[学习笔记]四边形不等式优化DP

形如\(f[i][j]=min\{f[i][k]+f[k+1][j]\}+w[i][j]\)的方程中，
\(w[\;][\;]\)如果同时满足：

1. 四边形不等式：\(w[a][c]+w[b][d]\;\leq\;w[a][d]+w[b][c](a\;\leq\;b<c\;\leq\;d)\)
2. 区间包含关系单调：\(w[i+1][j]\;\leq\;w[i][j]\;\leq\;w[i][j+1]\)

则\(f[\;][\;]\)也满足四边形不等式。

记使\(f[i][j]\)最小的\(k\)为\(g[i][j]\)，则\(g[i][j-1]\;\leq\;g[i][j]\;\leq\;g[i+1][j]\)

每次枚举\(k\)只需枚举\([g[i][j-1],g[i+1][j]]\)。

\(DP\)的时间复杂度就从\(O(n^3)\)压到了\(O(n^2)\)。