https://mathcubic.org/article/article/index/id/401.html
如果你发现很难坚持自己的原则生活，请想想 20 世纪初数学家 Luitzen Egbertus Jan Brouwer（http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Brouwer.html）面临的困境。Brouwer 觉得自己不同意数学研究的方式。为了准确，许多数学都必须重新书写。保持沉默很容易，但 Brouwer 却宁愿接受挑战。他的努力并没有让他更受欢迎，他的想法也没有改变主流数学。但却播下了一颗至今仍让人们感兴趣的种子: 构造主义。
L. E. J. Brouwer, 前排左数第三，摄于 1932 年苏黎世国际数学家大会上
（https://en.wikipedia.org/wiki/International_Congress_of_Mathematicians）
什么是数学？
Brouwer 的疑虑来源于他对数学起源的看法。当时（乃至今天）许多数学家认为：数学独立于人类而存在于某种柏拉图（https://en.wikipedia.org/wiki/Platonism）式的永恒真理中，我们要用头脑去探索它。当时的另一个著名学派——形式主义学派（https://en.wikipedia.org/wiki/Formalism_(philosophy_of_mathematics）则把数学与直觉剥离，并把数学变成了纯粹逻辑的游戏。这在 Brouwer 看来毫无意义。
Brouwer 认为，数学既不独立于我们，也不是一个我们可以随意改变规则的无意义游戏。对他来说，数学是一种源于我们直觉的人类创造。他认为：通过我们对时间流逝的感知，一刻接着一刻，我们形成了对自然数 1,2,3,… 和无穷大的直觉。和其他著名的数学家一样，Brouwer 相信自然数是构造所有数学的基础。因此，所有的数学对象和数学论证都应该被看作是我们基于直觉建立在自己内心深处的心智结构。Brouwer 认为，逻辑并不是这些心智结构的本质，而是和语言一起作为人们与内心沟通的工具。
非构造性证明
虽然看起来深奥，但 Brouwer 的直觉主义观点对数学有着很深刻的影响。如果数学的研究对象是心智结构，那么证明某个特定数学对象的存在性的唯一方法就是用心智想出一种构造方式，根据 Brouwer 的说法，“人类心智之外不存在数学实义”，如果你不能在脑海中构建一个对象，那么它就缺乏真实性。然而，许多数学证明并没有做到这一点：它们通过逻辑的必然性表明了某些东西存在，但却没有告诉你如何找到它。
这种非构造性的证明就像魔术一样，但也会让你觉得被欺骗了。一个特别巧妙的例子是证明存在 b 两个无理数使得
是有理数。从考虑数字
开始。如果这是一个有理数，那么令 b=2，那么，
是有理数，同样找到了满足要求的两个无理数。
尽管它很优雅，但是这个证明不能告诉我们哪对数字——b 的值到底是哪个，那么这个证明会让你陷入绝路。
排中律
Brouwer 认为，是人类对时间的感知促生了对自然数的直觉。
在这个证明中还隐藏着 Brouwer 所拒绝的另一个原则，称为排中律。假设 x 是无理数”）这个命题总是正确的，即使你不知道两个中哪一个是正确的。这是合理的，如果其中某个不正确，那么另一个一定是正确的，但这让人很不满意。如果我告诉你，要么我明天来看你，要么我不来，你是不能责怪我撒谎的，但你却会很生气。
直觉主义者认为命题 “x 是无理数”这样的空洞叙述来建立数学证明，也不应该依据“要么我明天来看你，要么我不来”这样的无意义陈述来安排你的生活。
排中律为数学家们提供了他们几乎每天都使用的基础技巧：反证法，通过证明命题 http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/history/Biographies/Hilbert.html ）在 1928 年所说：“不让数学家使用排中律，就好比不让天文学家使用望远镜，不让拳击手使用拳头一样。”
然而，在 Brouwer 看来，排中律过时了，就好比在人类文明史上曾相信 π 是有理数或相信宇宙是绕地球旋转的一样。他和他的追随者通过修订逻辑法则来反映他们的思想，并利用直觉推动数学的发展。今天，我们用 “直觉主义” 一词来指代 Brouwer 特有的构造主义流派：这是一个反对排中律、要求所有数学对象都必须被明确构造的思想学派。
是不是零？
乍一看，构造主义方法产生的一些结果让人吃惊。考虑一个在普通数学中我们认为绝对正确的命题：“每个实数 x，当可以完全确定它属于哪种情况时，构造主义者才会同意这个命题是正确的。但实数可以是无限小数。既然人们不可能对这样的无限小数作出判断，那么这种说法确实值得怀疑。
为了把这个想法解释清楚，Brouwer 找到了一种用某些尚未解决的数学问题来定义实数的方法，这些问题困扰了最优秀数学家们几十年甚至几百年。给定这样一个未被证明的数学猜想，Brouwer 定义一个相应的实数：如果猜想为真，则该实数为零，否则不为零（参考下面文本框里的例子）。由于我们还不知道这个猜想是真还是假，而且可能很长一段时间都不知道，所以我们肯定不能说这个实数是否等于零。因此 “每个实数 0” 的表述，以及由此引申的排中律，即为 Brouwer 所说的“不存在数学实义”。
证明每个实数要么是 0，届时该实数就不再是反例。但此时，仍然有其他的反例，即与某些未解决的问题对应的实数。
没有排中律，就不能假设一个数字是 https://plus.maths.org/content/paradise）中找答案。
一个弱反例
哥德巴赫猜想（https://plus.maths.org/content/mathematical-mysteries-goldbach-conjecture）断言，每一个大于 0 。
| 作者简介: | Marianne Freiberger，Editor of Plus. |
| 译者简介: | 杨艳秋，吉林师范大学数学学院副教授 |
| 伯丽萍，吉林师范大学，数学与应用数学专业三年级 | |
| 校订 | 张浩，博士毕业于中国科学院大学基础数学专业，现从事基础教育工作。 |
| 原文链接: | https://plus.maths.org/content/intuitionism |