浅谈图论（三）——最小生成树

写在前面：今天突然发现还没有写过最小生成树的博客，然后调堆优化prim板子好久才调出来……赶紧写篇博客来保命。

 

一、最小生成树概念：

在一个n个点的有向图中，选取n-1条边使所有顶点两两联通，那么这个边集叫做这个图的一个生成树

在所有的生成树中，边权和最小的那一个叫做图的最小生成树。

二、Kruskal算法

求图的最小生成树的常用方法有两种，Kruskal和Prim

kruskal算法的步骤如下：

（1）将所有边按边权从小到大排序

（2）选取一条边权最小且两顶点未联通的边并把它连上

（3）重复步骤2，直到连上了n-1条边为止；若所有的边都找完仍未连n-1条边，则图不连通

看图：

 

我们对该图进行Kruskal算法：

（1）选取一条边权最小且两顶点未联通的边并把它连上

即边1→2

重复以上步骤：

下面我们找到最短的边是2→4

我们要连它吗？

不要！

因为点2和点4已经联通，如果再连就会形成环，显然不是最优解。

我们将它跳过，选取2→3

已选取n-1条边，算法结束。红色边即为图的最小生成树

以上判断两点是否联通可以用并查集来实现

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;

inline int read()
{
    int f=1,x=0;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-') f=-1; ch=getchar();}
    while(ch>='0' && ch<='9') {x=x*10+ch-'0'; ch=getchar();}
    return x*f;
}

struct node
{
    int u,v,w;
}r[400005];

bool cmp(node a,node b)
{
    return a.w<b.w;
}

int n,m,cnt,ans;
int f[5005];
int i,j;

int f_ancestor(int x)
{
    return x==f[x] ? x : f[x]=f_ancestor(f[x]);
}

int main()
{
    n=read(); m=read();
    for(i=1;i<=n;i++) f[i]=i;
    for(i=1;i<=m;i++)
    {
        r[i].u=read();
        r[i].v=read();
        r[i].w=read();
        r[i+m].v=r[i].u;
        r[i+m].u=r[i].v;
        r[i+m].w=r[i].w;
    }
    m*=2;
    sort(r+1,r+m+1,cmp);
    for(i=1;i<=m;i++)
    {
        int f1=f_ancestor(r[i].u),f2=f_ancestor(r[i].v);
        if(f1!=f2)
        {
            f[f2]=f1;
            cnt++;
            ans+=r[i].w;
        }
        if(cnt==n-1) break;
    }
    if(cnt==n-1) printf("%d",ans);
    else printf("orz");//图不连通
    return 0;
}

Kruskal