习题 3.3
3.3.1
(1) 证明自反性
所以
(2) 证明对称性
假设
那么
所以
所以
(3) 传递性
假设
那么有
所以
所以
3.3.2
(1) 证明。当 也是单射。
反证法： 设存在不同样的 。
已知
设 。
那么 是单射矛盾。
所以 也是单射。
(2) 也是满射。
由于
由于
所以对于随意的
所以 是满射
3.3.3
空函数是 。
当
当 时，空函数是满射，也是双射。
3.3.4
(1)
反证法。若
设
由于
所以 矛盾.
所以
(2)
反证法: 若
由于
那么 矛盾.
所以
3.3.5
(1) 是单射.
反证法: 若
设 是单射矛盾.
(2) 是满射.
反证法: 若
而我们又知道
设 矛盾.
所以 是满射
3.3.6
(1) 由于
由
所以: 成立.
(2) 由于
又有 都成立.
所以
3.3.7
先证明 是单射. (略)
再证明 是满射. (反证法, 略)
3.3.8
(a) 对一切
对一切
所以有 一切
表明:
(b) 对一切
所以
对一切
所以
所以
(c) (易证,略)
(d) 反证法: 假设存在两个不同的函数
那么必定存在一个
分两种情况讨论:
所以:
矛盾.
矛盾
所以 仅仅有唯一的函数