第十六章 拉格朗日方程

教学目标：

1． 了解动力学普遍方程。

2． 能正确地运用拉格朗日方程建立质点系的运动微分方程。

本章重点、难点：

选广义坐标，并将质点动能表示为广义坐标和广义速度的函数。

计算广义力或将保守系统的势函数表示为广义坐标的函数。

教学过程：

引言：本章是把达朗伯原理和虚位移原理结合起来，推导出

求解质点系动力学问题的最普通的方程，是分析动力学的基

础。

一．动力学普遍方程

设由几个质点组成的质点系，其

中质点的质量为，其上作

用的主动力为，约束为，

惯性力为= -，

由达朗伯原理，有

任给质点一虚位移，

由虚位移原理，有：

将以上几个方程相加，有：

若是理想约束，有：

再将= -=-代入，有：

-------动力学普遍方程

或

例16．1 已知：在图16.2所示滑轮系统中，动滑轮上悬挂重为的重物，绳子绕过定滑轮后悬挂重为的重物，设滑轮和绳子的重量不计，求：重为的重物的加速度

解：1，研究对象：整体系统=1

2，分析主动力（）

3，分析运动，虚加惯性力，

如图16.2所示，其中

，

，

运动学关系：

4，任给系统一组虚位移如图示，有，

5，由动力学普遍方程求解：

-(

将惯性力和虚位移关系代入上式，

有：

因为是独立变量，解得

二．拉格朗日方程

1， 方程推导，

将动力学普遍方程变换为

（a）

将

代入式（a）

右边=（b）

两个经典关系式:

（1） , （2）

式（1）的证明：

因为是彼此独立的，所以

式（2）的证明：

所以

将式（1），（2）代入式（c），有：

左边=

=

= (d)

将式（b）（d），代入式（a），并移项，得：

完整系统中，是彼此独立的，可得： -------------- 拉格朗日第二类方程

方程的性质，关于的二阶微分方程组，可求解运动及主动力，不能求约束力。

2， 保守系统的拉氏方程

势函数：广义力代入拉氏方程,

有

因为，将上式变换为：

令，称为拉氏函数，可得：

-------------保守系统的拉氏方程

3， 拉格朗日方程的应用

例16.2，已知：三棱柱质量为，与水平面光滑接触，均质圆柱质量为，半经为，放在三棱柱的斜面上，圆柱与三棱柱之间无相对滑动，不计滚动摩阻，设（图16.3）

求：三棱柱 和圆柱中心的加速度，

解：1，研究对象：整体，

广义坐标，

2，分析主动力，计算广义力：

令，

令，

3，分析运动，计算动能，三棱柱 作平动，就作平面运动，

三棱柱的动能：

轮动能：

系统总动能

4， 计算偏导数，代入拉氏方程

,

,

,

,,

5， 求解

,式联立求解，得，将代入得

， ,所以

例16.3，已知：质量为长度为的均质杆，端与钢性系数为的弹簧相连并限制在铅垂方向运动，杆还可以绕过的水平轴摆动，如图16.4所示，求：杆的运动微分方程，

解：1，研究对象：整体，

广义坐标（图16.4）

2，分析运动，计算动能

杆作平面运动，

3，分析主动力，计算势能，并写出拉氏函数

设平衡时点的位置为坐标原点，并设平衡位置为弹力和重力的零势能点，有：

其中,代入上式，整理后得：

拉氏函数

4，计算偏导数，代入拉氏方程

,

,

,

,

5，整理,两式，得：