什么？Floyd？sb O(n ^ 3) 算法早不用了，右上角红叉吧。
我之前虽然也认识过 Floyd 算法的重要性，不过多少也是这么想的。
然而最近三天连续 rand 到了好几道有关的题目，让我彻底重新审视了 Floyd —— 既然能够作为一个重要的算法流传至今，那自有他的重要之处。
Floyd 是一个求解所有点对间的最短路算法，也可能是绝大多数人接触的最早的最短路算法。它适用于无负权边的图，时间复杂度约为 O(n ^ 3) 。因为时间复杂度太高了，所以也是很多人起初都对它有些成见的原因，再加上任意点对间最短路用的又少，会误认为这个算法后期就一无是处了。
众所周知，Floyd 的本质是动态规划。对于每一对顶点 u 和 v，看看是否存在一个顶点 w 使得从 u 到 w 再到 v 比己知的路径更短。如果是就更新它。正是由于这个动态规划思想的精髓所在，以及一层层更新的特性，使得 Floyd 大有用武之地。
废话不多说了，反正四行的 Floyd 没人不会……
万恶之源那天，我正在 Luogu 愉快地随机跳题，于是就 rand 到了 P2103 道路值守。
很开心，这不就是个最短路计数？正巧前一天就 A 了一道类似的题，很快就敲出来准备 AC 了。结果嘛……
怎么办，蒟蒻 Nanjo_Qi 瞬间就没有思路了，于是只能求助题解。
结果是个用到 Floyd 的题目。
Floyd 的重要特性是：全面枚举，有序更新。
Floyd题：https://www.luogu.org/problemnew/show/P2103。
这个也是：https://www.luogu.org/problemnew/show/P1476。
这个也是：https://www.luogu.org/problemnew/show/P1119。
P2103 道路值守：
利用 Floyd 层层松弛更新，以及循环遍历所有点对的特性，完全无需考虑时间复杂度；
首先求出所有点对间最短路，然后枚举寻找那些可以作为方案数加入的点（另一条与最短路长度相等，或中途汇入最短路的道路，以此形成可行方案），分别在每个汇入点记录，最后累计。
1 #include <queue> 2 #include <cstdio> 3 #include <cstring> 4 #include <algorithm> 5 using namespace std; 6 7 const int maxn = 500 + 10; 8 int n, m, g[maxn][maxn], dis[maxn][maxn], method[maxn][maxn]; 9 10 int main(int argc, char const *argv[]) 11 { 12 memset(dis, 0x3f, sizeof dis); 13 scanf("%d%d", &n, &m); 14 for(int i = 1; i <= m; ++i) { 15 int u = 0, v = 0, w = 0; 16 scanf("%d%d%d", &u, &v, &w); 17 dis[u][v] = dis[v][u] = g[u][v] = g[v][u] = w; 18 } 19 for(int i = 1; i <= n; ++i) dis[i][i] = 0; 20 for(int k = 1; k <= n; ++k) 21 for(int i = 1; i <= n; ++i) 22 for(int j = 1; j <= n; ++j) 23 dis[i][j] = min(dis[i][j], dis[i][k] + dis[k][j]); 24 25 for(int i = 1; i <= n; ++i) { 26 int tmp[maxn] = {0}; 27 for(int j = 1; j <= n; ++j) if( i != j && dis[i][j] != dis[0][0] ) 28 for(int k = 1; k <= n; ++k) if( g[k][j] ) 29 if( dis[i][j] == dis[i][k] + g[k][j] ) ++tmp[j]; 30 31 for(int j = 1; j <= n; ++j) if( i != j ) 32 for(int k = 1; k <= n; ++k) 33 if( dis[i][j] == dis[i][k] + dis[k][j] ) method[i][j] += tmp[k]; 34 } 35 36 for(int i = 1; i <= n; ++i) 37 for(int j = i + 1; j <= n; ++j) 38 printf("%d ", method[i][j]); 39 40 // printf("_______________________________________________\n"); 41 // printf("Process Exited Correctly With A Return Value 0.\n"); 42 // printf("All Rights Reserved By Kimitsu Nanjo In 2018.\n\n"); 43 return 0; 44 }