原文链接：https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.76.4705
发表在：PRL 1996
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考虑一维的情况，假设map为f(x)， 我们的目标是去估计不动点x*=f(x*)。接下来，我们考虑下面的变换
其中，
对于k=0的情况，我们可以有几何的解释，如下图，
根据阴影的两个三角形的斜边的斜率关系可以得到下面的等式
一个特例，当f(x)=x*+a(x-x*), 我们有
对于f(x)为一般的非线性函数以及k!=0,变换后的点都会集中在x*的线性区域的附近，并且我们可以证明变化后的点的密度函数有下面的关系，
PS: 也就是说，变换后的点，在x*出，有奇异性，如果用有限的数据模拟，将会在x*出，出现一个sharp的峰.
下面简单推到下上面的密度函数。我们降变换的map重写写成下面的形式，
其中，
注意到，对于不动点x*，下面的等式于k是无关的
假设为x的分布函数，那么我们有
其中,
所以我们可以看到出现奇异的地方在
1）g' 为0的地方；
2）奇异的地方，
通过求g(x,k) 对于x的导数，我们发现，g'=0在不动点x*处 （i.e., f(x*)=x*。通过泰勒展开，我们有，
并且，
综上，我们得到，
也就是说x*也是上面这个密度函数的奇异点，在这个奇异点，用有限数据进行模拟的时候，会有一个sharp的峰
但是，我们需要注意的是，上面说的sharp的峰，可能会是虚假的峰，i.e.， 不是由于fixed point引起的。因为虚假的峰，可能是由于
1）ρ(x)的奇异性
2）g'(x)=0
引起的,而x并非fixed point.
为了消除这些虚假的峰，我们注意到这些虚假的峰是于k的取值有关的。所以我们只需要取不同的k，然后平均，那么虚假的峰就会消除，而真实的峰就会保留。
考虑logistic map
f(x)= rx(1-x), r=3.092, k=0,
一共有4个sharp的峰，
1）真实的峰，
2）虚假的峰 -- ρ(x)的比较强的奇异性： 和
3）虚假的峰 -- g'为0的地方(不是fixed point)：
当k随机取500个值的时候，虚假的峰都消失了，真实的峰保留了。