【原】费马小定理(Fermat little theorem)详解

Fermat定理：

    如果P是任意一个不能整除整数a的素数，则 

之后我会展示一些用到这一经典定理的算法。

 

例如：

， 等等

 

证明：

考虑a的倍数：  

(1) 证明这些整数中任意两个都不能模p同余。

     反证法：假设  ，即

    

     这不可能，因为p为素数且s-r<p，p不能整除a，所以p不可能是(s-r)a的因子。得证结论。

(2) 证明这些数中没有一个能和0同余。

     证明：因为1, …, (p-1)都小于p，且p为素数，p不能整除a，因此p不能整除 。

(3) , 当且仅当d为素数，则 或

 

由(1)和(2)可得， 必须对应于余数1, 2, 3, …, (p-1)。根据同余式乘法性质可得：

                          

 

由(3)可知，因为k不能整除p，且p为素数，所以 必须被p整除，即得费马小定理

 

需要注意的是：

1. 费马定理是，已知素数p，得到 。但是已知 并不能确定p是素数。

2. 若 ，则p一定为合数（费马定理的逆反命题）。