（源自：http://isip.buaa.edu.cn/lichen/?p=376）
beta分布用于对二值随机变量建模，比如抛硬币实验。但如果随机变量可以取多个互斥的值呢？比如可能有种选择。对于某个可以取
种互斥状态的随机变量我们可以用一个
维向量
来表示，其中一个元素
取1，剩下的位置取0。例如，如果我们有一个变量可以有
种状态，一个观察值恰好对应
，那么
可以表示成
这种向量满足。如果我们记
的概率为参数
，那么
的分布就是：a
其中的，而参数
满足
且
，因为它们代表概率。(2.26)的分布可以看成伯努利分布的一个多值泛化。可以看到这个分布式满足概率的归一化的：
同时，
考虑一个包含个独立观察值
的数据集
相应的似然函数：
可以看出似然函数和数量有关：
实际上是表示观察数据中为1的观察值的个数。这在概率论中称为充分统计量。
为了找出boldsymbol{mu}的最大似然估计值，我们需要对求极大值，并满足所有mu_k之和为1这个约束。引入拉朗格日乘子lambda，并极大化：
对(2.31)式以为自变量求导并令其导数为0，可得：
把(2.32)带入约束得到
，这样我们得到最大似然的解：
这个实际上式N个观察值中那些的实例所占百分比。
我们考虑给出和N个数据观察值时，
的联合概率分布。从（2.29）我们得到：
这就是多项式分布，归一化系数是把个对象划分成
组大小分别为
的可能划分总数。即：
注意到变量m_k需要满足：