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对于递推式【失踪人口回归】斐波那契数列通项的推导(略去显然的边界情况

 

我们有生成函数【失踪人口回归】斐波那契数列通项的推导

通过一个变形得到

【失踪人口回归】斐波那契数列通项的推导

再变

【失踪人口回归】斐波那契数列通项的推导

三式相减

【失踪人口回归】斐波那契数列通项的推导

那么【失踪人口回归】斐波那契数列通项的推导

到此我们有一个简洁的结果。对于生成函数的基本应用手段,我们应该将其展开成简单的幂级数形式。

幸运的是我们有

【失踪人口回归】斐波那契数列通项的推导

如果有两个类似的形式,就有可能凑出我们想要的【失踪人口回归】斐波那契数列通项的推导

问题现在变得非常简单

【失踪人口回归】斐波那契数列通项的推导

【失踪人口回归】斐波那契数列通项的推导

幸于多项式恒等定理的正确性,稍有数学基础的人都能很快的想出a,b的解法

那么我们有【失踪人口回归】斐波那契数列通项的推导

同样的,我们得到【失踪人口回归】斐波那契数列通项的推导

回到幂级数展开

【失踪人口回归】斐波那契数列通项的推导

此时其实结果已经得到,就是【失踪人口回归】斐波那契数列通项的推导

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