§3 数量乘矢量

§3 数量乘矢量

 

定义1 设是一个数量，矢量与的乘积是一矢量，记作，其模等于的倍，即 ；且方向规定如下：当时，矢量的方向与的方向相同；当时，矢量是零矢量，当时，矢量的方向与的方向相反.

特别地，取，则矢量的模与的模相等，而方向相反，由负矢量的定义知： .

据矢量与数量乘积的定义，可导出数乘矢量运算符合下列运算规律：

定理2. 数量与矢量的乘法满足下面的运算律：

1、结合律 , (1.3-1)

2、分配律

, (1.3-2)

. (1.3-3)

证 1、显然，矢量、、的方向是一致，

且

= == .

2、分配律 如图1-11

 

 

 

 

 

一个常用的结论：

定理3. 若( 为数量 )，则矢量与向量平行，记作；反之，若矢量与矢量平行，则( 是数量).

简言之，.

设是非零矢量，用表示与同方向的单位矢量.

由于与同方向，从而与亦同方向，而且

,

即 .

我们规定：若， . 于是 .

这表明：一个非零矢量除以它的模是一个与原矢量同方向的单位矢量.

请注意：矢量之间并没有定义除法运算，因此决不能将式子改写成形式 .

十分显然，这种错误是受实数运算法则的"惯性作用"所造成.

例1 设AM是三角形ABC的中线，求证

.

证 如图1-12，

因为 ，

所以

但

因而 ，

即 .