转载自Math173
卡特兰（Catalan）数来源于卡特兰解决凸计数的映射方法的典范．为了便于读者理解，我们先介绍一些卡特兰问题的简单变形，再介绍卡特兰问题及其解法．
问题一 进出栈
栈是一种先进后出（FILO，First In Last Out）的数据结构．如图1，1,2,3,4顺序进栈，那么一种可能的进出栈顺序是
图1 栈是先进后出的数据结构
那么一个足够大的栈的进栈序列为1,2,3,⋯,n时有多少个不同的出栈序列？
解 首先，每一种进出栈的顺序都与出栈序列一一对应．也就是说，如果我们用1,3,4,2与进出栈顺序
那么对C2nn种吗？
答案是否定的，这是因为出栈的前提是有进栈动作，于是要求每个排列中的前若干项和均不为负数，也就是说排列
那么无效的排列到底有多少呢？
考虑N．
显然，这个M中的一个排列）．
因此无效的排列共有C2nn−1个．
综上，所有不同的出栈序列总数为1n+1C2nn．
进出栈问题的一个简单变形就是二叉树问题：
求n+1个叶子的满二叉树的个数，如图8．
图8 n+1个叶子的满二叉树的个数问题
事实上，向左记为−1，按照向左优先的原则，从根节点开始遍历．例如第一个图记为
问题二 电影购票
电影票每张m+n个人排成一列，顺序购票，使得无需因为等待找零而耽误时间？
解 我们给进出栈问题一个几何模型：
如图2，在n×n的方格地图中，从一个角到另一个角（成对角线），不跨越对角线的路径数．
图2 方格地图中的受限路径数
只要将向右记为−1，就转化成了问题一．
利用这个模型，我们解决这个卡特兰问题的变形问题，并顺便给进出栈问题的解法一个几何解释．
如图3，在一个y=x下方（包括边界）的路径条数．
图3 矩形地图中的受限路径数
从反面考虑问题．设O→P的路径组成的集合，如图4．
图4 犯规的路径
如图5，利用对称可以将P′的路径的一个一一映射．
图5 利用对称建立对应关系
因此
问题三 圆内连弦
如图6，圆周上有n条弦，求不同的连法总数．
图6 圆内连弦问题
解 为了解决这个问题，我们重新解释卡特兰数的推导方式．先解决下面的辅助问题：
圆周上有+1”的点作为起点，当顺时针沿圆周前进时将所遇到的点（包括起点）上标的数相加得到的和始终为正数，就称这种标记法是好标记法．求好标记法的总数（注意考虑圆排列）．
辅助问题的解 对于任何一种标记法，我们将顺时针相邻的“+1”的点，显然此时标记法为好的．因此所有的标记法都是好标记法，显然其数目为
问题的解 通过对辅助问题的进一步探索可知，每一种将圆周上n条弦．这样我们就建立了从好标记法到弦的连法的单射．
反过来，如果我们有了一种弦的连法，就可以从某条弦的端点出发顺时针前进，对每条弦的两个端点都是先遇到的端点标上“+1”的点．这样我们就建立了从弦的连法到好标记法的单射．
综上，所求的不同连法数为1n+1C2nn．
问题四 凸多边形的剖分（卡特兰问题）
求凸n−1条对角线分割为互不重叠的三角形的分法总数．
图7 凸n+2边形的所有剖分方法总数
解 先介绍两个关于卡特兰数−1分别看成左括号和右括号，我们得到
引理一 由Cn．
比如n=3时，所有合法的括号表达式有
考虑a,b,c,d，然后在第一个数下设一个指针，将一个左括号看成是指针右移一格，而将右括号看成是将指针当前指向的数与其左侧的一个数作乘积，并删除左侧的那个数，那么当执行完括号表达式，就得到了一种可能的相乘顺序，如图8．
图8 合法括号表达式与可能的相乘顺序的对应
这样我们就从引理一出发得到了
引理二 Cn．
注 这样也是RPN模式的计算机的工作模式，可以无需括号完成计算，从而节省按键的次数．这种计算器在财务计算中大量使用，如图．
图9 Mac OS X下计算器的PRN模式
接下来解决卡特兰问题，用1的边的起点（按逆时针方向）开始按未标记的对角线均为向外标记方向，如图10．
图10 分别标记边和对角线
进而，逆时针读图，将出的箭头读为左括号，进的箭头读为右括号，就得到了剖分方式与连乘顺序的对应．图10中的两个图对应的连乘顺序表达式分别为
卡特兰数的性质
卡特兰数有一些优美的性质，如
通项公式一 Cn=1n+1C2nn=C2nn−C2nn−1；
通项公式二 Cn=1n+1∑i=0n(Cni)2；
递推公式一 C0=1；
递推公式二 C0=1；
增长速度 ΔCn∼4nn32π．
由卡特兰问题以及其各种变形很容易推导卡特兰数的递推公式．相应的，我们也可以利用递推公式二来发现和证明某些卡特兰问题的变形，比如：
探索用n的阶梯图形的方法数，如图11．
图11 阶梯图形的填充
解 把包含左上角的矩形去掉，就很容易由递推公式二推得所有填充方法数就是卡特兰数Cn了．