Uoj 441 保卫王国

动态 \(dp\) .今天才来写这个题.
设 \(f[u][0/1]\) 表示子树 \(u\) 中不选/选 \(u\) 时的最小权值和,显然有:\(f[u][0]=\sum f[v][1] ,f[u][1]=w[u]+\sum \min(f[v][0],f[v][1])\) .
现在要资瓷修改 \(x\) 的点权 \(w[x]\) ,容易发现修改后只会影响 \(x\) 到根节点这一条链上的 \(f\) 值.若暴力更新这一条链,在树深度大时,时间复杂度仍是 \(O(nm)\) 的.考虑使用树剖来维护,尝试快速更新信息.
由于树剖后,一个节点到根节点的路径上,轻边/重链都不会超过 \(logn\) 条,可以暴力修改轻儿子的贡献,用数据结构来维护重链.那么轻重儿子的信息需要分开存,用 \(g[u][0/1]\) 表示子树 \(u\) 除去重儿子的子树后, 不选/选 \(u\) 时的最小权值和.
转移可以用下面这个转移矩阵表示,这里是 Min-plus matrix multiplication ,即将原来矩阵乘法的乘法换成加法,加法换成取 \(\min\) .仍然满足结合律..(这东西还有其他用法,可以点进去看看)

Uoj 441 保卫王国

用线段树维护区间矩阵乘积即可.

参考

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline ll read()
{
	ll out=0,fh=1;
	char jp=getchar();
	while ((jp>'9'||jp<'0')&&jp!='-')
		jp=getchar();
	if (jp=='-')
		fh=-1,jp=getchar();
	while (jp>='0'&&jp<='9')
		out=out*10+jp-'0',jp=getchar();
	return out*fh;
}
const int MAXN=1e5+10;
int n,m;
int nx[MAXN<<1],to[MAXN<<1],head[MAXN],cnt=0;
inline void addedge(int u,int v)
{
	++cnt;
	nx[cnt]=head[u];
	to[cnt]=v;
	head[u]=cnt;
	swap(u,v);
	++cnt;
	nx[cnt]=head[u];
	to[cnt]=v;
	head[u]=cnt;
}
ll w[MAXN];
ll f[MAXN][2],g[MAXN][2];
int fa[MAXN],mxson[MAXN],siz[MAXN],dep[MAXN],dfn[MAXN],rnk[MAXN],top[MAXN],bot[MAXN],idx=0;
void DP(int u,int Fa)
{
	f[u][1]=w[u];
	for(int i=head[u];i;i=nx[i])
		{
			int v=to[i];
			if(v==Fa)
				continue;
			DP(v,u);
			f[u][0]+=f[v][1];
			f[u][1]+=min(f[v][0],f[v][1]);
		}
}
void dfs1(int u,int Fa)
{
	fa[u]=Fa;
	siz[u]=1;
	dep[u]=dep[Fa]+1;
	for(int i=head[u];i;i=nx[i])
		{
			int v=to[i];
			if(v==Fa)
				continue;
			dfs1(v,u);
			siz[u]+=siz[v];
			if(siz[v]>siz[mxson[u]])
				mxson[u]=v;
		}
}
void dfs2(int u,int tp)
{
	top[u]=tp;
	dfn[u]=++idx;
	rnk[idx]=u;
	if(mxson[u])
		dfs2(mxson[u],tp);
	for(int i=head[u];i;i=nx[i])
		{
			int v=to[i];
			if(v!=fa[u] && v!=mxson[u])
				dfs2(v,v);
		}
}
const ll inf=1e18;
struct node{
	ll v[2][2];
	int l,r;
	node(){v[0][0]=v[0][1]=v[1][0]=v[1][1]=inf;}
	node operator * (const node &rhs) const
		{
			node res;
			res.l=l,res.r=rhs.r;
			for(int k=0;k<2;++k)
				for(int i=0;i<2;++i)
					for(int j=0;j<2;++j)
						res.v[i][j]=min(res.v[i][j],v[i][k]+rhs.v[k][j]);
			return res;
		}
};
node val[MAXN];
struct SegTree{	
	node Tree[MAXN<<2];
	#define root Tree[o]
	#define lson Tree[o<<1]
	#define rson Tree[o<<1|1]
	inline void pushup(int o)
		{
			root=lson*rson;
		}
	void BuildTree(int o,int l,int r)
		{
			root.l=l,root.r=r;
			if(l==r)
				{
					int u=rnk[l],g[2];
					g[0]=0,g[1]=w[u];
					for(int i=head[u];i;i=nx[i])
						{
							int v=to[i];
							if(v==fa[u] || v==mxson[u])
								continue;
							g[0]+=f[v][1];
							g[1]+=min(f[v][0],f[v][1]);
						}
					root.v[0][0]=inf,root.v[0][1]=g[0];
					root.v[1][0]=root.v[1][1]=g[1];
					val[l]=root;
					return;
				}
			int mid=(l+r)>>1;
			BuildTree(o<<1,l,mid);
			BuildTree(o<<1|1,mid+1,r);
			pushup(o);
		}
	void update(int o,int pos)
		{
			int l=root.l,r=root.r;
			if(l==r)
				{
					root=val[pos];
					return;
				}
			int mid=(l+r)>>1;
			if(pos<=mid)
				update(o<<1,pos);
			else
				update(o<<1|1,pos);
			pushup(o);
		}
	node query(int o,int L,int R)
		{
			int l=root.l,r=root.r;
			if(L<=l && r<=R)
				return root;
			int mid=(l+r)>>1;
			if(R<=mid)
				return query(o<<1,L,R);
			if(L>mid)
				return query(o<<1|1,L,R);
			return query(o<<1,L,R)*query(o<<1|1,L,R);
		}
}T;
node query(int x)
{
	return T.query(1,dfn[x],dfn[bot[x]]);
}
ll getans()
{
	node s=query(1);
	return min(s.v[0][1],s.v[1][1]);
}
void upd(int x,ll nv)
{
	val[dfn[x]].v[1][0]-=w[x]-nv;
	val[dfn[x]].v[1][1]-=w[x]-nv;
	w[x]=nv;
	while(x)
		{
			node org=query(top[x]);
			T.update(1,dfn[x]);
			node nx=query(top[x]);
			x=fa[top[x]];
			val[dfn[x]].v[0][1]+=nx.v[1][1]-org.v[1][1];
			val[dfn[x]].v[1][0]+=min(nx.v[1][1],nx.v[0][1])-min(org.v[1][1],org.v[0][1]);
			val[dfn[x]].v[1][1]=val[dfn[x]].v[1][0];
		}
}
void solve(int x1,int t1,int x2,int t2)
{
	if(t1==0 && t2==0 && (fa[x1]==x2 || fa[x2]==x1))
		return void(puts("-1"));
	ll v1=w[x1],v2=w[x2];
	upd(x1,v1+(t1?-inf:inf));
	upd(x2,v2+(t2?-inf:inf));
	ll res=getans();
	res+=t1?inf:0;
	res+=t2?inf:0;
	printf("%lld\n",res);
	upd(x1,v1);
	upd(x2,v2);
}
char tip[5];
signed main()
{
	//freopen("tx.in","r",stdin);
	n=read(),m=read();
	scanf("%s",tip);
	for(int i=1;i<=n;++i)
		w[i]=read();
	for(int i=1;i<n;++i)
		{
			int u=read(),v=read();
			addedge(u,v);
		}
	DP(1,0);
	dfs1(1,0);
	dfs2(1,1);
	for(int i=1;i<=n;++i)
		{
			if(i==top[i])
				{
					int t=i;
					while(mxson[t])
						t=mxson[t];
					bot[i]=t;
				}
		}
	T.BuildTree(1,1,n);
	while(m--)
		{
			int a=read(),b=read(),c=read(),d=read();
			solve(a,b,c,d);
		}
	return 0;
}