算法笔记--单调队列优化dp

单调队列：队列中元素单调递增或递减，可以用双端队列实现（deque），队列的前面和后面都可以入队出队。

单调队列优化dp：

问题引入：

dp[i] = min( a[j] ) ，i-m < j <= i

普通的做法是O(nlogn)，但是当n很大是，这个复杂度就不行了，考虑用单调队列优化来达到O(n)。

单调队列优化dp时维护的一般都是两个值{ id（下标），value（值）}，且它们都保持单调。

对于这个问题，我们维护一个两个值都单调递增的序列。

查询：队首不断删除，直到队首下标大于等于i - m + 1，队首就是答案。

插入：因为要保证下标单调递增，所以从队尾加入元素a[i]，因为又要保证值单调递增，所以我们不断删除队尾大于a[i]的元素，直到队尾小于a[i]或者队列为空，然后在队尾添加a[i]。

为什么我们能直接删除队尾大于a[i]的元素呢？

因为队尾删除的那些元素下标比a[i]小且值比a[i]大，如果这些元素可以是答案，那么a[i]肯定比他们好，所以这些值不会对答案产生贡献，所以直接删除就好了。

最后，每个元素最多入队一次，出队一次，复杂度为O(n)。

PS:只维护下标也可以，因为知道了下标就知道了值（如果你保存下来的话），不过如果n太大(以至于数组存不下)只能两个都维护了

例1：POJ 2823

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<deque>
using namespace std;
#define fi first
#define se second
#define pi acos(-1.0)
#define LL long long
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define ls rt<<1, l, m
#define rs rt<<1|1, m+1, r
#define ULL unsigned LL
#define pll pair<LL, LL>
#define pii pair<int, int>
#define mem(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
#define fio ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
#define fopen freopen("in.txt", "r", stdin);freopen("out.txt", "w", stout);
//head

const int N = 1e6 + 5;
int ans1[N], ans2[N];
int main() {
    int n, k, x;
    scanf("%d %d", &n, &k);
    deque<pii>mn, mx;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d", &x);
        while(!mn.empty() && mn.back().se >= x) mn.pop_back();
        mn.pb(mp(i, x));
        while(!mn.empty() && mn.front().fi < i-k+1) mn.pop_front();
        ans1[i] = mn.front().se;
        while(!mx.empty() && mx.back().se <= x) mx.pop_back();
        mx.pb(mp(i, x));
        while(!mx.empty() && mx.front().fi < i-k+1) mx.pop_front();
        ans2[i] = mx.front().se;
    }
    for (int i = k; i <= n; i++) printf("%d%c", ans1[i], " \n"[i==n]);
    for (int i = k; i <= n; i++) printf("%d%c", ans2[i], " \n"[i==n]);
    return 0;
}

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