第二章 随机变量及其分布3

§2.4 连续型随机变量

 

1. 定义2.2

 

设随机变量X的分布函数为F(),如果存在一个非负可积函数f(),使对任意的实数，均有

F()= (2.20)

则称X是连续型随机变量，称f()是X的概率密度或密度函数，简称密度。

 

二、图形

例如：正态分布

 

密度函数图形：

 

data normal;

do i=-3 to 3 by 0.01;

z0=exp(-i**2/2)/sqrt(2*(3.1415926));

output;

end;

run;

 

proc gplot data=normal;

plot z0*i=1 ;

symbol1 v=none i=join r=1 c=black;

run;

 

分布函数图形：

 

data normal;

do x=-3 to 5 by 0.01;

y=PROBNORM(x);

output;

end;

run;

 

proc gplot data=normal;

plot y*x=1 ;

symbol1 v=none i=join r=1 c=black;

run;

 

 

三、性质

 

性质1 f()0 (2.21)

 

性质2 (2.22)

 

性质3 P(a<Xb)=F(b)-F(a)

= (2.23)

 

性质4 在f()的连续点处，有

= (2.24)

 

性质5 在f()的连续点处，当>0,且很小时，有

P(<X)= +

 

几点说明：

1. 由5可以看出f()值的大（小）反映R.V.X在邻域概率的大（小）。
2. 连续型随机变量X取任一点₀的概率为零。即：P(X=₀)=0。
3. 连续型随机变量X的密度函数为f(),则它取值于区间（a,b）、（a,b]、[a,b）、[a,b]上的概率都相等，即

同理，。

4．连续型R.V.X的F()是连续函数。但f()不一定是连续的。

 

例1：（P51）设计R.V.X具有概率密度

 

确定常数K,并求P{X>0.1}

 

指数分布：

 

 

 

 

例：(第一版)设R.V.

(1)确定常数A；(2)写出X的分布函数F(); (3)P。

 

例：(第一版) 已知随机变量

1. 确定A和B；（2）求；(3)求

 

二、均匀分布

 

例：设R.V.，称X在[,b]上服从均匀分布。（1）确定k。（2）求P(a<Xa+s)(a<a<a+s<b)。(3)写出X的分布函数F()。

定义：若随机变量X的概率密度为

则称X在[]上服从均匀分布，记为X～U[a,b],相应的分布函数为

 

一般地，设是轴上一些不相交的区间之和，若的概率密度为

则称X在D上服从均匀分布。

如果，则对于满足的任意的,有 = (2.32)

 

三、指数分布

若随机变量X的概率密度为

（2.33）

其中常数，则称X服从参数为l的指数分布，相应的分布函数为

(2.34)

 

 

例：（第一版书上例2.12） 经过长期的观测，对某些电子元件的寿命可作如下假定：在已使用了th的条件下，在以后的Dth内损坏的概率为，其中l是不依赖于t的常数；电子元件寿命为零的概率是零，求电子元件在内损坏的概率。略

 

四、正态分布

 

1、定义： 若随机变量X的概率密度为

, (2.35)

其中都为常数且，则称X服从参数为的正态分布，记为，有时也简称X为正态随机变量。X的分布函数为

（2.36）

1. 验证

1. 作出的图形

    ，得驻点，

    得，

    

 

 

 

作图SAS程序：

 

data normal;

do i=-3 to 3 by 0.01;

z0=exp(-i**2/2)/sqrt(2*(3.1415926));

output;

end;

run;

 

proc gplot data=normal;

plot z0*i=1 ;

symbol1 v=none i=join r=1 c=black;

run;

 

 

 

注意：一定要和由正态随机数区别开来。如下面产生的是正态随机数。

 

 

data normal;

retain _seed_ 0;

do _i_ = 1 to 1000;

z = 0 + 1 * rannor(_seed_);

output;

end;

drop _seed_ ;

 

run;

 

proc gplot data=normal;

plot z*_i_=1 ;

symbol1 v=none i=join r=1 c=black;

run;

 

 

 

1. 性质：
   1. f(x)的图形是关于直线x=m对称的曲线
   2. 为最大值，当x远离m时，f(x)®0
   3. 当m固定而s变化时对图形的影响，s小

大，分布曲线在形成陡峭的高峰。

s大小，分布曲线在变成缓峰。

 

m=2, s=0.5, 1, 2

 

data normal;

do i=-2 to 6 by 0.01;

z0=exp(-(i-2)**2/2)/sqrt(2*(3.1415926));

z1=exp(-(i-2)**2/(2*0.25))/(0.5*sqrt(2*(3.1415926)));

z2=exp(-(i-2)**2/(2*4))/(2*sqrt(2*(3.1415926)));

output;

end;

proc gplot data=normal;

plot z0*i=1 z1*i=1 z2*i=1 /overlay ;

symbol1 v=none i=join r=1 c=black;

run;

 

m=2, s=0.5, 1, 2, 5, 10图形：

 

 

data normal;

do i=-5 to 9 by 0.01;

z0=exp(-(i-2)**2/2)/sqrt(2*(3.1415926));

z1=exp(-(i-2)**2/(2*0.25))/(0.5*sqrt(2*(3.1415926)));

z2=exp(-(i-2)**2/(2*4))/(2*sqrt(2*(3.1415926)));

z3=exp(-(i-2)**2/(2*25))/(5*sqrt(2*(3.1415926)));

z4=exp(-(i-2)**2/(2*100))/(10*sqrt(2*(3.1415926)));

output;

end;

run;

 

proc gplot data=normal;

plot z0*i=1 z1*i=1 z2*i=1 z3*i=1 z4*i=1 /overlay ;

symbol1 v=none i=join r=1 c=black;

run;

 

1. 当s固定而当m变化时对图形的影响是分布曲线形状不变，仅曲线左、右平移。

 

如图：s=1, m=0, 2

 

data normal;

do i=-3 to 5 by 0.01;

z0=exp(-i**2/2)/sqrt(2*(3.1415926));

z1=exp(-(i-2)**2/2)/sqrt(2*(3.1415926));

 

 

output;

end;

run;

 

proc gplot data=normal;

plot z0*i=1 z1*i=1/overlay ;

symbol1 v=none i=join r=1 c=black;

run;

 

 

分布函数图：

 

data normal;

do x=-5 to 10 by 0.01;

y=PROBNORM(x);

output;

end;

run;

 

proc gplot data=normal;

plot y*x=1 ;

symbol1 v=none i=join r=1 c=black;

run;