一、一维差分
1、引入
一个序列 5 4 6 2 7
每个数减去前面一个数得到一个新的序列，第一个数默认减0，得到新序列5 -1 2 -4 5
这个新序列就是差分数组
将差分数组求前缀和 ，得到原序列 5 4 6 2 7
2、区间操作
假设要在区间[2,4]内每个数加2。
接下来对差分数组5 -1 2 -4 5进行如下操作。
第一行为数组下标。在下标为2处+2，在下标为5处-2。
得到新的差分数组 5 1 2 -4 3。
对新的差分数组求前缀和，得到数组5 6 8 4 7。发现实现了区间[2,4]每个数+2的操作。
二、二维差分
1、引入
定义：设初始数组为a[][],差分数组为p[][]。
·二维前缀和定义：对于一个左上角为[1,1],右下角为[n,m]的矩阵。二维前缀和数组s[i][j]表示左上角为[1,1]，右下角为[i,j]的矩阵的所有数的和。
可知数组a[][]的前缀和矩阵s[][] s[i][j]=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1]+a[i][j]。
·二维差分数组：p[i][j]=a[i][j]-a[i-1][j]-a[i][j-1]+a[i-1][j-1]。
类比一维差分：对二维数组求得二维差分数组，对二维差分数组求前缀和得到原二维数组。
一个例子：
a[][]:
1 2 4 3
5 1 2 4
6 3 5 9
它对应的差分矩阵p[][]:
1 1 2 -1
4 -5 -1 3
1 1 1 2
差分矩阵p[][]的前缀和矩阵：
1 2 4 3
5 1 2 4
6 3 5 9
就是原矩阵a[][]。
2、区间操作
假设要对左上角为[x1,y1],右下角为[x2,y2]的矩阵的每个数加c；
接下来要对差分矩阵p[][]进行如下操作。
p[x1][y1]+=c；
p[x1][y2+1]-=c;
p[x2+1][y1]-=c;
p[x2+1][y2+1]+=c;
原因如下：下图来自https://blog.csdn.net/justidle/article/details/104506724
3、题目
（1）传送门
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define N 1009 int n,m,q; int a[N][N]; int p[N][N]; int s[N][N]; int main() { ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); cout.tie(0); cin>>n>>m>>q; for(int i=1;i<=n;i++) { for(int j=1;j<=m;j++) { cin>>a[i][j]; p[i][j]=a[i][j]-a[i-1][j]-a[i][j-1]+a[i-1][j-1]; } } for(int i=1;i<=q;i++) { int x1,y1,x2,y2,c; cin>>x1>>y1>>x2>>y2>>c; p[x1][y1]+=c; p[x1][y2+1]-=c; p[x2+1][y1]-=c; p[x2+1][y2+1]+=c; } for(int i=1;i<=n;i++) { for(int j=1;j<=m;j++) { s[i][j]=s[i][j]+s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1]+p[i][j]; cout<<s[i][j]<<" "; } cout<<endl; } return 0; }