谈谈超平面（hyperplane）

转自：谈谈超平面（hyperplane）

有些东西，还是说清楚的好，比如超平面（hyperplane）这个东西。

直线、平面

在说超平面之前，先说说 ，满足

的点  决定了该直线的方向。如图1所示：

 

图1：line figure illustration

相对的，给定 ，满足

的点  均是标量。如图2所示：

 

图2：plane figure illustration

更一般的，给定 ，满足

的点  空间的一个k维仿射子空间（k-dimensional affine subspace）。因此，一条直线就是一个1维仿射子空间，一个平面就是一个2维仿射子空间。

 

超平面

假设  满足等式

其中  不为0，则

设 ，则点集i可以表示为

这其实是一条经过点 ，则（1）式可以表示为

进一步，取 ，则（2）式可以表示为

从式（3）可以看出， 正交的点。

 

说了这么多，现在来给出超平面的定义：给定 。满足

的点集 ，则（4）式可以表示为

其中，

 

上的投影，如图（3）所示。根据

我们即可以求得  到超平面的距离。

图3：q到超平面H的距离