[数学][组合数相关]

基础

\(C(^n_m)\)表示从n个东西中选m个的方案数

\(C(^n_m)=\frac{n!}{m!(n-m)!}\)

多项式系数

\((a+b)^n=\sum\limits_{i=0}^n{(^n_i)a^ib^{n-i}}\)

一些知识

\(\sum\limits_{i=0}^n(^n_i)=2^n\)其实就相当于从n个物品中选任意多个物品的方案数。枚举每个物品选不选

\(\sum\limits_{i=0}^k{(^{n+i-1}_i)}=(^{n+k}_k)\)

计算——杨辉三角

\((^n_m)\)与杨辉三角第n行第m列(从0开始计数)相同，n方预处理。适合1000以内的组合数

\((O(n^2))\)

void pre(int n) {
	C[0][0]=1;
	for(int i=1;i<=n;++i) {
		C[i][0]=1;
		for(int j=1;j<=i;++j) {
			C[i][j]=C[i-1][j]+C[i-1][j-1];
		}
	}
}

计算——分解质因数

\((^n_m)=\frac{n!}{n!(n-m)!}=\frac{n(n-1)(n-2)...(n-m+1)}{m(m-1)(m-2)...(1)}=\prod\limits_{i=1}^m{\frac{n+1-i}{i}}\)

对于分子分母分别分解质因数，然后将质因数相减求和。

\(cnt[mnp[i]]+=cnt[i],cnt[i/mnp[i]]+=cnt[i]\)，同样方法处理处分母的质因数。

\((O(n))\)

void fj(int n) {//线性筛 
	for(int i=2; i<=n; ++i) {
		if(!vis[i]) {
			dis[++dis[0]]=i;
			mnp[i]=i;
		}
		for(int j=1; j<=dis[0]&&dis[j]*i<=n; ++j) {
			vis[dis[j]*i]=1;
			mnp[dis[j]*i]=dis[j];
			if(i%dis[j]==0) break;
		}
	}
}
ll qmi(ll x,int y) {//快速幂 
	ll ans=1;
	for(ll now=x; y; y>>=1,now=now*now%mod)
		if(y&1) ans*=now,ans%=mod;
	return ans;
}
int CC(int n,int m) {
	for(int i=n; i>=n-m+1; --i) {//分解分子 
		cnt[i]++;
		if(vis[i]) cnt[mnp[i]]+=cnt[i],cnt[i/mnp[i]]+=cnt[i];
	}
	for(int i=n-m; i>=1; --i)
		if(vis[i])	cnt[mnp[i]]+=cnt[i],cnt[i/mnp[i]]+=cnt[i];
	for(int i=m; i>=1; --i) {//分解分母 
		cnt2[i]++;
		if(vis[i]) cnt2[mnp[i]]+=cnt2[i],cnt2[i/mnp[i]]+=cnt2[i];
	}
	ll ans=1;
	for(int i=1; i<=dis[0]; ++i) {//计算 
		ans*=qmi(dis[i],(cnt[dis[i]]-cnt2[dis[i]])%mod);
		ans%=mod;
	}
	return ans;
}

计算——卢卡斯定理

对于n比较大，mod比较小的情况且mod为质数。可以讲m和n拆分为p进制的数。

\(n=n_kp^k+n_{k-1}p^{k-1}+...+n_1p+n_0\)

\(m=m_kp^k+m_{k-1}p^{k-1}+...+m_1p+m_0\)

\((^n_m)=\prod\limits_{i=0}^k{(^{n_i}_{m_i})}\)

ll jc[N],inv[N];
ll calc(int n,int m) {
	if(n<m) return 0;
	 if(n<=mod) return jc[n]*inv[jc[m]]%mod*inv[jc[n-m]]%mod;
	 return calc(n/mod,m/mod)*calc(n%mod,m%mod)%mod;
} 
ll lucas(int n,int m) {
	jc[1]=jc[0]=inv[1]=inv[0]=1;
	for(int i=2;i<=mod;++i) jc[i]=jc[i-1]*i%mod;
	for(int i=2;i<=mod;++i) inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
	return calc(n,m);
}

前缀和

\(\sum\limits_{i=0}^n{(^i_m)}=(^{n+1}_{m+1})\)

\(\sum\limits_{i=0}^m{(^n_i)}=Sum(n,m)\)

\(sum(n,m)\)可以递推

\(sum(n,m)=sum(n,m-1)-(^n_m)\)

\(sum(n+1,m)=2sum(n,m)-(^n_m)\)

组合意义

\((^n_k)\)种方式

\((^{n+k-1}_k)\)种方式。

\((^{n+k}_k)\)个字符串包含k个0和n个1

\((^{n+1}_k)\)个字符串包含k个0和n个1

\(\frac{(^{2n}_n)}{n+1}\)

\((^{c-a+d-b}_{a-c})=(^{c-a+d-b}_{d-b})\)

\((^{n+m-1}_{m-1})\)

容斥原理

\(|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|\)

\(|A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|A\cap C|-|B\cap C|+|A\cap B\cap C|\)

第二类斯特林数

\(\{^n_k\}\)就是第二类斯特林数

\(\{^n_k\}=k\{^{n-1}_k\}+\{^{n-1}_{k-1}\}\)

卡特兰数

\(C_{n+1}=\sum\limits_{i=0}^{n-1}C_iC_{n-i}\)

经典应用：

\(C_n\)

\(n*n\)的网格图中，从(0,0)到(n,n)不穿过对角线的单调路径的个数

如图所示，可以枚举触碰到对角线的位置，将向上走表示为进栈，向右走表示为出栈，那么碰到对角线的时候就是栈空的时候，和上题就类似了。