利用神经网络做分类的时候，可以将神经网络看成一个mapping function，从输入到输出经过复杂的非线性变换。而输出的预测值与实际的目标值总是存在一定偏差的，一般利用这种偏差建立error 函数，再利用back propagation 来训练神经网络。
我们可以探讨一下，error 函数与概率分布或者概率密度函数的关系。
二分类
先来看二分类情况(})，我们假设网络最终的输出会经过一个sigmoid 函数:
)
), 这种概率分布可以用伯努利分布来表示:
t
那么，给定一组训练数据，含有N个独立观测的样本，我们可以建立如下的概率分布:
n
这里，). 对上式取对数，对应的是似然估计函数:
}
我们转换成error的时候，当然是希望error越小越好，最大似然估计对应最小的error，所以对上式取负号，可以得到如下的error函数:
}
这个就是训练二分类神经网络的时候，用的error 函数。
多个二分类
如果是多个二分类同时存在的情况，就像我们之前在离散变量的概率分布里讨论的那样，可以建立如下的概率分布:
)
整个训练集的概率分布可以表示为:
k
与二分类的情况类似，我们可以通过似然函数，取负对数，得到相应的error 函数:
}
多分类
最后，我们再讨论一下多分类的情况，可以用0-1组成的向量来表示输出，每个输出向量中，只有一个1，其它都是0，第几个分量为1，说明输入的), 这种多分类与上面讨论的多个二分类的情况不同，多分类中，每次的输出向量中只有一个1。显然:
1
给定一个样本，其概率分布为:
k
一组训练样本的概率分布可以表示为:
k
对上式取负对数，我们可以得到多分类的error函数为:
)
其中:
)
from: http://blog.csdn.net/matrix_space/article/details/51463117