2021年 B站1024程序节技术对抗赛

技术对抗赛

算法与安全答题

1. 给定有 n 瓶水和4只老鼠，n 瓶水中最多有1瓶有毒，老鼠喝了有毒的水之后（无论剂量）1天后就会死亡，问如果只给定一天的时间来测试哪一瓶水有毒，n 最大值为多少？

A. 9 B.12 C. 15 D.16

解题思路：

直觉来想这个问题，如果不限制一天时间，一个确定多瓶水中哪一瓶有毒的思路是通过2分法，每一次1只老鼠喝一半数量瓶数的水的混合成品后，即可定位一半瓶数的水是否有毒。这样，对于16瓶水来说，第一天定位到8瓶内，第二天定位到4瓶内，第三天定位到2瓶内，第四天过完后，定位到最终是哪一瓶有毒。这种方法，需要4天确定16瓶子水中哪一瓶有毒，最多需要4死只老鼠，最好的情况1只老鼠都不用死。

很明显，这种思路不符合题目只给一天的时间的要求。仔细审题，重点：“只给一天时间”，“老鼠喝到毒需要一天时间才能知道是否有毒”

老鼠喝水，要么死(1)，要么活(0)，也就是单独一只老鼠能提供的信息状态有 1或0 两个状态。此时最多只能用来检测1瓶水是否有毒。

两只老鼠，各自喝水，也是要么死要么活，此时两只老鼠能提供的信息状态为 4 个，因为此时要么都没死(11), 要么都没死(00), 要么一死一活(10 或 01)，这是两只老鼠喝水能够提供的最大信息状态数。如何设计实验，让老鼠喝水能在一天时间得到这些信息状态的可能呢？

尝试一：

我们给3瓶水编号 1,2,3. 第一只(A)喝1号，第二只老鼠(B)喝2号，然后等一天，两只都死(11)的情况是不可能的，因为这里最多有1瓶有毒；如果一死一活(10 或 01)，可以分别确定1号或2号有毒；如果两只都没死（00），那只能确定1和2没毒，但是3有没有毒由于没有老鼠去喝，所以不能确定3号有没有毒。换句话说，这个尝试的方案无法百分百确定3瓶水中，没被喝的那瓶水的情况。我们发现，这里(10)(01)(00) 三种信息状态被用于推理，而(11)这种信息状态被浪费了，2只老鼠是否死亡的情况能提供的4个信息状态，只用了3个。

尝试二：

我们可以给3瓶水编号 1,2,3. 从二进制看这个编号分别为 01,10,11. 如果我们把1号给第二只老鼠(B)喝，2号给第一只(A)，3号水同时给两只老鼠(AB)喝，

老鼠代号 A B

编号( 1) 0 1 给 B

编号( 2) 1 0 给 A

编号( 3) 1 1 给 AB

这样，如果 AB 都死了(11)，说明 3 号有毒，因为 3号都给了 AB；如果A死B没死(10)，说明 2 号有毒，因为 B 喝了1和3号，只有2号没喝；如果A没死B死(01)，说明 1号有毒，因为 A喝了2和3，只有 1 没喝；如果AB都没死(00)，则说明3瓶水都没毒，因为A喝了2和3，B喝了1和3，如果有其中任意一瓶有毒，AB一定有死的，所以只能说明每一瓶都没毒。

总结：

通过上面的设计，我们得到了这样一个方案，能够用上2只老鼠是否死亡的情况能提供的所有 4 个信息状态，1天之内，通过以恰当的方式给老鼠喝不同的水，通过每只老鼠是否死亡，可以明确确定 3 瓶水中是否全没毒，或哪一瓶水有毒。

可以看到，上面使用的这种 “恰当的方式” 为：将瓶子从1开始编号，从二进制的角度来看编号，每个二进制位对应一只老鼠（3个位数对应3只，4个位数对应4只），每瓶水给其编号中二进制数为 1的那一位老鼠喝，这样一天后，每一位老鼠的死和活对应于1和0，连起来构成的老鼠个数的位置的二进制数，即定位了唯一的那一瓶水。

不难发现，1只老鼠最多用来定位1瓶水的情况，2只老鼠最多定位 2^2-1=3瓶水的情况，3只老鼠最多定位2^3-1=7瓶水，4只老鼠最多定位 2^4-1=15瓶水的情况，n只老鼠最多定位 2^n-1瓶水的情况

网友评论：

有网友说为什么不可以是 16 瓶？

这里比需要搞清楚这个解决方案的本质，4只老鼠的生死(01)最多在1天时间内最多只能给出 2^4 = 16 种状态，其中 0000 表示的是每只老鼠都喝了，但是每一瓶都没有毒，所以没有老鼠死去。

注意这种情况并不多余，因为题目中说：最多有1瓶有毒 （不是必有一瓶毒药，而是可以都没毒，有毒的话也最多1瓶）.

如果给定 16 瓶水和4只老鼠的话，按照这个实验思路，4 个二进制位(4只老鼠), 0000~1111 这16个状态（对应 "没有1瓶有毒" 1种状态或 "瓶子编号1~15某一瓶有毒" 15种状态）位已经不足以承载 17 个信息量（"没有1瓶有毒" 1种状态或 "瓶子编号1~16某一瓶有毒" 16种状态），这时必然需要多 1 只老鼠这个解答思路才有可能。

2. 计算100到10000（包含10000）所有偶数相加结果。（本题由UP主@python学习者提供）
A: 20002550
B: 25002550
C: 20502550
D: 25002050

解题思路：100 + (10000+102)x(10000-100)/2/2

3.期末考试结束了，老师决定带学生们去卷饼店吃烤鸭饼。老师看到大饼和鸭子，搞了一个活动：每人可以拿走一张饼，谁卷到的食物美味程度总和最高，谁就能获得称号：卷王之王！Vita很想得到“卷王之王”称号，他的大饼可以装下大小总和不超过500的食物，现在有7块鸭肉和6根黄瓜，每份食物都有它的大小和美味程度。每块鸭肉的大小：85、86、73、66、114、51、99 每块鸭肉的美味程度：71、103、44、87、112、78、36 每根黄瓜的大小：35、44、27、41、65、38 每块黄瓜的美味程度：41、46、13、74、71、27 老师要求大饼里至少有一块鸭肉和一根黄瓜。请问，Vita卷到的食物美味程度总和最大是多少？（本题由UP主@小学生Vita君提供）

A. 593 B.612 C.496 D. 584

解题思路：01 背包算法（01背包问题之动态规划（通俗解释））

容器 500

鸭肉：85、 86、 73、66、114、51、99

美味： 71、103、44、87、112、78、36

黄瓜： 35、 44、 27、 41、 65、 38

美味： 41、 46、 13、 74、 71、 27

#include <vector>
#include <iostream>

//解决方案
class solution
{
public:
    solution(int value):totalValue(value) {}
    int totalValue;             //选择的物品的总价值
    std::vector<size_t> items;  //选择的物品的项
    int containerValue;         //容器容量
};

//构建网格
solution buildNet(const std::vector<size_t>& w, const std::vector<int>& v, size_t total)
{
    size_t row = w.size();      //可选择的物体数量
    size_t column = total;      //总容量

    std::vector<std::vector<solution>> net;
    net = std::vector<std::vector<solution>>(row+1, std::vector<solution>(column+1, 0));  //初始化多第一行和第一列，便于通用公式

    for (size_t r = 1; r <= row; ++r)
    {
        for (size_t c = 1; c <= column; ++c)
        {
            size_t weightCurrent = w[r - 1]; //当前物品重
            int valueCurrent = v[r - 1];  //当前物品价值
            if (weightCurrent <= c)       //如果单独放得下
            {
                int valueIncludeCurrent = valueCurrent + net[r - 1][c - weightCurrent].totalValue;
                if (valueIncludeCurrent > net[r - 1][c].totalValue) //加入当前物品价值更高，则更新方案
                {
                    net[r][c] = valueIncludeCurrent;

                    net[r][c].items = net[r - 1][c - weightCurrent].items; //得到之前的序列
                    net[r][c].items.push_back(r);                          //添加自己到序列后
                }
                else
                    net[r][c] = net[r - 1][c];
            }
            else
                net[r][c] = net[r - 1][c];
        }
    }

    net[row][column].containerValue = total;
    return net[row][column];
}

//打印选择的最佳方案
void printVector(const std::vector<size_t>& w, const std::vector<int>& v,const solution & s)
{
    std::cout << "Input: ";
    for (size_t i = 0; i < w.size(); ++i)
    {
        std::cout << w[i] << " (" << v[i] << ");" ;
    }
    std::cout << "Container: " << s.containerValue << std::endl;

    const std::vector<size_t>& items = s.items;
    int totalV = s.totalValue;

    size_t totalW = 0;
    size_t totalV2 = 0;
    for (auto r : items)
    {
        size_t w0 = w[r-1];
        int v0 = v[r-1];
        std::cout << w0 << " (" << v0 << ");" << std::endl;

        totalW += w0;
        totalV2 += v0;
    }
    std::cout << "Total: " << totalW << " (" << totalV << " -> check:" << totalV2 << ")";
    std::cout << std::endl << std::endl;
}

int main()
{
     std::vector<size_t> w2 = { 85, 86, 73, 66, 114, 51, 99 };
     std::vector<int> v2 = { 71,103,44, 87, 112, 78, 36 };
     solution duck = buildNet(w2, v2, 500);
     printVector(w2, v2, duck);

     std::vector<size_t> w3 = { 35, 44,  27,  41, 65, 38 };
     std::vector<int> v3 = { 41, 46, 13, 74, 71, 27 };
     solution cucumber = buildNet(w3, v3, 500);
     printVector(w3, v3, cucumber);

     std::vector<size_t> w4 = w2;  w4.insert(w4.end(), w3.begin(), w3.end());
     std::vector<int> v4 = v2; v4.insert(v4.end(), v3.begin(), v3.end());
     solution duckCucumber = buildNet(w4, v4, 500);
     printVector(w4, v4, duckCucumber);

    return 0;
}

算法实现参考