信号表示方法
连续时间信号形如以下式子
离散时间信号形如以下式子
其中连续时间信号的自变量是\(t\),是一个连续的时间值.
离散时间信号的自变量是\(n\),是一个整数,一个序号.
在习惯上,把连续时间信号的频率记做大写的\(\Omega\),把离散时间信号的频率记做小写的\(\omega\)
用集合符号表示
用集合表示形如以下式子
用大括号或者中括号,里面写函数的输出值.
括号里的值的顺序是按照\(n\)排放的.
其中\(n=0\)的取值要加上下划线.
用公式表示
形如以下式子
用图形表示
用一个二维坐标图画出图形
一些常用序列
单位脉冲序列
仅仅在\(n=0\)时,样值取\(1\),其他位置都取\(0\),符号为\(\delta(n)\).
用集合表示为\(\delta(x)=\{...0,\underline 1,0...\}\)
对若干个\(\delta(n)\)进行移位和加权(也就是加减乘除),然后再求和.可以表示任何序列
单位阶越序列
当\(n\in[0,\infty)\)时,样值取\(1\),其余位置都为\(0\),符号为\(u(n)\)
用集合表示为\(u(n)=\{...0,\underline1,1...\}\)
矩形序列
当\(n \in[0, N)\)时,样值取\(1\),其余位置都为\(0\),符号为\(R_N(n)\)
用集合表示为\(R_N=\{0,\underline 1,1,1\}\)
注意这里写多少个\(1\)取决于\(N\)的大小.第一个\(1\)是\(n=0\)的样值,最后一个\(1\)是\(n=N-1\)的样值.
实指数序列
实指数序列的公式是\(a^nu(n)\).其实就是一个指数函数乘一个阶越函数.
函数\(n<0\)的部分都是\(0\),右边则为指数函数的值
复指数序列
复指数序列的公式是
其中\(e^{\sigma n}\)是一个实指数序列,\(e^{j\omega_0 n}\)是一个虚指数序列,其中虚指数有以下性质
正弦序列
正弦序列公式是
这个序列的\(\frac{2\pi}{\omega_0}\)不一定是序列的周期,因为\(n\)只能取整数,实际画出来的图像不一定能在预想的归零位置取到值,所以实际周期不一定是这个.
周期序列
一个周期为\(N\)的序列满足以下公式
确定一个序列的周期
要判断一个序列有没有周期,周期是多少,步骤如下
- 计算\(\frac{2\pi}{\omega_0}\)
- 由\(\frac{2\pi}{\omega_0}\)计算周期\(N\)
- 如果\(\frac{2\pi}{\omega_0}\)是一个整数,那么他就是周期
- 如果\(\frac{2\pi}{\omega_0}\)是一个有理数,他化成最简表示为\(\frac{P}{Q}\),那么分子\(P\)就是周期
- 如果\(\frac{2\pi}{\omega_0}\)是一个无理数,那么他没有周期
如果一个序列是多个序列的和,形如\(x(n)=sin(an)+sin(bn)\),我们可以分别求出各个序列的周期,他能求和得到的序列的周期就是各个序列的周期的最小公倍数.
序列的运算符
加和乘
把两个序列的\(n=0\)点对其,然后在逐个样值进行加和乘即可.
例如:
移位
和函数类似,左加右减
翻转
就是把序列倒过来
尺度变换(抽样)
给\(n\)乘上一个数字,相当于是序列\(x(n)\)每隔\(m\)个点取一个值.