【数学建模】公平席位的分配问题

基础

案列

某展会，AB双方根据人数分配席位：

衡量公平的数量指标：

　　p1/n1=p2/n2。此时对AB均公平。

　　p1/n1>p2/n2。此时对A不公平，因为对A放来说，每个席位相对应的人数比率更大。

绝对不公平度

定义：

　　p1/n1-p2/n2 = 对A的绝对不公平度

问题：

/*情况1*/
   p1=150, n1=10, p1 /n1=15
　　p2=100, n2=10, p2 /n2=10
/*情况2*/
　　p1=1050, n1=10, p1 /n1=105
　　p2=1000, n2=10, p2 /n2=100

两者对A的不公平度相同，但是很明显后者对A的不公平成都已经大大降低。

相对不公平度

定义：

　　

说明：由定义知对某方的不公平值越小，某方在席位分配中越有利，因此可以用使不公平值尽量小的分配方案来减少分配中的不公平

使用不公平值的大小确定分配方案：

　　设A, B已分别有n1 , n2 席，若增加1席，问应分给A, 还是B 不妨设分配开始时 p1 /n1> p2 /n2 ，即对A不公平。

　　分情况讨论：

　　1.

　　2.，说明此以一席给A后，对B不公平，则计算对B的不公平度。rB(n1+1,n2).

　　3.，说明此一席给B后,对A不公平,不公平值为，rA(n1,n2+1).

　　4.p1/n1<p2/n2+1，这种情况不可能出现。

　　上面的分配方法在第1和第3种情况可以确定新席位的分配，但在第2种情况时不好确定新席位的分配。用不公平值的公式来决定席位的分配，对于新的席位分配，若有

 　　

则应该增加给A一席，否则则应该增加给B一席。

提炼模型：

　　 ————>

引入公式：

 　　

　　于是知道增加的席位分配可以由Qk的最大值决定，且它可以推广到多个组的一般情况。用Qk的最大值决定席位分配的方法称为Q值法。