§4 空间曲线的方程
一 普通方程
1 定义:设L为空间曲线,为一三元方程组,空间中建立了坐标系之后,若L上任一点M(x,y,z)的坐标都满足方程组,而且凡坐标满足方程组的点都在曲线L上,则称
为曲线L的普通方程,又称一般方程,记作
L:
(图2.8)
注: 1°在空间坐标系下,任一曲线的方程定是两方程联立而成的方程组;
2°用方程组去表达曲线,其几何意义是将曲线看成了二曲面的交线（如图2.8）;
3°空间曲线的方程不唯一(但它们同解),如
与
均表示z轴
2 用曲线的射影柱面的方程来表达曲线
以曲线L为准线,母线平行于坐标轴的柱面称为L的射影柱面,若记L的三射影柱面的方程为 (x,y)=0,
(y,z)=0,
(z,x)=0,则
,
,
便是L的用射影柱面表达的方程
若已知曲线L:,只需从L的方程中,分别消去x,y,z便三射影柱面
的方程(y,z)=0,
(z,x)=0,
(x,y)=0
例:设有曲线L: ,试求L的射影柱面,并用射影柱面方程表达
曲线.
解:从L的方程中分别消去x,y,z得到
z²-4y=4z,x²+z²=4z,x²+4z=0
它们即为L的射影柱面,而
(1),
(2),
(3)
便均是L的用射影柱面表达的方程
注:利用方程(2)即可作出L的草图
二 参数方程:
1.定义:设L为一空间曲线，r=r(t),t∈A为一元矢函数,在空间坐标系下，若对P∈L，
t∈A，使
=r（t），而且对
t∈A，必有P∈L，使r（t）=
，则称r=r（t），
t∈A为曲线L的矢量式参数方程，记作L=r=r（t），t∈A，t ——参数
若点r（t）={x（t），y（t），z（t）}
则称 t∈A
为L的坐标式参数方程
注：空间曲线的参数方程中，仅有一个参数，而曲面的参数方程中，有两个参数，所以习惯上，称曲线是单参数的，而曲面是双参数的。
2.求法：
例：一质点，在半径=a的圆柱面上，一方面绕圆柱面的轴作匀速转动，一方面沿圆柱面的母线方向作匀速直线运动，求质点的运动轨迹。
解：以圆柱面的轴作为z轴，建立直角坐标系{O；i，j，k}，如图，不妨设质点的起始点在x轴上，质点的角速率与线速率分别为ω。，ν。，质点的轨迹为L，则对∈L，
在x。y面上的投影为
′，
(图2.9)
r= =
+
=acos
i+asin
j+
k
若令，
=b，则
r=acos i+asin
j+b
k
————L的矢量式参数方程
而
————L的坐标式参数方程，L称为圆柱螺线。