关于gcd - 爱码网

内容：

$gcd(a,b)=gcd(b,a\% b)$

用途：

这不废话嘛，当然是用来求最大公约数啊

证明：(这还是四月份的时候cdx巨佬给我讲的qwq)

设$d=gcd(a.b)$
则有$a=md,b=nd$, $\Rightarrow$ $a-b=(m-n)d$
$\because$ $m$与$n$互质
$\therefore$ $(m-n)$与$n$互质
$\therefore$ $gcd((m-n)d,nd)=d$即$gcd(a-b,b)=d$
$\therefore$ $gcd(a,b)=gcd(a-b,b)$
$\therefore$ $gcd(a,b)=gcd(a\%b,b)$

关于为什么$m-n$与$n$互质：
证明：假设$m-n$不与$n$互质，有$gcd(m-n,n)=p,p\neq 1$
则$m-n=xp,n=yp$
$\therefore$ $m=(x+y)p$
$\therefore$ $a=md=(x+y)pd,b=nd=ypd$
$\therefore$ $a,b$有公约数$pd$
$\because $ $gcd(a,b)=d$
$\therefore$ $p=1$与假设矛盾
故$m-n$与$n$互质

Code：

int gcd(int x, int y) {
	return y == 0 ? x : gcd(y, x % y);
}

谢谢收看，祝身体健康！