第三节 方阵的几种运算
一、方阵的幂
k个n阶方阵连乘，称为方阵A的k次幂，记为Ak.
规定
由于矩阵乘法适合结合律，所以方阵的运算满足下列运算规律：
例9
解：
二、方阵的行列式
定义6 由n阶方阵A的元素所构成的行列式称为方阵A的行列式, 记作|A|或detA.
例10
解：
注意：n阶方阵是个数表，n阶行列式是个数值。
方阵的行列式满足以下规律：
(1)|AT|=|A|;
(2)|lA|=ln|A|;
(3)|AB|=|A||B|，同样地， |BA|=|B||A|
由（3）可知，对于n阶行列式A，B，一般来说AB≠BA，但|BA|=|AB|。
例11
解：
还可以解为
定义7 由n阶方阵A的行列式|A|的各个元素的代数余子式Aij所构成的n阶方阵的转置矩阵，称为矩阵A的伴随矩阵, 简称伴随阵.记为。
注意：|A|中第i行各元素的代数余子式位于中的第i列，（i=1,2,…，n）。
解：
由行列式中的定理可知
所以
同理可证
于是有如下结论
解：
三、方阵的逆
定义8 对于n阶矩阵A, 如果存在n阶矩阵B, 使得AB=BA=En,
则矩阵A是可逆矩阵或非奇异矩阵, 并称B为A的逆矩阵, 简称逆阵.
A的逆阵B记为B=A-1.
可逆矩阵是相互的，B是A的逆矩阵，同样地A也是B的逆矩阵，A与B是互为逆矩阵的
即若AB=BA=E , 则B=A-1，A=B-1。
例如，对于二阶方阵与二阶方阵
，因为
A与B是可逆矩阵，且互为逆矩阵。
逆矩阵具有如下性质：
（1）唯一性: 如果矩阵A是可逆的, 那么A的逆阵是唯一的.
证明：因为如果Bn和Cn都是A的逆矩阵, 则有
AB=BA=E, AC=CA=E,
于是 B=BE=B(AC)=(AB)C=EC=C
即 B=C
所以逆矩阵是唯一的.
(2)若A可逆, 则A-1也可逆, 且(A-1)-1=A;
(3)若A可逆, 数k¹0, 则kA 可逆, 且;
证明：
(4)若A可逆, 则AT也可逆, 且(AT)-1=(A-1)T .
证明：因为
AT(A-1)T=(A-1A)T=ET=E.
(A-1)T AT =( A A-1)T=ET=E.
所以 (AT)-1=(A-1)T .
(5)若A、B为同阶可逆矩阵, 则AB亦可逆, 且(AB )-1=B-1A-1.
这是因为
(AB)(B-1A-1)=A(BB-1)A-1=AEA-1=AA-1=E.
(B-1A-1) (AB) = B-1 (A-1 A) B = B-1EB=B-1B=E.
所以 (AB )-1=B-1A-1.
该性质也可以推广到有限个矩阵，设A，B，…，C都是可逆的方阵，则有
（AB…C）-1=C-1…B-1A-1。
定理1 n阶方阵A可逆的充分必要条件是|A|≠0，且
证 必要性：
由已知A可逆，知存在一个n 阶方阵A-1，使得
AA-1=A-1A=En，
又因为 |AA-1|=|A-1||A|=|En|=1，
所以 |A|¹0,
由伴随矩阵的性质 AA*=A*A=|A|E,
得 ,
同理
所以, 按逆阵的定义, 即知A可逆, 且有
.
充分性（略）
综合起来, 矩阵A可逆Û|A|¹0; 若A可逆, 则
定理1不仅给出了逆矩阵存在的冲要条件，而且给出了求逆矩阵的一种方法，即先求出已知方阵的行列式|A|，如果|A|¹0，可知A可逆，进一步计算出，那么
解：
利用矩阵可逆的性质，可以解决许多复杂的问题。
例如：设线性方程组Ax=b，如果A是n阶可逆方阵，那么将方程两边同时左乘A-1，得
A-1 Ax= A-1 b
则x= A-1 b 就是线性方程组Ax=b的解。
解：已知系数矩阵
所以A是三阶可逆方阵。