word to characterize this relative property of different values of $p$ , I suggest that we may speak without confusion of the $\textit{likelihood}$ of one value of $p$ being thrice the likelihood of another, bearing always in mind that likelihood is not here used loosely as a synonym of probability, but simply to express the relative frequencies with which such values of the hypothetical quantity $p$ would in fact yield the observed sample.

除此之外，统计学中的另一常见概念"置信（区间）"(confidence interval)中的置信度(confidence level) 或者称为置信系数 (confidence coefficient) 也不是概率。换句话说，"构建关于总体均值的95%的置信区间"里的"95%"不是概率意义下的0.95（即使它也是0到1之间的代表机会chance的一个度量）: Neyman的原话是

... in the long run he will be correct in 99% (the assumed value of $\alpha$ ) of all cases ... Hence the frequency of actually correct statements will approach $\alpha$

更常见的 $p$ -值( $p$ -value)严格来说其本身是一个(恰好位于0到1之间的)统计量(即样本随机变量的函数)，所以 $p$ -值也不是概率。

一种方便区别是概率还是似然的方法是，根据定义，"谁谁谁的概率"中谁谁谁只能是概率空间中的事件，换句话说，我们只能说，事件(发生)的概率是多少多少(因为事件具有概率结构从而刻画随机性，所以才能谈概率)；而"谁谁谁的似然"中的谁谁谁只能是参数，比如说，参数等于 $\theta$ 时的似然是多少。

2、似然与概率的联系

先看似然函数的定义，它是给定联合样本值 $\textbf{x}$ 下关于(未知)参数 $\theta$ 的函数： $L(\theta | \textbf{x}) = f(\textbf{x} | \theta)$

这里的小 $\textbf{x}$ 是指联合样本随机变量 $\textbf{X}$ 取到的值，即 $\textbf{X} = \textbf{x}$ ；

这里的 $\theta$ 是指未知参数，它属于参数空间；

这里的 $f(\textbf{x}|\theta)$ 是一个密度函数，特别地，它表示(给定) $\theta$ 下关于联合样本值 $\textbf{x}$ 的联合密度函数。

所以从定义上，似然函数和密度函数是完全不同的两个数学对象：前者是关于 $\theta$ 的函数，后者是关于 $\textbf{x}$ 的函数。所以这里的等号 $=$ 理解为函数值形式的相等，而不是两个函数本身是同一函数(根据函数相等的定义，函数相等当且仅当定义域相等并且对应关系相等)。

说完两者的区别，再说两者的联系。

（1）如果 $\textbf{X}$ 是离散的随机向量，那么其概率密度函数 $f(\textbf{x} | \theta)$ 可改写为 $f(\textbf{x} | \theta) = \mathbb{P}_\theta(\textbf{X} = \textbf{x})$ ，即代表了在参数 $\theta$ 下随机向量 $\textbf{X}$ 取到值 $\textbf{x}$ 的可能性；并且，如果我们发现

$L(\theta_1 | \textbf{x} ) = \mathbb{P}_{\theta_1}(\textbf{X} = \textbf{x}) > \mathbb{P}_{\theta_2}(\textbf{X} = \textbf{x}) = L(\theta_2 | \textbf{x})$

那么似然函数就反应出这样一个朴素推测：在参数 $\theta_1$ 下随机向量 $\textbf{X}$ 取到值 $\textbf{x}$ 的可能性大于 在参数 $\theta_2$ 下随机向量 $\textbf{X}$ 取到值 $\textbf{x}$ 的可能性。换句话说，我们更有理由相信(相对于 $\theta_2$ 来说) $\theta_1$

更有可能是真实值。这里的可能性由概率来刻画。

（2）如果 $\textbf{X}$ 是连续的随机向量，那么其密度函数 $f(\textbf{x} | \theta)$ 本身（如果在 $\textbf{x}$ 连续的话）在 $\textbf{x}$ 处的概率为0，为了方便考虑一维情况：给定一个充分小 $\epsilon > 0$ ，那么随机变量 $X$ 取值在 $(x - \epsilon, x + \epsilon)$ 区间内的概率即为

$\mathbb{P}_\theta(x - \epsilon < X < x + \epsilon) = \int_{x - \epsilon}^{x + \epsilon} f(x | \theta) dx \approx 2 \epsilon f(x | \theta) = 2 \epsilon L(\theta | x)$

并且两个未知参数的情况下做比就能约掉 $2\epsilon$ ，所以和离散情况下的理解一致，只是此时似然所表达的那种可能性和概率 $f(x|\theta) = 0$ 无关。

综上，概率(密度)表达给定 $\theta$ 下样本随机向量 $\textbf{X} = \textbf{x}$ 的可能性，而似然表达了给定样本 $\textbf{X} = \textbf{x}$ 下参数 $\theta_1$ (相对于另外的参数 $\theta_2$ )为真实值的可能性。我们总是对随机变量的取值谈概率，而在非贝叶斯统计的角度下，参数是一个实数而非随机变量，所以我们一般不谈一个参数的概率。

最后我们再回到 $L(\theta | \textbf{x}) = f(\textbf{x} | \theta)$ 这个表达。首先我们严格记号，竖线 $|$ 表示条件概率或者条件分布，分号 $;$ 表示把参数隔开。所以这个式子的严格书写方式是 $L(\theta | \textbf{x}) = f(\textbf{x} ; \theta)$ 因为 $\theta$ 在右端只当作参数理解。