四.递归

1.定义：方法调用自身。递归算法可以缩小规模，递归方法调用自身，但是参数不一样。递归可以用循环（递推，迭代）或者栈来代替

2.递归三要素：边界条件，递归关系式，参数返回值（递归方法，参数不一样）

3.递归算法的时间复杂度

（1）递归算法的时间复杂度= 递归的次数 * 每次递归的时间复杂度

　　递归次数和递归深度有关，递归次数就是递归二叉树的节点个数

（2）很多时候，递归可以抽象成一棵二叉树，时间复杂度和二叉树的节点个数有关（递归的次数就是节点的个数）

　　满二叉树节点个数：2ⁿ-1（n代表层数）第i层有：2^i-1个节点

（3）不要一看到递归就想到O(logn)

4.递归算法的空间复杂度

（1）递归算法的空间复杂度 = 递归深度 * 每次递归的空间复杂度

（2）空间复杂度与递归的深度有关：递归深度就是调用栈的深度，就是递归二叉树的深度

 5.递归的每个方法（每次递归）都有自己独立的变量。对于所有递归都操作的同一个变量（共享变量），应该放在递归方法外面。（二叉树递归遍历）

6.经典递归案例：（1）求阶乘（2）求x的n次方（3）斐波那契

7.空间复杂度：O(1)，O(n)比较多。在递归的时候，会出现O(logn)的空间复杂度

8.递归方法的归就是迭代方法的迭代

9.递归是用栈实现的

10.递归遍历二叉树是，List<Integer>是共享变量，要放在参数中

 

1.二分查找

（1）非递归实现

 1     public static int binarySerach(int[] arr,int key) {
 2         int left=0;
 3         int right=arr.length-1;
 4         
 5         while(left<=right) {
 6             int mid=(left+right)/2;
 7             if(key==arr[mid])
 8                 return mid;
 9             if(key<arr[mid])
10                 right=mid-1;
11             if(key>arr[mid]) 
12                 left=mid+1;
13         }
14         return -1;
15     }

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