(转)前缀、中缀、后缀表达式

关键字：概念, 前缀表达式, 前缀记法, 中缀表达式, 中缀记法, 波兰式, 后缀表达式, 后缀记法, 逆波兰式

它们都是对表达式的记法，因此也被称为前缀记法、中缀记法和后缀记法。它们之间的区别在于运算符相对与操作数的位置不同：前缀表达式的运算符位于与其相关的操作数之前；中缀和后缀同理。

举例：
(3 + 4) × 5 - 6 就是中缀表达式
- × + 3 4 5 6 前缀表达式
3 4 + 5 × 6 - 后缀表达式

中缀表达式（中缀记法）
中缀表达式是一种通用的算术或逻辑公式表示方法，操作符以中缀形式处于操作数的中间。中缀表达式是人们常用的算术表示方法。
虽然人的大脑很容易理解与分析中缀表达式，但对计算机来说中缀表达式却是很复杂的，因此计算表达式的值时，通常需要先将中缀表达式转换为前缀或后缀表达式，然后再进行求值。对计算机来说，计算前缀或后缀表达式的值非常简单。

前缀表达式（前缀记法、波兰式）
前缀表达式的运算符位于操作数之前。

由前缀表达式的计算机求值：
从右至左扫描表达式，遇到数字时，将数字压入堆栈，遇到运算符时，弹出栈顶的两个数，用运算符对它们做相应的计算（栈顶元素 op 次顶元素），并将结果入栈；重复上述过程直到表达式最左端，最后运算得出的值即为表达式的结果。
例如前缀表达式“- × + 3 4 5 6”：
(1) 从右至左扫描，将6、5、4、3压入堆栈；
(2) 遇到+运算符，因此弹出3和4（3为栈顶元素，4为次顶元素，注意与后缀表达式做比较），计算出3+4的值，得7，再将7入栈；
(3) 接下来是×运算符，因此弹出7和5，计算出7×5=35，将35入栈；
(4) 最后是-运算符，计算出35-6的值，即29，由此得出最终结果。
可以看出，用计算机计算前缀表达式的值是很容易的。

将中缀表达式转换为前缀表达式：
遵循以下步骤：
(1) 初始化两个栈：运算符栈S1和储存中间结果的栈S2；
(2) 从右至左扫描中缀表达式；
(3) 遇到操作数时，将其压入S2；
(4) 遇到运算符时，比较其与S1栈顶运算符的优先级：
(4-1) 如果S1为空，或栈顶运算符为右括号“)”，则直接将此运算符入栈；
(4-2) 否则，若优先级比栈顶运算符的较高或相等，也将运算符压入S1；
(4-3) 否则，将S1栈顶的运算符弹出并压入到S2中，再次转到(4-1)与S1中新的栈顶运算符相比较；
(5) 遇到括号时：
(5-1) 如果是右括号“)”，则直接压入S1；
(5-2) 如果是左括号“(”，则依次弹出S1栈顶的运算符，并压入S2，直到遇到右括号为止，此时将这一对括号丢弃；
(6) 重复步骤(2)至(5)，直到表达式的最左边；
(7) 将S1中剩余的运算符依次弹出并压入S2；
(8) 依次弹出S2中的元素并输出，结果即为中缀表达式对应的前缀表达式。（相当于S1中序列的逆序）
例如，将中缀表达式“1+((2+3)×4)-5”转换为前缀表达式的过程如下：

扫描到的元素	S2(栈底->栈顶)	S1 (栈底->栈顶)	说明
5	5	空	数字，直接入栈
-	5	-	S1为空，运算符直接入栈
)	5	- )	右括号直接入栈
4	5 4	- )	数字直接入栈
×	5 4	- ) ×	S1栈顶是右括号，直接入栈
)	5 4	- ) × )	右括号直接入栈
3	5 4 3	- ) × )	数字
+	5 4 3	- ) × ) +	S1栈顶是右括号，直接入栈
2	5 4 3 2	- ) × ) +	数字
(	5 4 3 2 +	- ) ×	左括号，弹出运算符直至遇到右括号
(	5 4 3 2 + ×	-	同上
+	5 4 3 2 + ×	- +	优先级与-相同，入栈
1	5 4 3 2 + × 1	- +	数字
到达最左端	5 4 3 2 + × 1 + -	空	S1中剩余的运算符

因此结果为“- + 1 × + 2 3 4 5”。

后缀表达式（后缀记法、逆波兰式）
后缀表达式与前缀表达式类似，只是运算符位于操作数之后。

后缀表达式的计算机求值：
与前缀表达式类似，只是顺序是从左至右：
从左至右扫描表达式，遇到数字时，将数字压入堆栈，遇到运算符时，弹出栈顶的两个数，用运算符对它们做相应的计算（次顶元素 op 栈顶元素），并将结果入栈；重复上述过程直到表达式最右端，最后运算得出的值即为表达式的结果。
例如后缀表达式“3 4 + 5 × 6 -”：
(1) 从左至右扫描，将3和4压入堆栈；
(2) 遇到+运算符，因此弹出4和3（4为栈顶元素，3为次顶元素，注意与前缀表达式做比较），计算出3+4的值，得7，再将7入栈；
(3) 将5入栈；
(4) 接下来是×运算符，因此弹出5和7，计算出7×5=35，将35入栈；
(5) 将6入栈；
(6) 最后是-运算符，计算出35-6的值，即29，由此得出最终结果。

将中缀表达式转换为后缀表达式：
与转换为前缀表达式相似，遵循以下步骤：
(1) 初始化两个栈：运算符栈S1和储存中间结果的栈S2；
(2) 从左至右扫描中缀表达式；
(3) 遇到操作数时，将其压入S2；
(4) 遇到运算符时，比较其与S1栈顶运算符的优先级：
(4-1) 如果S1为空，或栈顶运算符为左括号“(”，则直接将此运算符入栈；
(4-2) 否则，若优先级比栈顶运算符的高，也将运算符压入S1（注意转换为前缀表达式时是优先级较高或相同，而这里则不包括相同的情况）；
(4-3) 否则，将S1栈顶的运算符弹出并压入到S2中，再次转到(4-1)与S1中新的栈顶运算符相比较；
(5) 遇到括号时：
(5-1) 如果是左括号“(”，则直接压入S1；
(5-2) 如果是右括号“)”，则依次弹出S1栈顶的运算符，并压入S2，直到遇到左括号为止，此时将这一对括号丢弃；
(6) 重复步骤(2)至(5)，直到表达式的最右边；
(7) 将S1中剩余的运算符依次弹出并压入S2；
(8) 依次弹出S2中的元素并输出，结果的逆序即为中缀表达式对应的后缀表达式（转换为前缀表达式时不用逆序）。（相当于s2中的序列）

例如，将中缀表达式“1+((2+3)×4)-5”转换为后缀表达式的过程如下：

扫描到的元素	S2(栈底->栈顶)	S1 (栈底->栈顶)	说明
1	1	空	数字，直接入栈
+	1	+	S1为空，运算符直接入栈
(	1	+ (	左括号，直接入栈
(	1	+ ( (	同上
2	1 2	+ ( (	数字
+	1 2	+ ( ( +	S1栈顶为左括号，运算符直接入栈
3	1 2 3	+ ( ( +	数字
)	1 2 3 +	+ (	右括号，弹出运算符直至遇到左括号
×	1 2 3 +	+ ( ×	S1栈顶为左括号，运算符直接入栈
4	1 2 3 + 4	+ ( ×	数字
)	1 2 3 + 4 ×	+	右括号，弹出运算符直至遇到左括号
-	1 2 3 + 4 × +	-	-与+优先级相同，因此弹出+，再压入-
5	1 2 3 + 4 × + 5	-	数字
到达最右端	1 2 3 + 4 × + 5 -	空	S1中剩余的运算符

因此结果为“1 2 3 + 4 × + 5 -”（注意需要逆序输出）。

编写Java程序将一个中缀表达式转换为前缀表达式和后缀表达式，并计算表达式的值。其中的toPolishNotation()方法将中缀表达式转换为前缀表达式（波兰式）、toReversePolishNotation()方法则用于将中缀表达式转换为后缀表达式（逆波兰式）：

注：
(1) 程序很长且注释比较少，但如果将上面的理论内容弄懂之后再将程序编译并运行起来，还是比较容易理解的。有耐心的话可以研究一下。(2) 此程序是笔者为了说明上述概念而编写，仅做了简单的测试，不保证其中没有Bug，因此不要将其用于除研究之外的其他场合。

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1. package qmk.simple_test;  
2. import java.util.Scanner;  
3. import java.util.Stack;  
4. /** 
5.  * Example of converting an infix-expression to 
6.  * Polish Notation (PN) or Reverse Polish Notation (RPN). 
7.  * Written in 2011-8-25 
8.  * @author QiaoMingkui 
9.  */  
10. public class Calculator {  
11.       public static final String USAGE = "== usage ==\n"  
12.             + "input the expressions, and then the program "  
13.             + "will calculate them and show the result.\n"  
14.             + "input 'bye' to exit.\n";  
15.       /** 
16.        * @param args 
17.        */  
18.       public static void main(String[] args) {  
19.             System.out.println(USAGE);  
20.             Scanner scanner = new Scanner(System.in);  
21.             String input = "";  
22.             final String CLOSE_MARK = "bye";  
23.             System.out.println("input an expression:");  
24.             input = scanner.nextLine();  
25.             while (input.length() != 0  
26.                   && !CLOSE_MARK.equals((input))) {  
27.                   System.out.print("Polish Notation (PN):");  
28.                   try {  
29.                         toPolishNotation(input);  
30.                   } catch (NumberFormatException e) {  
31.                         System.out.println("\ninput error, not a number.");  
32.                   } catch (IllegalArgumentException e) {  
33.                         System.out.println("\ninput error:" + e.getMessage());  
34.                   } catch (Exception e) {  
35.                         System.out.println("\ninput error, invalid expression.");  
36.                   }  
37.                   System.out.print("Reverse Polish Notation (RPN):");  
38.                   try {  
39.                         toReversePolishNotation(input);  
40.                   } catch (NumberFormatException e) {  
41.                         System.out.println("\ninput error, not a number.");  
42.                   } catch (IllegalArgumentException e) {  
43.                         System.out.println("\ninput error:" + e.getMessage());  
44.                   } catch (Exception e) {  
45.                         System.out.println("\ninput error, invalid expression.");  
46.                   }  
47.                   System.out.println("input a new expression:");  
48.                   input = scanner.nextLine();  
49.             }  
50.             System.out.println("program exits");  
51.       }  
52.       /** 
53.        * parse the expression , and calculate it. 
54.        * @param input 
55.        * @throws IllegalArgumentException 
56.        * @throws NumberFormatException 
57.        */  
58.       private static void toPolishNotation(String input)  
59.                   throws IllegalArgumentException, NumberFormatException {  
60.             int len = input.length();  
61.             char c, tempChar;  
62.             Stack<Character> s1 = new Stack<Character>();  
63.             Stack<Double> s2 = new Stack<Double>();  
64.             Stack<Object> expression = new Stack<Object>();  
65.             double number;  
66.             int lastIndex = -1;  
67.             for (int i=len-1; i>=0; --i) {  
68.                   c = input.charAt(i);  
69.                   if (Character.isDigit(c)) {  
70.                         lastIndex = readDoubleReverse(input, i);  
71.                         number = Double.parseDouble(input.substring(lastIndex, i+1));  
72.                         s2.push(number);  
73.                         i = lastIndex;  
74.                         if ((int) number == number)  
75.                               expression.push((int) number);  
76.                         else  
77.                               expression.push(number);  
78.                   } else if (isOperator(c)) {  
79.                         while (!s1.isEmpty()  
80.                                     && s1.peek() != ')'  
81.                                     && priorityCompare(c, s1.peek()) < 0) {  
82.                               expression.push(s1.peek());  
83.                               s2.push(calc(s2.pop(), s2.pop(), s1.pop()));  
84.                         }  
85.                         s1.push(c);  
86.                   } else if (c == ')') {  
87.                         s1.push(c);  
88.                   } else if (c == '(') {  
89.                         while ((tempChar=s1.pop()) != ')') {  
90.                               expression.push(tempChar);  
91.                               s2.push(calc(s2.pop(), s2.pop(), tempChar));  
92.                               if (s1.isEmpty()) {  
93.                                     throw new IllegalArgumentException(  
94.                                           "bracket dosen't match, missing right bracket ')'.");  
95.                               }  
96.                         }  
97.                   } else if (c == ' ') {  
98.                         // ignore  
99.                   } else {  
100.                         throw new IllegalArgumentException(  
101.                                     "wrong character '" + c + "'");  
102.                   }  
103.             }  
104.             while (!s1.isEmpty()) {  
105.                   tempChar = s1.pop();  
106.                   expression.push(tempChar);  
107.                   s2.push(calc(s2.pop(), s2.pop(), tempChar));  
108.             }  
109.             while (!expression.isEmpty()) {  
110.                   System.out.print(expression.pop() + " ");  
111.             }  
112.             double result = s2.pop();  
113.             if (!s2.isEmpty())  
114.                   throw new IllegalArgumentException("input is a wrong expression.");  
115.             System.out.println();  
116.             if ((int) result == result)  
117.                   System.out.println("the result is " + (int) result);  
118.             else  
119.                   System.out.println("the result is " + result);  
120.       }  
121.       /** 
122.        * parse the expression, and calculate it. 
123.        * @param input 
124.        * @throws IllegalArgumentException 
125.        * @throws NumberFormatException 
126.        */  
127.       private static void toReversePolishNotation(String input)  
128.                   throws IllegalArgumentException, NumberFormatException {  
129.             int len = input.length();  
130.             char c, tempChar;  
131.             Stack<Character> s1 = new Stack<Character>();  
132.             Stack<Double> s2 = new Stack<Double>();  
133.             double number;  
134.             int lastIndex = -1;  
135.             for (int i=0; i<len; ++i) {  
136.                   c = input.charAt(i);  
137.                   if (Character.isDigit(c) || c == '.') {  
138.                         lastIndex = readDouble(input, i);  
139.                         number = Double.parseDouble(input.substring(i, lastIndex));  
140.                         s2.push(number);  
141.                         i = lastIndex - 1;  
142.                         if ((int) number == number)  
143.                               System.out.print((int) number + " ");  
144.                         else  
145.                               System.out.print(number + " ");  
146.                   } else if (isOperator(c)) {  
147.                         while (!s1.isEmpty()  
148.                                     && s1.peek() != '('  
149.                                     && priorityCompare(c, s1.peek()) <= 0) {  
150.                               System.out.print(s1.peek() + " ");  
151.                               double num1 = s2.pop();  
152.                               double num2 = s2.pop();  
153.                               s2.push(calc(num2, num1, s1.pop()));  
154.                         }  
155.                         s1.push(c);  
156.                   } else if (c == '(') {  
157.                         s1.push(c);  
158.                   } else if (c == ')') {  
159.                         while ((tempChar=s1.pop()) != '(') {  
160.                               System.out.print(tempChar + " ");  
161.                               double num1 = s2.pop();  
162.                               double num2 = s2.pop();  
163.                               s2.push(calc(num2, num1, tempChar));  
164.                               if (s1.isEmpty()) {  
165.                                     throw new IllegalArgumentException(  
166.                                           "bracket dosen't match, missing left bracket '('.");  
167.                               }  
168.                         }  
169.                   } else if (c == ' ') {  
170.                         // ignore  
171.                   } else {  
172.                         throw new IllegalArgumentException(  
173.                                     "wrong character '" + c + "'");  
174.                   }  
175.             }  
176.