线性代数复习--矩阵的逆-初等变换-阶梯形-标准形

1、我们说矩阵的逆，是针对方阵（见下面wiki的定义）

给定一个 n 阶方阵 ，若存在一 n 阶方阵，使得 ，其中为 n 阶单位矩阵，则称是可逆的，且  是 的逆矩阵，记作。

若方阵的逆阵存在，则称为非奇异方阵或可逆方阵

（http://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%80%86%E7%9F%A9%E9%98%B5）

性质：

（1）矩阵的逆是唯一的

（2）如果A 可逆，数λ≠ 0 ，那么 (  A)^-1=  A^-1 ；

（3）如果A 可逆，那么,A ^T 也可逆，而且 ( A^T )^-1=( A^-1)^T ；

（4）如果A ，B 皆可逆，那么 AB 也可逆，且(AB) ^-1=B^-1A^-1

矩阵的初等变换

定义   下面三种变换称为矩阵的初等行变换：

1．   互换两行（记  ）；

2．   以数   乘以某一行（记 ）；

3．   把某一行的  倍加到另一行上（记 ） 

若将定义中的“行”换成“列”，则称之为初等列变换，初等行变换和初等列变换统称为初等变换。

定义   若矩阵  经有限次初等行变换变成矩阵 ，则称 与 行等价，记 ；

若矩阵  经有限次初等列变换变成矩阵 ，则称 与 列等价，记 ；

若矩阵  经有限次初等变换变成矩阵 ，则称 与 等价，记 。

 

阶梯形矩阵定义：一个矩阵中每个非零行的首元素（指该行第一个非零元素）出现在上一行首元素的右边，同时，没有一个非零行出现在全零行的下方，这样的矩阵称为阶梯形矩阵

定理：任何一个矩阵 A 都行等价于一个阶梯形矩阵。

简化阶梯形矩阵定义：一个阶梯形矩阵，如果它的每一非零行的首元素是 1 ，且首元素所在列的其余元素全是零，就称为简化阶梯形矩阵。

定理：任何一个矩阵行等价于一个简化阶梯形矩阵。

定理：任何一个非零矩阵 A ∈Mm × n （F ）可经过有限次初等变换化为下面形似的矩阵：    =   ,

1 ≤r ≤min(m,n), 它称为矩阵A 的标准形

推论：任意一个非零矩阵 A ∈Mm × n （F ） ，一定存在m 阶可逆阵P 和n 阶可逆阵Q ，使

PAQ=     ，其中  ，    是A 的标准形。

推论：设A ，B 均是m*n的矩阵,A 与B 等价的充要条件是 AB 有相同的标准形。

定理：设A 为n 阶矩阵，下列叙述等价：

1 、 A 是可逆阵；

2 、 A 行等价于单位阵 E ；

3  、A 可表示为一些初等矩阵的乘积。

参考：http://web.tongji.edu.cn/~math/xxds/kcja/kcja_a/kcja_a.htm（第1、2、3节）