题目描述
克里特岛以野人群居而著称。岛上有排列成环行的M个山洞。这些山洞顺时针编号为1,2,…,M。岛上住着N个野人，一开始依次住在山洞C1,C2,…,CN中，以后每年，第i个野人会沿顺时针向前走Pi个洞住下来。
每个野人i有一个寿命值Li，即生存的年数。
下面四幅图描述了一个有6个山洞，住有三个野人的岛上前四年的情况。三个野人初始的洞穴编号依次为1，2，3；每年要走过的洞穴数依次为3，7，2；寿命值依次为4，3，1。
奇怪的是，虽然野人有很多，但没有任何两个野人在有生之年处在同一个山洞中，使得小岛一直保持和平与宁静，这让科学家们很是惊奇。他们想知道，至少有多少个山洞，才能维持岛上的和平呢？
输入格式
第1行为一个整数N(1<=N<=15)，即野人的数目。
第2行到第N+1每行为三个整数Ci, Pi, Li (1<=Ci,Pi<=100, 0<=Li<=106 )，表示每个野人所住的初始洞穴编号，每年走过的洞穴数及寿命值。
输出格式
仅包含一个数M，即最少可能的山洞数。输入数据保证有解，且M不大于10^6。
输入输出样例
3
1 3 4
2 7 3
3 2 1
输出 #1
6
说明/提示
对于50% 的数据：N 的范围是[1…1,000]。
对于另外50% 的数据：N 的范围是[1…100,000]。
对于100% 的数据：C 的范围是[1…1,000,000,000]，N 个整数中每个数的范围是：[0…1,000,000,000]。
其实这道题的做法还是比较暴力的，以有野人的居住的山洞的最大编号作为初始的山洞数，从这里开始搜索：如果此时的山洞数符合条件就直接输出，否则山洞数加一。至于判断的过程，就是很暴力的枚举任意两个野人。我们假设经过若干年后有两个野人处在了同一个山洞中，设i,j为野人编号，m为此时判断的山洞数，x为经过了多少年。那么就很容易得到
c[i]+x*p[i]≡c[j]+x*p[j](mod m)
稍稍变形得
(p[i]-p[j])*x≡c[j]-c[i](mod m)
那这不就是一个简单的线性同余方程嘛！
接下来就好办多了，用拓展欧几里得算法解出x，若无解（即c[j]-c[i]不是gcd(p[i]-p[j],m)的整数倍），那就说明这个山洞数满足“没有任何两个野人处在同一个山洞中”的条件，继续枚举其他野人；若有解，那还要再分两种情况：
-
解得的x>min(l[i],l[j])，即此时两个野人至少已经die了一个了，那么活野人和死野人处不处在同一个山洞已经无所谓了，不碍事，继续枚举！
-
解得的x<=min(l[i],l[j])，那没办法，两个野人都活着，却还处在同一个山洞里，说明这个山洞数不符题意，直接返回false。
然鹅这道题还不能就这样轻易的AC掉，注意：由于p[i]-p[j]有可能为负，所以gcd(p[i]-p[j],m)也有可能为负，那么在拓展欧几里得算法中求解x时，一定要注意将m/(gcd(m,p[i]-p[j]))带上abs()！
![]()
1 #include<bits/stdc++.h>
2 using namespace std;
3 const int N=16;
4 int n,Max;
5 int c[N],l[N],p[N];
6 inline int read()
7 {
8 int x=0,f=1;
9 char ch=getchar();
10 while(ch<'0'||ch>'9')
11 {
12 if(ch=='-') f=-1; ch=getchar();
13 }
14 while(ch>='0'&&ch<='9')
15 {
16 x=x*10+ch-'0'; ch=getchar();
17 }
18 return x*f;
19 }
20 inline int max(int a,int b)
21 {
22 return a>b ?a:b;
23 }
24 inline int min(int a,int b)
25 {
26 return a<b ?a:b;
27 }
28 void print(int x)
29 {
30 if(x<0){putchar('-');x=-x;}
31 if(x>9) print(x/10);
32 putchar(x%10+'0');
33 }
34 int gcd(int x,int y)
35 {
36 if(y==0) return x;
37 else return gcd(y,x%y);
38 }
39 void exgcd(int a,int b,int &d,int &x,int &y)
40 {
41 if(!b){x=1;y=0;d=a;}
42 else
43 {
44 exgcd(b,a%b,d,x,y);
45 int t=x;x=y;y=t-a/b*y;
46 }
47 }//拓展欧几里得算法
48 inline bool judge(int m)
49 {
50 int a,b,C,x,y,d;
51 for(int i=1;i<=n;i++)
52 {
53 for(int j=i+1;j<=n;j++)
54 {
55 a=p[i]-p[j];b=m;C=c[j]-c[i];
56 if(C%gcd(a,b)!=0) continue;//若无解
57 exgcd(a,b,d,x,y);
58 x=((x*C/d)%(abs(b/d))+abs(b/d))%(abs(b/d));//注意abs()
59 if(x<=min(l[i],l[j])) return false;//若不符题意则直接返回false
60 }
61 }
62 return true;//当所有野人都枚举完后再返回true
63 }
64 int main()
65 {
66 n=read();
67 for(int i=1;i<=n;i++)
68 {
69 c[i]=read();p[i]=read();l[i]=read();
70 Max=max(Max,c[i]);//有野人居住的山洞的最大编号
71 }
72 for(int i=Max;;i++)
73 {
74 if(judge(i))
75 {
76 print(i);
77 puts("");
78 break;
79 }
80 }
81 return 0;
82 }
思想就是这么简单，但是代码实现起来有些细节需要小心