应用一：
codevs 3112 二叉树计数
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题目等级 : 黄金 Gold
题目描述 Description
一个有n个结点的二叉树总共有多少种形态
输入描述 Input Description
读入一个正整数n
输出描述 Output Description
输出一个正整数表示答案
样例输入 Sample Input
6
样例输出 Sample Output
132
数据范围及提示 Data Size & Hint
1<=n<=20
1 #define N 25 2 #include<cstdio> 3 #include<iostream> 4 using namespace std; 5 long long f[N]; 6 int main() 7 { 8 int n; 9 scanf("%d",&n); 10 f[0]=1;f[1]=1; 11 for(int i=2;i<=n;++i) 12 for(int k=0;k<i;++k) 13 f[i]+=f[k]*f[i-1-k]; 14 printf("%d\n",f[n]); 15 return 0; 16 }
下面解释：为什么n个节点的二叉树的形态数目是Catalan数？
1 /* 2 先考虑只有一个节点的情形，设此时的形态有f(1)种，那么很明显f(1)=1 3 4 如果有两个节点呢？我们很自然想到，应该在f(1)的基础上考虑递推关系。那么，如果固定一个节点后，有两种情况，一是左子树还剩一个节点，此刻类型数量为f(1)，第二种情况是右子树生一个节点，此刻类型数量为f(1)，固有f(2) = f(1) + f(1) 5 6 如果有三个节点呢？我们需要考虑固定两个节点的情况么？当然不行，为什么？ 7 8 因为当节点数量大于等于2时，无论你如何固定，其形态必然有多种，而在这多种基础之上你如何安排后续剩下的节点呢？所以必须挑出这个误区。 9 10 回到二叉树的定义，二叉树本质上就是一个递归的形式，左子树，右子树，根节点。所以根节点应该不变，需要递归处理的是左右子树。 11 12 也就是说，还是考虑固定一个节点，即根节点。好的，按照这个思路，还剩2个节点，那么左右子树的分布情况为2=0+2=1+1=2+0。 13 14 所以有3个节点时，递归形式为f(3)=f(2) + f(1)*f(1) + f(2). (注意这里的乘法，因为左右子树一起组成整棵树，根据排列组合里面的乘法原理即可得出) 15 16 那么有n个节点呢？我们固定一个节点，那么左右子树的分布情况为n-1=n-1 + 0 = n-2 + 1 = ... = 1 + n-2 = 0 + n-1 17 18 OK。递归表达式出来了f(n) = f(n-1) + f(n-2)f(1) + f(n-3)f(2) + ... + f(1)f(n-2) + f(n-1) 19 20 21 22 观察一下这个表达式，嗯，和我们之前见过的递归表达有一点区别，递推层级为n的时候，更多的是考虑前一步(n-1)，或者前两步(n-1)和(n-2)。 23 24 但是这里却考虑到所有的情况，即1到n-1。 25 26 最后说明一下，这个表达式有一个学名，叫做Catalan数。上面我们没有定义f(0)。如果把f(0)也考虑进去，显然没有节点也只有一种情况，即f(0)=1 27 28 标准表达式为f(n) = f(n-1)f(0) + f(n-2)f(1) + f(n-3)f(2) + ... + f(1)f(n-2) + f(n-1)f(0) 29 30 前几个数为1,1,2,5,14,42,132。 31 */
题目描述 Description
在一个圆上，有2*K个不同的结点，我们以这些点为端点，连K条线段，使得每个结点都恰好用一次。在满足这些线段将圆分成最少部分的前提下，请计算有多少种连线的方法
输入描述 Input Description
仅一行，一个整数K(1<=K<=30)
输出描述 Output Description
两个用空格隔开的数，后者为最少将圆分成几块，前者为在此前提下连线的方案数
样例输入 Sample Input
2
样例输出 Sample Output
2 3
数据范围及提示 Data Size & Hint
1 #include<cstdio> 2 int n; 3 long long f; 4 int main() 5 { 6 scanf("%d",&n); 7 f=1; 8 for(int i=2;i<=n;++i) 9 f=f*(4*i-2)/(i+1); 10 printf("%lld %d",f,n+1); 11 /*最少的划分部分是n条线段都不相交*/ 12 return 0; 13 }