杜教筛 (包括线筛) 莫比乌斯函数前缀和 欧拉函数前缀和 因数和函数前缀和 因子个数前缀和 ( 分析 )

 线筛各种函数   元函数 恒等函数 单位函数 莫比乌斯函数 欧拉函数  因子个数函数 因子和函数    

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=1e6+10;
int e[maxn];
int I[maxn];
int ID[maxn];
int phi[maxn];
int mu[maxn];
void init_e() { e[1]=1; }
void init_I() { int n=maxn-1; for(int i=1;i<=n;i++) I[i]=1;}
void init_ID(){ int n=maxn-1; for(int i=1;i<=n;i++) ID[i]=i;}
bool vis[maxn];
int prime[maxn/7];
int tot=0;
void init_mu(){
    int n=maxn-1; tot=0; mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(vis[i]==0) { prime[++tot]=i;  mu[i]=-1; }
        for(int j=1;j<=tot && i*prime[j]<=n;j++){
            vis[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0){break;}
            mu[i*prime[j]]=-mu[i];
        }
    }
}
void init_phi(){
    int n=maxn-1; tot=0;  phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(vis[i]==0) { prime[++tot]=i; phi[i]=i-1;  }
        for(int j=1;j<=tot && i*prime[j]<=n;j++){
            vis[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0){
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
                break;
            }phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
        }
    }
}
int d[maxn];
ll  dd[maxn];
int mm[maxn];  // 最小因子相关的信息
void init_d(){
    int n=maxn-1; tot=0; d[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(vis[i]==0) {prime[++tot]=i; d[i]=2; mm[i]=2;  }
        for(int j=1;j<=tot && i*prime[j]<=n;j++){
            vis[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0){
                d[i*prime[j]]=d[i]/mm[i]*(mm[i]+1);
                mm[i*prime[j]]=mm[i]+1;
                break;
            }
            d[i*prime[j]]=d[i]*2;
            mm[i*prime[j]]=2;
        }
    }
}
// ((x+1)*x+1)*x+1; // 转换成多项式 类似hash
void init_dd(){
    int n=maxn-1; tot=0; dd[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(vis[i]==0) { prime[++tot]=i; dd[i]=i+1; mm[i]=i+1;  }
        for(int j=1;j<=tot && i*prime[j]<=n;j++){
            vis[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0){
                mm[i*prime[j]]=mm[i]*prime[j]+1;
                dd[i*prime[j]]=dd[i]/mm[i]*mm[i*prime[j]]  ;
                break;
            }
            dd[i*prime[j]]=dd[i]*dd[prime[j]];
            mm[i*prime[j]]=1+prime[j];
        }
    }
}
int main(){
    init_e();init_I();init_ID();
    init_mu();init_phi();init_d();init_dd();
}

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