规划
枚举 \(x_k \ne 0\) 的数目 \(i\)，则有
\[\sum_{i=0}^n \binom n i \binom {p-1} {i-1} 2^i =\sum_{i=0}^n \binom n i 2^i \sum_{j=i}^p \binom {j-1}{ i-1}=\sum_{i=0}^n 2^i \binom n i\binom p i
\]
画饼
构造若干个互不相连的完全图即可。
断言
暴力枚举子集判断即可。
事实上，根据鸽巢原理容易证明命题永远为真，因此直接输出 YES 即可。
求和
预处理出所有区间的最小值后，进一步预处理出所有区间的答案，然后 \(O(1)\) 回答询问即可。
重组
统计出每个因子出现的个数，第 \(i\) 个因子的个数记作 \(q_i\)，总的因子数的个数显然是 \(tot=\prod_i (q_i+1)\)，于是每个因子最终贡献的幂次为 \(\frac 1 2 q_i tot\)。算幂次时根据费马小定理，要对 \(10^9 +6\) 取模，但是这里有个除 \(2\) 很讨厌，考虑到 \(q_i\) 和 \(tot\) 中至少由一个能被 \(2\) 整除，这里我们可以在计算过程中先对 \(2(10^9+6)\) 取模。