单位脉冲响应
单位脉冲响应\(h(n)\)是反映系统\(T[\cdot]\)特性的一个序列.不同的系统,单位脉冲响应不同.
单位脉冲响应就是系统输入一个单位脉冲信号之后的输出.
对于一个线性时不变系统而言,系统的输出可以看作是单位脉冲响应和输入信号的卷积\(y(n)=h(n)*x(n)\).
线性系统
系统的输入输出之间满足线性叠加性原理的系统称为线性系统,也就是满足下式
\[有一个系统T[\cdot]\\
若y_1(n)=T[a_1x_1(n)],y_2(n)=T[a_2x_2(n)]\\
那么T[a_1x_1(n)+a_2x_2(n)]=y_1(n)+y_2(n)
\]
例题
\[例1:
证明y(n)=x(n)+b是线性系统\\
y_1(a_1x_1(n))=a_1x_1(n)+b\\
y_2(a_2x_2(n))=a_2x_2(n)+b\\
y_1(a_1x_1(n))+y_2(a_2x_2(n))=a_1x_1(n)+a_2x_2(n)+2b\\
T[a_1x_1(n)+a_2x_2(n)]=a_1x_1(n)+a_2x_2(n)+b\\
T[a_1x_1(n)+a_2x_2(n)]\neq y_1(n)+y_2(n)\\
所以他不是线性系统\\
例2:证明y(n)=nx(n)是线性系统\\
y_1(a_1x_1(n))=na_1x_1(n)\\
y_2(a_2x_2(n))=na_2x_2(n)\\
y_1(a_1x_1(n))+y_2(a_2x_2(n))=na_1x_1(n)+na_2x_2(n)\\
T[na_1x_1(n)+na_2x_2(n)]=na_1x_1(n)+na_2x_2(n)\\
T[a_1x_1(n)+a_2x_2(n)]\neq y_1(n)+y_2(n)\\
所以他是线性系统
\]
时不变系统
系统对于输入输出信号的运算关系在整个系统中不随时间变化,也就是满足以下式子
\[有一个系统T[\cdot]\\
若y(n)=T[x(n)]\\
则y(n-n_0)=T[x(n-n_0)]
\]
例题
\[例1:证明y(n)=x(n)+b是时不变系统\\
y(n-n_0)=x(n-n_0)+b\\
T[x(n-n_0)]=x(n-n_0)+b\\
y(n-n_0)=T[x(n-n_0)]\\
所以系统是时不变系统
\]
序列卷积和
求序列卷积的公式如下
\[y(n)=x_1(n)*x_2(n)=\sum_{m=-\infty}^{+\infty}x_1(m)\cdot x_2(n-m)
\]
卷积符合交换律,结合律,分配律,如下
\[x_1(n)*x_2(n)=x_2(n)*x_1(n)\\
(x_1(n)*x_2(n))*x_3(n)=x_1(n)*(x_2(x)*x_3(n))\\
x_1(n)*(x_2(n)+x_3(n))=x_1(n)*x_2(n)+x_1(n)*x_3(n)
\]
系统的因果性和稳定性
因果性
系统的输出不发生在输入之前,比如如下系统有因果性
\[y(n)=ax(n)+b\\
y(n)=ax(n-1)+b
\]
如下系统的输出比输入超前,不具有因果性
\[y(n)=ax(n+1)+b
\]
线性时不变系统有因果性的充分必要条件
\[单位脉冲响应满足\\
当n<0时,h(n)=0
\]
稳定性
系统有界输入系统产生的输出也是有界的.
线性时不变系统具有稳定性的充分必要条件是系统的单位脉冲响应绝对可和,即
\[\sum_{n=-\infty}^{+\infty}|h(n)| < \infty
\]