一、二叉查找树
二叉查找树（Binary Search Tree，下文简称 BST）是一种二叉树的树形数据结构。
树上的每个节点带有一个数值，称为节点的“关键码”（也可以叫其他的 QAQ）。对于树中的任意一个节点：
- 该节点的关键码不小于它的左子树中任意节点的关键码。
- 该节点的关键码不大于它的右子树中任意节点的关键码。
即左子树任意节点的值 \(<\) 根节点的值 \(<\) 右子树任意节点的值。
满足上述性质的二叉树就是一棵 BST。显然，BST 的中序遍历是一个关键码单调递增的节点序列。
二、基本操作
约定：\(lc(u)\) 和 \(rc(u)\) 分别表示节点 \(u\) 的左子节点和右子节点，\(val(u)\) 表示节点 \(u\) 的关键码。
1. BST 的建立
为了避免越界，减少边界情况的判断，我们在 BST 中额外插入关键码为 \(+\infty\) 和 \(-\infty\) 的节点。仅由这两个节点构成的 BST 就是一棵初始的空 BST。
简便起见，在接下来的操作中，假设 BST 不含有关键码相同的节点。
int tot,rt,lc[N],rc[N],val[N]; //rt 为根结点在数组中的下标，lc(u) 和 rc(u) 分别表示 u 的左右子节点在数组中的下标，val(u) 表示节点 u 的关键码 void build(){ val[++tot]=-1e18,val[++tot]=1e18; //新建关键码为负无穷和正无穷的节点（它们在数组中的下标分别为 1、2） rt=1,rc[1]=2; //1 为根结点（对应关键码为负无穷的节点），它的右儿子为关键码为正无穷的节点 }
2. BST 的检索
在 BST 中检索是否存在关键码为 \(k\) 的节点。
设 \(p\) 为根结点，执行以下过程：
-
若 \(val(p)=k\)，则已找到。
-
若 \(val(p)>k\)：若 \(lc(p)\) 为空，则不存在 \(k\)；否则，在 \(p\) 的左子树中递归进行检索。
-
若 \(val(p)<k\)：若 \(rc(p)\) 为空，则不存在 \(k\)；否则，在 \(p\) 的右子树中递归进行检索。
int find(int p,int k){ if(!p) return 0; //检索失败 if(val[p]==k) return p; //检索成功 return k<val[p]?find(lc[p],k):find(rc[p],k); }
3. BST 的插入
在 BST 中插入一个关键码为 \(k\) 的节点。（假设目前 BST 中不存在关键码为 \(k\) 的节点）
与 BST 的检索类似。要走向的 \(p\) 的子节点为空，说明 \(k\) 不存在时，直接建立关键码为 \(k\) 的新节点作为 \(p\) 的子节点。
void insert(int &p,int k){ if(!p){val[++tot]=k,p=tot;return ;} //注意 p 是引用，其父节点的 lc 或 rc 值会被同时更新 if(val[p]==k) return ; if(k<val[p]) insert(lc[p],k); else insert(rc[p],k); }
4. BST 求前驱/后继
以“后继”为例。\(k\) 的后继指在 BST 中关键码大于 \(k\) 的节点中，关键码最小的节点。
初始化 \(ans\) 为关键码为 \(+\infty\) 的节点。然后，在 BST 中检索 \(k\)。每经过一个节点，都尝试更新 \(ans\)。
-
没有找到 \(k\)。此时 \(k\) 的后继就在已经经过的节点中，\(ans\) 即为所求。
-
找到了节点 \(p\) 使得 \(val(p)=k\)。若 \(rc(p)\) 为空，则 \(ans\) 即为所求；否则，从 \(rc(p)\) 出发，一直向左走，就找到了 \(k\) 的后继。
int getnxt(int k){ int ans=2,p=rt; //val(2)=+∞ while(p){ if(val[p]==k){ if(rc[p]>0){p=rc[p]; while(lc[p]>0) p=lc[p]; ans=p;} break; } if(val[p]>k&&val[p]<val[ans]) ans=p; //尝试更新 ans p=k<val[p]?lc[p]:rc[p]; } return ans; }
5. BST 的节点删除
在 BST 中删除关键码为 \(k\) 的节点。
首先，在 BST 中搜索 \(k\)，得到节点 \(p\)。
若 \(p\) 没有左子树或没有右子树，则直接删除 \(p\)，并令 \(p\) 的子节点代替 \(p\) 的位置，与 \(p\) 的父节点相连。
若 \(p\) 左右子树都有，则在 BST 中求出 \(k\) 的后继节点 \(next\)。因为 \(next\) 没有左子树（因为 \(next\) 是从 \(p\) 的右子节点出发，一直向左走得到的），所以可以直接删除 \(next\)，并令 \(next\) 的右子树代替 \(next\) 的位置。最后，再让 \(next\) 节点代替 \(p\) 节点，删除 \(p\) 即可。举个栗子：
应该还是比较好理解哒，具体见代码。
void del(int &p,int k){ //从子树 p 中删除值为 k 的阶段 if(!p) return ; if(val[p]==k){ //已经检索到值为 k 的阶段 if(!lc[p]) p=rc[p]; //没有左子树，右子树代替 p 的位置，注意 p 是引用 else if(!rc[p]) p=lc[p]; //没有右子树，左子树代替 p 的位置，注意 p 是引用 else{ //既有左子树又有右子树 int nxt=rc[p]; while(lc[nxt]>0) nxt=lc[nxt]; //求后继节点（从 p 的右子节点出发，一直向左走） del(rc[p],val[nxt]); //next 一定没有左子树，直接删除 lc[nxt]=lc[p],rc[nxt]=rc[p],p=nxt; //令节点 next 代替节点 p 的位置。注意 p 是引用 } return ; } if(k<val[p]) del(lc[p],k); else del(rc[p],k); }
三、参考资料
- 《算法竞赛进阶指南》（大棒子，做摘抄 233）
注：这篇文章可能会有锅 QAQ